Construire des applications...

MacMahon
MacMahon
dans Fondements et Logique
Bonjour,
Comment construire une bijection sur des application d'applications d'ensemble sachant que l'on ne connait la nature d'aucun des ensemble considérés si ce n'est le fait que ce sont des ensembles?

Exemple :
Soit $A,B,C$ des ensembles comment construire une bijection entre $C^{A\times{B}}$ et $(C^{A})^B$ ?

Réponses

  • killersmile38
    killersmile38
    En réfléchissant 5 min ??

    Ta bijection ne dit rien d'autre que se donner un élément de $C$ pour tout $(a,b)\in A\times B$, ça revient à se donner une fonction $f_b: A\to C$ pour tout $b\in B$.

    Autrement dit, t'as deux façons d'associer un élément de $C$ à un couple $(a,b)$.

    Soit tu te donnes un élément pour chaque couple $(a,b)$ , soit tu décides de le faire de manière un peu ordonnée, à savoir que tu préfères te donner une recette qui te fournit un élément de $C$ pour chaque couple de la forme $( truc, b)$ en une seule fois.

    Si je te donne une fonction $f:A\times B\to C$, pour tout $b\in B$, peux-tu me donner une fonction $f_b:A\to C$ ?

    Ensuite, y a plus qu'à vérifier que l'application $f\mapsto (b\mapsto f_b)$ est bijective. pOur cela, il suffit d'exhiber la bijection réciproque, elle n'est pas très dure à trouver...

    Sinon, on doit pouvoir aussi la définition d'une fonction version "graphe fonctionnel"...
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Autrement dit, il suffit de transformer un diagramme de la forme : \[
    \begin{array}{ccc} A\times B &\overset{f}\longrightarrow & C \\ (a,b) &\longmapsto &f(a,b) \end{array}
    \] en un diagramme de la forme : \[
    \begin{array}{ccc} B &\overset{g}\longrightarrow & C^A \\ b & \longmapsto & \left(\begin{array}{ccc} A &\overset{g(b)}\longrightarrow & C \\ a & \longmapsto &\bigl(g(b)\bigr)(a) \end{array} \right) \end{array}\]
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    @MacMahon : Je te conseille de réfléchir un peu à ta question et d'essayer des choses avant de lire les réponses des autres. La réponse est un peu du type "Ah ! Mais pourquoi je n'y ai pas pensé avant ?" et je pense qu'il serait profitable pour toi que tu y réfléchisses un peu plus, éventuellement en donnant des pistes. Voici un autre exercice : soient $X$ et $o$ des ensembles. Peux-tu construire une bijection entre $X$ et $X^{\{o\}}$ ?
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