Hypothèse de Riemann

Il s'agit du logarithme classique, que l'on note traditionnellement $\log$ en théorie des nombres. Je peux me tromper mais je crois qu'il faut mettre une constante devant le terme de droite, il s'agit essentiellement du terme d'erreur dans le théorème des nombres premiers (avant sommation par parties), et bien sûr on travaille toujours avec des $O$. J'ai le souvenir d'une constante $\frac{1}{8 \pi}$ mais je ne sais pas si la valeur exacte est si importante que ça.

@AitJoseph : dans tout mon message, $p$ désigne un nombre premier. D'une certaine manière, toute l'information sur la répartition des nombres premiers est encodée dans la fonction $\zeta$ grâce à la formule du produit eulérien : $$\zeta(s) = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^{-s}}\right)^{-1}$$ pour $\mathfrak{Re}(s) > 1$. Pour des raisons techniques de sommation par parties, connaître la fonction $\pi(x) = |\{p \leq x\}|$ revient à connaître $\psi(x) = \sum_{p^a \leq x} \log p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n)$, où $\Lambda$ est la fonction de Von Mangoldt, qui vaut $\log p$ si $n$ est une puissance de $p$, et $0$ sinon. Un peu d'analyse complexe permet d'obtenir, en utilisant le fait que $$- \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},$$ que pour $x \geq 2$ non entier, $$\psi(x) = \frac{1}{2i \pi} \int_{2-i \infty}^{2+i \infty} - \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \frac{x^{s}}{s} \,ds.$$ À partir de là, on veut estimer cette intégrale grâce au théorème des résidus et la théorie de Cauchy pour l'intégration complexe : on déplace le "contour" d'intégration autant que possible vers la gauche. Le pôle simple en $1$ de $\zeta$ fournit un pôle simple en $1$ pour $- \frac{\zeta'}{\zeta}$, et donc un résidu de $x$ pour l'intégrande, et chaque zéro de $\zeta$ fournit également un pôle pour cette dérivée logarithmique, avec un résidu de la forme $\frac{x^{\rho}}{\rho}$ pour l'intégrande. Le lien entre la répartition des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann devient "clair" (il y a quelques détails techniques de convergence et de zéros triviaux que je passe sous le tapis) : un terme d'erreur "en racine de $x$" équivaut à des parties réelles de zéros qui valent $\frac{1}{2}$.

Rien de nouveau ici !

Comme dit Poirot, il est de tradition, en théorie des nombres, de (re)prendre la notation $\log$ pour désigner le logarithme népérien (le logarithme décimal n'étant pas très souvent utilisé).

De plus, il est connu que $\log \left ( \mathrm{ppcm} \left( 1, \dotsc ,n \right) \right) = \Psi(n)$, où $\Psi$ désigne la seconde fonction de Chebyshev, i.e.
$$\psi(x) := \sum_{p^\alpha \leqslant x} \log p.$$
Le Théorème des Nombres Premiers équivaut à $\Psi(x) = x + O \left(x e^{-c (\log x)^{3/5} (\log \log x)^{-1/5}} \right)$ où $c > 0$ est absolue. Le terme d'erreur a évolué au cours du 20ème siècle, la version donnée ici étant la meilleure connue actuellement. Il existe aussi des versions explicites.

L'Hypothèse de Riemann équivaut au meilleur reste possible, à savoir $\Psi(x) = x + O \left (x^{1/2} \log^2 x \right)$. Il existe des versions totalement explicites de cette estimation, et donc, pour ré&pondre à Christophe C et à Poirot, on a : L'hypothèse de Riemman est équivalente à
$$\left | \Psi(x) - x \right | \leqslant \frac{1}{8 \pi} \sqrt{x} \, (\log x)^2 \quad \left( x \geqslant 73,2 \right).$$

Le quatrième commentaire de http://oeis.org/A003418 est bien conforme au message de cc, l'homme aux 36640 messages (ressentis : 80000).

Signalons tout de même que si $T$ est une théorie récursive quelconque (comme ZFC, Peano, ZFC+énoncé de grand cardinal que vous voulez, etc ) et si $A$ est un énoncé quelconque écrit dans le langage de $T$, la question de savoir si "$A$ est un théorème de $T$" est équivalente à la question de savoir si le programme qui écrit toutes les preuves dans $T$ une par une et qui vérifie si leur conclusion est égale à $A$ termine ou non, autrement dit (via le théorème de Matiasevic): savoir si $A$ est un théorème est équivalent à la résolution d'une équation diophantienne.
Dans un certain sens, toute question de maths est une équation diophantienne.

Je le dis juste pour désamorcer les tentatives de disqualification de certains pans des maths (en tant qu' activité intellectuelle noble ou profonde).

@Christophe : Comment ça, les maths ne peuvent pas se contenter de vouloir savoir ce que $ZF$ démontre ? Qu'est-ce que tu veux dire ?
Et pour le truc de Foys, il y a tout de même un programme explicite $P$ qui est tel que pour tout formule sans variables libres $A$ dans le langage de $ZF$, $A$ est démontrable dans $ZF$ si et seulement si quand on fait manger $A$ à $P$, l'exécution termine, on est d'accord ?
En somme, Foys dit que toute question de maths est une équation diophantienne, ce qui est vrai si on considère qu'une question de maths est forcément de la forme "est-ce que $A$ est prouvable dans $ZF$" (ou autre théorie récursive), et ton objection est qu'il y a des questions de maths qui ne sont pas de la forme "est-ce que $ZF$ prouve $A$".

@Christophe : il suffit de lire les commentaires de la réponse contenant $\delta(n)$ pour voir ce que c'est... Il s'agit de $\frac{\sigma(n)}{n}$, où $\sigma(n)$ est la somme des diviseurs de $n$.

Moi c'est Sylvain, pas samok...

Contrairement à ce que dit cc dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1634300,1634960#msg-1634960, on trouve, vers la fin de https://mathoverflow.net/questions/39944/collection-of-equivalent-forms-of-riemann-hypothesis/39994, l'inégalité pointée par sa première référence (dans le même post). On y trouve également la définition de $\delta$. Et $\delta(n)$ est un entier contrairement à ce que dit Poirot dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1634300,1634964#msg-1634964, post où il écrit que $\delta(n) = \sigma(n)/n$, $\sigma(n)$ désignant la somme des diviseurs de $n$ (avec une telle définition de $\delta(n) = \sigma(n)/n$, $\delta(n)$ n'est pas entier et l'inégalité sur la sellette serait invalide pour $n \ge 145$).

Voir aussi https://mathoverflow.net/posts/107083/revisions

Que peut-on en déduire ? Qu'on ne lit pas vraiment l'information ? Que l'on se contente de choses approximatives voire fausses?

@Poirot
Est ce que, dans https://math.stackexchange.com/questions/184227/riemann-hypothesis-and-diophantine-equation, le commentaire dont tu parles est celui de John Bentin ? Il commence par ``IF $\delta(n)$ is defined as in ..etc... then this fails for $n = 199$'' (j'ai mis IF en majuscule). D'ailleurs, je ne comprends pas ce que vient faire $n = 199$ (j'ai l'impression qu'avec $\delta(n) = \sigma(n)/n$, les ennuis commencent à partir de $n \ge 145$).
Il faut aller voir à la fin de https://mathoverflow.net/questions/39944/collection-of-equivalent-forms-of-riemann-hypothesis/39994. Mais comme d'habitude, je n'ai pas trop confiance : le mieux serait d'aller voir l'ouvrage qui y est pointé (et les 3 auteurs DMR = Davis, Matiyasevic, Robinson). Pas réussi à mettre la main dessus.