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Filtres sommables et suites filtrables

Envoyé par lesmathspointclaires 
Filtres sommables et suites filtrables
il y a deux années
Bonsoir,

$f\in \mathbb ]0,1[^{\mathbb N}$ est filtrable ssi $\mathcal F(f):=\left\{A\subset \mathbb N\mid \sum f(A)=\infty\right\}$ est un filtre (donc en particulier stable par intersection finie).
Un filtre est sommable ssi il est égal à $\mathcal F(f)$ pour une suite $f$.

1) Existe-t-il des suites filtrables non triviales, si oui y en a-t-il avecune caractérisation sympathique ?
2) Mêmes questions pour les filtres sommables ?
3) Que dire de la relation d'équivalence sur $\mathbb ]0,1[^{\mathbb N}$ "avoir la même image par $\mathcal F$" ? - que les suites soient filtrables ou non.
4) Est-ce un sujet classique ? Et si oui où peut-on se documenter ?

Note :
Si $\mathcal I(f):=\left\{A\subset \mathbb N\mid \sum f(A^c)<\infty\right\}$ est clairement un filtre, et les questions 2bis) 3bis) et 4bis) correspondantes m'intéressent aussi... par simple curiosité + vagues projets d'utilisation



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Aucune suite de réels positifs n'est "filtrable" (si $\sum_{n\in \mathbb N} u_n=+\infty$, on peut trouver deux parties disjointes $A$ et $B$ de $\mathbb N$ telles que $\sum_{n\in A} u_n=+\infty$ et $\sum_{n\in B} u_n=+\infty$), et donc aucun filtre n'est "sommable".
Re: Filtres sommables et suites filtrables
il y a deux années
Merci. Y aurait-il un argument convainquant (autre que la traduction de la définition de filtrante^^)

P.S : c'est surtout le 2bis (et 3bis) qui semble(nt) intéressant(s) et exploitable(s) en "pratique".
Re: Filtres sommables et suites filtrables
il y a deux années
Que veut dire ta question ? Argument convaincant pour quoi ?
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Pourquoi aucune suite n'est filtrante ?
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Je l'ai déjà écrit. L'argument est un exercice facile que tu peux faire si tu y réfléchis un peu.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
@JC: ça ne s'arrête pas aux suites (même si on peut prouver qu'elles sont le cas général). Si une somme de nombres réels positifs est infinie, tu peux la découper en 2 sous-sommes, elles-mêmes infinies. Pour ça, tu prends deux sauts non SEAU, puis tu parcours ta famille de nombres, et jette à chaque fois le nombre lu dans le bon saut (c'est à dire celui, par exemple, dont la somme des nombres déjà mis dedans est la moins grosse).

Pour (3), bin en te paraphrasant, ça veut dire qu'il n'y a pas un même ensemble d'entiers $A$ tel que $somme(u,A)$ est infini alors que $somme(v,A)$ ne l'est pas (en notant $somme w,X:=\sum_{n\in X} w_n$). Ca semble assez proche de $somme(|u-v|, \N)$ est fini, non? (le soleil m'épuise, pas envie de réfléchir).

En tout cas pour répondre à (4), oui ce sont des classiques de L1-L3 même appelé "chapitre: séries".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
@Christophe : tu pensais que lesmathspointclaires n'y arriverait pas tout seul, ou tu tenais à montrer que tu sais faire ? grinning smiley
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
grinning smiley , en fait je le connais bien, je lui faisais gagner du temps, car il ne fait pas du tout ça pour l'école ou pour les études, il n'est pas payé ni ambitionne un poste, il essaie de résoudre la conjecture de Frankl (je crois bien depuis des années!!!**). Je ne voulais pas qu'il se torture avec ces impasses.

A noter que le post que j'ai produit est tout sauf formellement rigoureux grinning smiley

** c'est un autre pote à moi qui lui a filé ce virus, parfois je me demande si c'était humainement acceptable d'ailleurs.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Encore un oubli pardon @JC de mon téléphone déjà pardon d'avoir révélé ton combat . Ensuite je ne sais pas si tu es abonné aux news de Jussieu mais il y a eu un événement dont je te transmettrai toutes les données car là pour le coup ça peut vraiment t'inspirer pour Frankl (l'infinitisme avec axiome du choix sera une impasse et en plus IN et la filtration intéressante NECESSITE AC (c'est prouvable) donc espoir infime d'avoir Frankl avec des mesures sur IN. Par contre un gars qui s'appelle Ellentuck a réalisé un tour de force en "éliminant presque la récurrence" pour trouver la vérité de IN (qu'il étend à des ensembles infinis incroyablement accessibles). Sur news j'ai publicité son idée en disant qu'il a extrait toute la substance du fait que n fois (n+1) est un nombre pair même sans récurrence pour la généraliser à toute l'arithmétique. Il a écrit un article que j'ai mis en lien dans le fil "un modèle de Skolem" mais surtout je crois avoir vu qu'il renvoie pour les détails à sa thèse publiée dans ... "Annal of math" sauf erreur de ma memoire.

C'est EXACTEMENT CE QU'IL TE FZUT pour gérer Frankl: t'imbiber de ses idées purement ensemblistes. Je suis prêt à parier que SI tu lis sa thèse ALORS tu résous Franklin dans les 2 ans qui viennent.

(Annal of math est le plus sélectif des journaux).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Merci Christophe pour ces précisions, ceci dit, je ne me posais pas la question pour Frankl... En fait je reflechissais aux ultrafiltres (que je n'arrive pas bien à visualiser dans les parties d'entiers en fait...) et ça m'a conduit à me poser cette question, mais c'est dans le cadre d'autre reflections. C'est vrai que ça a pourrait avoir un rapport avec la démonstration que je t'ai envoyée, et où je me suis rendu compte que l'argument final n'est pas immédiat (et peut-être faux)

Le truc c'est que j'ai un peu peur qu'Anatole ne m'ait répondu un peu vite "oui" par mail à la question "est-ce qu'en admettant l'axiome de Martin, l'union de $\alpha$ ensemble de mesure nulle est de mesure nulle avec $\alpha$ strictement plus petit que le continu...

Car quelqu'un sur le forum MO ma dit que ce n'était pas vrai pour toutes les mesures. Selon lui, l'argument* fonctionne quand même avec la proba que j'ai défini, mais il n'est pas sûr. Comme je n'ai construit cette proba qu'après qu'Anatole m'ait dit que "oui" on pouvait, il n'a pas pu la voir, et il a peut-être cru que je parlais de mesure de Lebesgue...

Si tu as lu la preuve, peux-tu confirmer ce que j'ai appelé plus haut l'argument* ::
Il suffit de prouver qu'il existe une famille n'ayant pas la puissance du continu et dont le sup est 1, pour conclure? je redonne le papier en lien

(Merci pour tes conseils et encouragements, on en rediscutera vite j'espère, en plus ça fait longtemps qu'on ne s'est pas vu!)
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - FrMaTour.pdf (3.6 MB)
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Je te répondrai en détails d'un pc

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Pardon juste un detail insipide que j'ai oublié et qui me chatouille depuis hier (j'oublie régulièrement). Avant d'éventuellement corriger. Si quelqu'un connait l'orthographe de "saut (?) d'eau" je prends et remercie!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
@Christophe : note que je ne cherche pas à démontrer Frankl dans le lien précédent mais Frankl Faible : il existe $1/2\leq a<1$ tel que dans tout treillis $L$, il existe $g$, $\vee$-irréductible, tel que $|g\vee L|/|L|\leq a$ .
Frankl dit que $a=1/2$

J'ai du mal à croire que faire appel à l'infini soit une impasse pour FF car la négation de ça, a forcement un impact sur la physionomie d'un produit infini de lattice, et en particulier quand les lattice sont de moins en moins "Frankl". On peut s'arranger pour que les majorants des éléments dont les projections sont des irreductibles ait une proba non nulle, ce qui n'est possible que dans ce cas. En quotientant par "supérieur sauf en un nombre fini de projection" on obtient la proba 1 sur tous les éléments de projection presque toute irréductibles (appelons les les PI = presque irreductibles). Si on trouve une partie dénombrable (forcement non filtrante!) des PI dont le sup est 1, on a gagné. Mais je ne vois pas a priori de raison...par contre on peut peut être esperer trouver une sous famille de PI de cardinal intermédiaire entre dénombrable et continu, dont le sup soit 1, et utiliser l'axiome de Martin, pour dire qu'on peut faire "comme si elle était dénombrable" .

Je veux bien que ce dernier point soit une impasse (ce qui signifie qu'on ne pourra pas prouver qu'il existe une telle famille, et c'est donc une sorte "d'info" interessante, mais passons, car c'est peut-être une info qui n'informe qu'un béotien et ça n' rien d'un scoop pour un expert, donc passons)
Par contre je suis très étonné qu'on puisse prouver mathématiquement qu'il n'y a rien à faire de ce côté là, rien à apprendre et qu'on ne peut pas démontrer FF (je ne parle pas de Frankl) en passant à "l'infini". Je n'ai aucun mal à comprendre que si Frankl ou FF est vrai en niant/utilisant HC/AC ... ou que sais-je, ALORS c'est vrai tout court, mais je ne comprends pas comment on peut être certain qu'il n'y a pas une preuve plus courte en utilisant ces axiomes indépendants... J'ai un peu l'impression que c'est un peu comme si tu disais que le nombre 2 est fini et qu'il n'a rien à voir avec l'infini pour schematiser grossierement, car je sais que tu ne dis pas ça et que tu as de très bonnes raisons pour dire ce que tu dis, mais c'est l'impression que ça me donne quand j'entends l'argument et que j'oubli que c'est toi . L'impression que j'ai (mais du coup peut être que je me trompe) c'est qu'un énoncé coherent peut en se baladant croiser un énoncé absurde qui se balade aussi, et avoir une chance, s'ils se croisent maintes fois et dans des situations saugrenues et inconnue, de le faire tomber... être certain qu'alors, il existe forcement une preuve plus courte sans les axiomes, me parait à la limite plausible, sous certaine condition de contrôle quasi absolu sur les axiomes, mais aussi sur le "faux" et l'absurde...mais si c'est le cas pour FF et les axiomes de TDE ça m'impressionne bcp - le fait que je n'y connais rien y est pour bcp, mais ça veut dire que je me fais une idée très très fausse des choses. J'ai l'impression que le faux a une puissance volatile assez incontrôlable, pour faire une métaphore.

En fait j'ai quelques constructions précise en tête (autre que la somme toute banale dont j'ai parlé dans le papier et que j ai resumé ici) qui me font penser que FF faux feraient de tres tres grosses bizarreries à l'infini... il est possible que ces bizareries existent de toutes façon, et qu'il n'y ait rien du tout du tout à tirer de la façon dont FF faux (qui est peut être vraiment faux) s'y calque, mais ça e plairait d'en discuter précisement un jour avec toi... et de savoir si ce que tu dis est une présomption, un forte intuition (l'impasse) où si tu es mathématiquement catégorique à ce sujet.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Je n'avais pas vu tes réponses. a plus tard. ( ça s'écrit Seau d'eau)
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Merci pour l'orthographe!
Et oui l'infini génère des bizarreries (dans tous les sens!). Le problème de Martin c'est qu'il ne concerne MEME PAS le dénombrable et que sa consistance est facile à prouver. Les conservativites que t'a indiquées Anatole sont pertinentes: la fonction V |---> Frankl est constante alors que V|----> Martin etc pas du tout (quand V parcourt les Bien fondés modèles de ZFC. )

Évidemment comme le signalait foys. ailleurs on peut toujours dire que chercher à prouver quelque chose c'est chercher à résoudre une équation diophantienne donc je ne serai pas 100% catégorique mais juste 99.5% grinning smiley

Pour la filtration sur IN sans AC tous les phénomènes du genre Frankl sont faux (on peut supposer sue tout filtre est négligeable etc).

Attention je reconnais que contrairement à JJC tu acceptes l'infini et travaille sur un énonce pur du genre pour toute famille stable par union il existe un filtre dont le poids total des éléments de la famille qui lui appartiennent dépasse (est au moins égal à) à celui de ceux qui ne lui appartiennent pas. Mais mettre AC dedans te donnera trop d'ultrafiltres "perenoeliques" pour redescendre ensuite.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Ah et merci à tous les autres pour l'orthographe!! Je viens juste de voir.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Pour ne pas gâcher l'éventuel match musclant que t'avait proposé GBZM demande toi si toute suite de somme infinie peut se découper en une infinité de suites chacune de somme infinie.
De mon téléphone.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Citation
cc

Attention je reconnais que contrairement à JJC tu acceptes l'infini et travaille sur un énonce pur du genre pour toute famille stable par union il existe un filtre dont le poids total des éléments de la famille qui lui appartiennent dépasse (est au moins égal à) à celui de ceux qui ne lui appartiennent pas. Mais mettre AC dedans te donnera trop d'ultrafiltres "perenoeliques" pour redescendre ensuite

En l'occurrence c'est dépasse strictement mais c'est sans doute un détail...

Ce dont j'aimerais être sur c'est que MA implique qu'il suffit de trouver une sous famille des ensemble de proba1 qui est strictement moins grande que le continu et dont le sup soit le sup de tout le treillis pour conclure.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Citation
cc
Pour ne pas gâcher l'éventuel match musclant que t'avait proposé GBZM demande toi si toute suite de somme infinie peut se découper en une infinité de suites chacune de somme infinie.
De mon téléphone.

Je dirai que oui mais j'y reflechis un peu plus (merci pour cette jolie question)
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
De rien, oui, tu as raison la réponse est oui. Te reste pu qu'à le prouver grinning smiley par ce grand soleil d'avril...

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
On prend un nombre infini de mendiants munis de seaux qu'on dispose sur toutes les droites verticales de $\mathbb N^2$, qu'on parcourt bijectivement en remplissant à chaque étape les seaux des mendiants qui se trouvent sur notre abscisse à condition qu'ils fassent parti des plus démunis

[edit : j'ai remplacé "horizontales" , par "verticales" dans le soucis évident que ça soit plus rigolo]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
C'est plus qu'imprecis winking smiley N'oublie pas que toute objection possible doit être levée au moins tacitement par un sketch de preuve. Mêmes des seaux équilibrés n'assurent pas leur infinitude dès lors qu'il y en a une infinité.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Bon, quand tu auras fini pour celui-ci, je te mets d'ores et déjà la marche suivante: je note $K:=[0,1]\cap \Q$ et $J:=[0,1]$. On s'intéresse à une application $u$ qui va de $K$ dans $\R^+$ dont la somme est infinie.

Pour un réel $x\in J$, je note $giron(x)$ l'ensemble des éléments $q\in K$ tels que $dist(x,q)<$ la valeur absolue de l'inverse du dénominateur de la fraction irréductible qui représente $q$.

Voilà, comme ça on est dans un contexte où on peut aller plus loin que juste des partitions en "IN morceaux". Peux-tu construire $u$ (de somme infinie) telle que $\{x\mid $ la somme des éléments $u(q)$ quand $q$ parcourt $giron(x)$ est infinie$ \}$ est dénombrable? grinning smiley

(Note que deux réels différents ont des girons d'intersection finie, donc "ça simule" un peu l'intersection vide). Et je crois que c'était dans tes centres récents d'intérêts, donc tu gagnes 2 en 1 avec cette question winking smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
J'étais sorti, et n'ai pas pu répondre "de mon telephone" car je ne me souvenais plus du mot de passe, j'avais justement un exemple simple avec les rationnels entre 0 et 1... tu vas croire que j'ai pompé sur ton exemple (même s'il est plus sophistiqué car spécifique à la nouvelle question)

(ce que je faisais c'est que j'envoyais la suite sur les rationnels entre zéro et 1 et je faisais des "coupures" par un réel, donc j'avais une infinité de réels en prenant l'union et restait plus qu à extraire une suite convergente de réels, puisque entre deux valeurs ce cette suite, il y a une somme des poids infinis)

Je n'ai pas le temps d’écrire en Latex, mais je reviendrai et je réfléchirai à l'autre exo quand j'aurai le temps de lire au calme, merci ^^



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Pour la question d'après on fait la même chose en fait^^

On divise $K$ en trois intervalle dont les deux extrémaux est de poids infini (on est à la profondeur 1), et on fait ça pour chaque intervalle de la division (profondeur 2) et ainsi de suite. On obtient un ensemble de Cantor (reperable par une suite infini de $0$ et de $1$. les nombres qui dans cette représentations n'ont qu'un nombre fini de 0, vériefient, il me semble, la condition, je reviendrais pour preciser et/ou m'en assurer (je suis revenu vite fait éditer un betise^^)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
J'attends tes précisions, pour l'instant, je ne te suis pas du tout.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Lol je partais du principe qu'on peut toujours partitionner $K$ de mesure infini en deux intervalles de mesure infinie mais c'est faux, désolé je recommence j'ai un peu plus de temps.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
par puérilité je voulais répondre "avant" que tu donnes une réponse ou indication
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
La question 2 se déduit de la 1 : [edit en rouge]


question 2 supposant question 1
Après avoir quotienté $\mathbb N$ en une infinité de classe de poids infini, on en injecte une dans $K$ de sorte que le réel $r_1$ soit point d'accumulation, on injecte ensuite une autre classe de poids infini dans le complémentaire de l'image de la première de sorte que $r_2$ soit point d'accumulation, et ainsi de suite. Les $r_i$ ont des girons de poids infini et il y en a un nombre dénombrable



question 1
pour la question 1 on remarque quitte à considérer sans perte de généralité $(u_n)$ décroissante tous les idéaux sont de poids infini (1) ainsi que leur translaté

Car pour tous $k,p,q$ entiers $p<q$ on a par décroissance de $(u_i)$ :
$\sum_{0<i<k}\, u_{ip}>\sum_{0<i<k}\, u_{ip+q}>\sum_{1<i<k+1}\, u_{ip}$ l'une des ces somme partielle est non bornée pour un $q$ et par le lemme des gendarme elles le sont toutes.

On constate ensuite que les $U_i=2^{j}\mathbb N + k_j$ sont disjoints.pour un bon choix de $k_j$ que je n'ai pas envie de calculer

($U_i=C_{2i}$ où $C_i=(\bigcup_{k<i} U_k)^c$ )



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Bon, pardon de t'avoir peut-être influencé***, ce n'était pas mon but. En fait, si tu concentres de manière évidente les rationnels qui seront décrétés lourds autour de 1/2 (par exemple), je ne vois pas trop comment on pourrait avoir un ensemble non dénombrable de réels avec chacun un giron de poids infini?

*** je me relis pourtant, j'ai bien écrit: citation de moi-même =

Citation
moi-même
Peux-tu construire u (de somme infinie) telle que [...] est dénombrable?

Je ne t'ai peut-être pas compris en fait, mais en te lisant, j'ai l'impression que tu veux prouver "non" à cette question?????? confused smiley

Alors qu'en fait la réponse est "oui", même avec "singleton" à la place de "dénombrable".

Bon bin du coup, puisque ta sensibilité est lancée guerrièrement dans la direction <<des "découpages efficaces existent toujours">>, je te pose une question qui elle peut te permettre vraiment d'aller dans ce sens (je n'en connais pas la réponse):

Soit $u$ une suite de somme infinie (ses termes étant tous positifs). Peut-on toujours construire un ensemble $T$ de partie de $\N$ tel que (1) et (2) et (3), où :

(1) := [ tout élément $X$ de $T$ est tel que $somme(u,X)=\infty$]
(2) := [ pour tous éléments distincts $X,Y$ de $T: X\cap Y$ est fini] ?

(3) := [ $card(T) =card(\R)$ ]

edit: en rouge un oubli qui a motivé la remarque de Poirot, voir posts suivants.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: Filtres sommables et suites filtrables
il y a deux années
$$T = \{\mathbb N\}$$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Poirot.
Re: Filtres sommables et suites filtrables
il y a deux années
@Poirot. Je ne comprends pas ta proposition : si le signe veut dire ensemble des parties ça ne risque pas de marcher

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Filtres sommables et suites filtrables
il y a deux années
J'ai corrigé pardon.
Re: Filtres sommables et suites filtrables
il y a deux années
Olala oui, grand merci à toi Poirot, j'ai oublié un point (3)!!!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Filtres sommables et suites filtrables
il y a deux années
@ christophe : oui tu as mal lu, je démontre bien qu'il y a une infinité de réel de giron de poids infini



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
Re: Filtres sommables et suites filtrables
il y a deux années
@JC, oulala, donc en fait j'ai bien lu, mais c'est de ma faute, j'aurais dû mieux m'exprimer et mettre tous les quantificateurs au lieu d'user de l'abus de langage "toujours".

Bon, sache que la réponse est "non". On peut construire des $u$ telles que au maximum un seul réel a un giron infini. Il suffit de tout concentrer autour de 1/2.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Pour la question 3, il suffit de remplacer dans la question 2 (avec les girons) "dénombrable" par "ayant la puissance du continu" et c'est possible je crois...

Il suffit de s'arranger pour que tout intervalle de $K$ soit de poids infini :

On procède comme suit : on se donne $(U_i)_{i\in \mathbb N}$ est une partition de $\mathbb N$ tel que $somme(U_i,u)$ est infini pour tout $i$.
Ensuite on partionne $K$ en deux ensemble $K_0$ et $K_1$ : $K_0=K\setminus K_1$ est l'ensemble des fractions irréductibles plus petites que 1 dont le numérateur est pair. On va construire $f$ bijective de $\mathbb N$ dans $K_0$ telle que $f(U_i)$ n'ai pas de point d'accumuation dans $K_0$ , $\left\{\sup f(U_i),i\in \mathbb N\right\}=K_1$ et tous les réels de $[0,1]$ auront alors un giron de poids infni.

Pour construire $f$ on procède comme dans la question 2 ( ça m'étonne que tu n'ai pas compris mon argumement pour la question 2, j'espère que cette fois ci c'est toi qui te goure, et pas encore moi^^)


on ne parle pas de la meme demo je crois! (j'ai abandonné l idee du découpage, et j'ai d'ailleurs dit je ne sais plus où que c'était faux, et que tu avais raison de ne pas "e suivre" mais la démo dont je parle vient après cet erratum...



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Ce n'est pas que je ne l'ai pas compris, c'est que ce que tu essaies de prouver est faux, donc j'attendais tes réactions avant de le lire. Je viens de t'écrire que si on concentre les rationnels lourds autour de $1/2$, tout réel autre que $1/2$ aura un giron de poids fini? Est-ce que tu veux que je construise une telle "concentration" ou est-ce que tu es "d'accord d'avance"?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Et excuse-moi, malgré ma relecture et le fait que je n'y vois pas de "suggestion", je crains de t'avoir "conditionné" à vouloir répondre "oui , on peut trouver beaucoup de réels avec girons infinis". J'ai dû mal m'exprimer, c'est fort possible.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
J'ai répondu en rouge, au message d'avant. on ne parle pas de la même "demo".
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Ta question était très claire, c'est moi qui (avec ces histoires de divisions d'intervalle) disais des bêtises, mais je me suis rendu compte de l'erreur et les démo de (question 1 implique question 2 et de question 1)* ne font pas appel à ce découpage

*peut être que le fait d'avoir démontré 2 avant 1 a perturbé ta lecture diagonale^^,
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
grinning smiley ça devient compliqué, je relirai tout ça demain (ou au retour de vacances). Merci pour les précisions.

Je pense de toute façon que la question la plus intéressante (et difficile!!!) pour toi c'est celle à laquelle Poirot avait signalé un manque. Ca te mène à un thème du type Shelah Maliaris (qui t'intéressait), et même si tu résous la question, il y a un gros taf à faire, donc tu vas bien "te chauffer".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Voici un mail antérieur à la démo dont je parle qui montre que j'ai abandonné l'idée du découpage c'est l'"erratum" implicite dont je parle dans le troisième lien de ce post récapitulatif.

[www.les-mathematiques.net]

Ta questins était claire elle disait "peux tu construire u tel que" la réponse est oui, je crois,
et là j'ai démontré q2 et q1 (i.e. fait q1 implique q2 et q1)

[www.les-mathematiques.net]


et même en remplaçant dénombrable par non dénombrable (question 3)

[www.les-mathematiques.net]
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
J'ai mis un récapitulatif en fait c'est très simple, tu as juste du sauter un post (manque de bol c'était le bon)
Oui la question 3 est intéressante et je pensais d'ailleurs à cause du smiley bleu que tu t'étais trompé en écrivant "dénombrable" dans la question 2, et que tu voulais écrire "non dénombrable" : ce qui donne la question 3 d'ailleurs....

Pour la question 3 sous sa forme question 2 en remplaçant dénombrable par "continu" donc je rappelle l'argument : on partionne $K$ en $K_1$ et $K_2$ deux ensembles denses, et on envoie toutes chaque partie de $\mathbb N$ ayant un $u$-poids infini sur un ensemble de $K_0$ sans point d'accumulation (c'est à dire que le point d'accumulation est dans $K_1$, on fait ça récursivement sans problème. Et ça réponds à la question, car tour réel <1 a un giron de poids infini. Il suffit de prendre pour $T$ l'ensemble des $f^{-1}(giron(x))$



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Je refais la démo des trois points le premier étant la réponse facile à la question du post, et le second la réponse à la deuxiemme question de cc et le troisième la réponse à la question intéressante. On ne perd pas de généralité à supposer $u$ décroissante (de somme infinie)

1) On remarque que $\Sigma_{0\leq k\leq i}u_{2k}\geq \Sigma_{0\leq k\leq i}u_{2k+1}\geq \Sigma_{1\leq k\leq i}u_{2k}$ si l'une de ces trois suites de sommes partielles convergeait vers un réel il en serait de même des deux autres et donc de $u$ aussi, donc c'est absurde et on a bien $u(2\mathbb N)$ et $u(2\mathbb N+1)$ de somme infinie

2) Soit $V^n\in \mathbb N^{\mathbb N}$ injective et croissantetel que $V_0(\mathbb N)=\mathbb N$, et $V^n(\mathbb N)=V^{n-1}(2\mathbb N+1)$, on dduit de 1) que les $U^n=V^n\setminus V^{n+1}$ qui forment une partition de $\mathbb N$, sont chacun de poids infini. (edit en gras)

3)On pose $K=[0,1]\cap \mathbb Q=: K_0\cup K_1$, avec $K_0$ et $K_1$ denses dans $[0,1]$. (par exemple $K_0$ est l'ensemble rationnels <1 représentés par des fractions irréductibles de numérateur pair) On choisit $x_0\in K_0$ et on envoie alors $U^0$ définit dans 2) dans une partie $f(U^0)$ de $K_1$ constitués de points isolés, et tels que l'adhérence de $f(U^0)\cap K_0=\left\{x_0\right\}$. On choisit ainsi récursivement $x_k\in K_0$ et $f(U^k)$ dans $K_1\setminus (\bigcup_{i<k} f(U^i)$ de sorte que $f(U^k)$ soit constitué de points isolés de $K_1\setminus (\bigcup_{i<k} f(U^i))$ (*) et tel que $x_k$ soit dans l’adhérence de $f(U^k)$ et de sorte que $K_1\setminus (\bigcup_{i<k+1} f(U^i))$ soit dense dans $[0,1]$ (**).
(*) est toujours possible si $K_1\setminus (\bigcup_{i<k} f(U^i))$ est dense et la construction par récurrence fonctionne grace à (**).
On a donc $f(U^n)$ est définie pour tout $n$. On en déduit l'existence d'une fonction $f'$ surjective de $\mathbb N$ dans $K$ dont $f$ est la fonction image, telle $u(f'^{-1}([a,b]\cap \mathbb Q))$ soit de somme infinie pour tous réels $0<a<b<1$, en particulier $u(f'^{-1}(giron(x)))$ est de somme infinie pour tout réel $0<x<1$.



Edité 9 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par lesmathspointclaires.
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Je n'ai pas encore lu, mais en apercevant:

Citation

On ne perd pas de généralité à supposer u décroissante (de somme infinie)

Je me suis dit que je vieillis vite décidément. C'est évident?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: filtres sommables et suite filtrables
il y a deux années
Citation
cc
Je n'ai pas encore lu, mais en apercevant:

Citation

"On ne perd pas de généralité à supposer u décroissante (de somme infinie)"

Je me suis dit que je vieillis vite décidément. C'est évident?

Si $u$ tend vers $0$*** oui car on prend la plus grande valeur, puis la deuxième plus grande, etc... comme les termes sont positifs ça ne pose pas de problème.

Si $u$ ne tend pas vers $0$, on en extrait une sous suite convergente vers un réel non nul ou divergeant vers l'infini, et dans ce cas là toute partie infinie est de poids infini, et la question 1 est evident (la 2 aussi...)

***je croyais que j'avais fait cette supposition dans le post initial, mais en fait non... et sans cette supposition ça méritait peut-être quelque mots^^
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