Le modus ponens

Equilatéral
Equilatéral
dans Fondements et Logique
Bonjour à tous
Je me pose cette question, probablement déjà posée un jour sur le forum.

$P$ est une propriété sur les entiers naturels.
$E(n)$ est un entier naturel qui dépend de $n$.
$n$ est un entier naturel.

On fixe $n$ sur $\mathbb{N}$
On dispose de $P[E(n-1)]$ c'est-à-dire que $E(n-1)$ vérifie la propriété $P$.
On dispose de $P[E^2(n-1)]$ c'est-à-dire que $E^2(n-1)$ vérifie la propriété $P$.
J'ai démontré que : $P[E(n-1)] \Rightarrow P[E^2(n-1)]$.

Voici le cœur de la question.
On dispose de $P[E(n)]$ c'est-à-dire que $E(n)$ vérifie la propriété $P$.
Est-ce que je peux dire :
En utilisant le $modus$ $ponens$, puisque $P[E(n-1)] \Rightarrow P[E^2(n-1)]$ avec $n$ fixé sur $\mathbb{N}$, et que l'on dispose de $P[E(n)]$ alors dispose-t-on forcément de $P[E^2(n)]$ ?
'est-à-dire $E^2(n)$ vérifie-t-il la propriété $P$ ?

Le raisonnement tient-il (peut-on utiliser le $modus$ $ponens$) si $P$ est une propriété sur les entiers naturels mais probablement pas tous, je veux dire sans savoir si $P$ est une propriété valable pour tous les entiers naturels ?

J'espère ne pas écrire trop de bêtisses.
Je me rends compte qu'il y a beaucoup de questions.
J'ai inventé cet exemple pour comprendre le concept du $modus$ $ponens$ via ce cas bien concret et précis.
Merci à vous.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Voilà ce que tu écris :
    J'ai montré que $P(E(4)) \rightarrow P(E^2(4))$
    On dispose de $P(E(5))$, alors as-t-on nécessairement $P(E^2(5))$

    En effet, tu as fixé $n$ au départ, moi j'ai pris $n=5$.

    Peux-tu reposer ta question en quantifiant : distinguer ce qui dépend d'un $n$ particulier (connu ou inconnu) et ce qui est vrai pour tout $n$ (*)

    Cordialement.

    (*) $n-1$ est une valeur comme une autre, si une propriété est vraie pour tout $n$ positif, elle est vraie pour tout $n-1>0$.
  • Equilatéral
    Equilatéral
    Bonjour et merci beaucoup pour cette réponse.

    Je n'arrive pas à envoyer le message donc le voici en pièce jointe.

    Je vais le réécrire dès que possible.
    Merci.75838
  • Equilatéral
    Equilatéral
    J'ai des messages d'erreurs en tapant, je le ferais plus tard.
    Merci.
  • gerard0
    gerard0
    Ce n'est toujours pas clair !

    Ce que tu veux prouver par récurrence, est-ce que c'est $P$, ou bien $Q : \forall n\in\mathbb N, \, P(E(n))$ ?
    Quand tu dis "on disposes de $P[E(n)]$ par hypothèse, tu te places dans le second cas. Ce n'est pas $P$ que tu veux démontrer, mais $Q$.

    Ensuite, je ne comprends pas ce que tu dis : "On se rend compte que l'on dispose de $P[E(n-1)]$ aussi." veux-tu dire qu'on démontre ça à partir de $P[E(n)]$ ? Pour le n choisi ? Et que fais-tu si n=0 ?

    Troisième problème : "On sait montrer que $P[E(n-1)]\Rightarrow P[E^2(n-1)]$". Veux-tu dire "pour ce n là, précisément. On a utilisé la valeur de n ? Ou pour tout n au moins égal à 1, ce qui fait que noter n-1, ou m, ou n si ça nous arrange est possible ? Dans le premier cas, il est évident que n n'est pas n-1. Donc il faut reconstruire ta preuve pour avoir ce que tu veux.

    Important : Si tu as recopié le texte de ton premier message, le forum refuse de la reprendre, car les parties LaTeX sont dans un code qu'il ne reconnaît pas. Il faut copier le code LaTeX :
    * soit sur la formule : Clic droit, puis Show maths as / tex Command
    * soit en ouvrant le message par citer s'il y a plusieurs zones LaTeX.

    Cordialement.
  • Equilatéral
    Equilatéral
    Bonjour,

    Merci beaucoup.

    Ce qui m’intéresse est de comprendre comment fonctionne le $modus$ $ponens$.

    Vu que je n'arrive pas à faire ou donner un exemple sur une propriété car mon niveau ne le permet visiblement pas, pouvez-vous me donner un exemple sur la définition (j'espère ne pas déformer la définition) :

    Si on dispose de : $A$.
    Si on dispose de : $A$ $\Rightarrow$ $B$.
    Alors on dispose de : $B$.

    Sinon, je persiste, disons pour avancer oui, je veux prouver $Q$ dans ton dernier message.
    Et oui, $n$ un entier naturel supérieur à ou égale à 2.
    Et enfin oui, en fixant $n$ un entier naturel supérieur ou égale à 2 :
    Pour finir, $P[E(n)]$ correspond à l'hypothèse de récurrence sur $n$.
    On arrive au résultat que $P[E(n-1)]$ vérifie la propriété.

    Peut-on utiliser le $modus$ $ponens$ dans mon exemple ci-dessus ?
    Dispose t-on de $P[E^2(n-1)]$?

    Merci en espérant que ceci permette de répondre à ma question.
    Désolé pour mon manque de rigueur sur mes anciens messages.
    Encore merci pour l'aide du Latex, en effet, je reprenais mes anciens messages copier/coller pour créer de nouveaux.
  • gerard0
    gerard0
    Ok pour le modus ponens.

    Donc il est vrai que si on dispose de $P[E(n-1)]$ et de $P[E(n-1)] \Rightarrow P[E^2(n-1)]$, le modus ponens démontre que $P[E^2(n-1)]$. C'est tout.

    Mais je ne comprends pas pourquoi tu poses cette question puisque c'est une application évidente de la règle. Et je ne vois non plus aucun rapport avec la preuve par récurrence dont tu parlais. Sans parler du fait que ta question initiale concernait $P[E^2(n)]$ donc à priori tout autre chose.

    J'espère que tu es satisfait.
  • Equilatéral
    Equilatéral
    Bonjour
    Merci pour la confirmation qui n'est pas si évidente, en tout cas en ce qui me concerne.

    Je déduis que : si je dispose de $P[E(n)]$ et je dispose également de $P[E(n)]\Rightarrow P[E^2(n)]$ alors on dispose de $P[E^2(n)]$.

    C'est surtout cette étape qui intéresse mon cas, car elle n'était pas évidente du tout.
    Le $modus$ $ponens$ est donc un outil puissant !.

    Merci pour l'aide.
    Le forum est pour moi une chance et un réel plaisir.
  • Equilatéral
    Equilatéral
    Bonjour,

    Toujours dans notre exemple avec les mêmes conditions.

    (i) Je dispose de : $P[E(n-1)]$.
    (ii) Je dispose de : $P[E(n-1)]$ $\Rightarrow$ $P[E^2(n-1)]$
    Donc je dispose de : $P[E^2(n-1)]$.

    Je dispose de : $P[E(n)]$.

    Est-ce que je dispose néanmoins de $P[E^2(n)]$ sans avoir prouvé $P[E(n)]$ $\Rightarrow$ $P[E^2(n)]$ mais grâce à (ii) ?.

    Ne pas tenir compte d'ici {

    J'ai seulement $[E(n)]$ $\Rightarrow$ $[E^2(n)]$.
    ou encore :
    $P[E(n)]$ $\Rightarrow$ $E^2(n)$ ou $P[E(n)]$ $\Rightarrow$ $P[E^2(n)]$ ?

    } jusque là.
    Modifié après avoir compris ce que GaBuZoMeu m'a expliqué dans le message juste en bas.


    C'est là où il est intéressant de savoir si on dispose $P[E^2(n)]$ à partir de (ii).


    Je n'en suis pas certain.
    C'est encore flou pour moi.

    Merci.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Que veut dire $[E(n)]\implies [E^2(n)]$ ???
    Tu ferais mieux d'écrire en toutes lettres en français. Là, visiblement, tu es perdu dans les symboles et tu écris des choses qui ne font pas sens.
  • Equilatéral
    Equilatéral
    Bonjour,

    Tu as raison.

    Il s'agit de : $E(n)$ $\Rightarrow$ $E^2(n)$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Alors que veut dire $E(n)\implies E^2(n)$ ??? Tu as écrit plus haut (sans doute pour fixer les idées) $E(n)$ c'est $n+42$. Déjà se pose la question : que veut dire $E^2(n)$ ? $(n+42)^2$ ? $(n+42)+42$ ? Mettons que ce soit $(n+42)^2$. Mais alors, que veut dire "$n+42$ implique $(n+42)^2$ ??? Un entier implique un autre entier ? Quel sens ça a ?
  • Equilatéral
    Equilatéral
    Oui $E^2(n)$ = $(n+42)^2$.

    Et oui, mon exemple est surement un mauvais exemple, tu as raison.
    Je cherche à comprendre le $modus$ $ponens$.
    Je suis maladroit pour créer des exemples.

    Désolé pour le "contre-sens" engendré.
  • Equilatéral
    Equilatéral
    J'ai compris GaBuZoMeu et ce qui gène.
    Je ne sais pas rayer le $texte$ et ai demandé de ne pas en tenir compte comme j'ai pu (voir plus haut).

    Concernant ma question, est-ce que je dispose de $P[E^2(n)]$ grâce à $P[E(n)]$ et (ii) ?.

    Merci.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Que veut dire ii) ?
    Est-ce que ii) veut dire "Pour tout entier $n\geq 1$, si $P(E(n-1))$ alors $P(E(n-1)^2)$" ?
  • gerard0
    gerard0
    Equilateral,

    il n'est pas besoin de rayer le texte, seulement de dire clairement ce que tu veux.

    Pour le modus ponens, ce n'est qu'une quasi évidence de vie quotidienne, je ne vois pas pourquoi tu en fais tout un plat. Ce n'est que ce qu'on fait quand, voulant planter un clou, on va chercher un marteau : Si un marteau permet de planter un clou et si j'ai un marteau, je peux planter mon clou.

    Et tout l'habillage que tu as fait n'a de sens que si, en fait, tu as une preuve à faire, que tu nous cache, et qu'on t'a contestée. Dans ce cas, explique, et on en parlera. Mais là, tel que c'est dit, c'est non. Je t'ai déjà tout dit sur ta question ici.
    Une propriété sur n-1, où n est fixée ne dit rien sur une propriété sur n. Pour n=4, on a (n-1)²=9, mais on ne va pas en déduire n²=9, ce serait idiot.

    Donc explique vraiment ce qui te soucie, puisque contrairement à ce que tu as dit plusieurs fois, ce n'est pas le modus ponens qui te soucie, mais autre chose.
  • christophe c
    christophe c
    @Equi: avant que GBZM ne te pose sa dernière question, je t'avais lu de mon téléphone et j'allais te répondre "non" (sans trop comprendre ce que tu veux) quand tu demandais (ou avais l'air de demander) :

    << Est-ce que je peux déduire $Q(n)$ de $Q(n-1)$ (où $Q = [n\mapsto ( \ P(E(n)) \to P(E^2(n)) \ )]$ ) >>

    Je vois que GBZM t'a pris en charge (si je ne mentionne pas Gérard, pardonne-moi Gérard, c'est juste que je n'ai pas lu les échanges, juste vu l'échange que je cite)

    Si tu demandes:

    <<est-ce que je peux déduire $\forall n R(n)$ de $\forall n: R(n-1)$ >>

    La réponse est toujours "non".

    Dans le contexte particulier des nombres entiers, si tu demandes

    <<est-ce que je peux déduire $\forall n\in \mathbb{N} : R(n)$ de $\forall n\in \mathbb{N} ^*: R(n-1)$ >>

    La réponse est toujours non, bien que l'implication soit vraie (mais elle n'est pas une DEDUCTION).

    Par contre, de manière générale, tu as le théorème suivant:

    Si $\forall x\in E: R(f(x))$ et $\forall x\in F\exists y\in E : f(y)=x$ alors $\forall x\in F: R(x)$.

    Avec $E:= \N^*$ et $F:=\N$ et $f:=[x\mapsto x-1]$, tu as donc une implication qui est un théorème de logique générale. En général on réserve le mot "déduction" à "déduction immédiate" alors qu'ici tu as deux étapes.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Et remarque: règle générale, tu avais déjà la réponse par toi-même. Si tu éprouves le besoin de demander, c'est que c'est AUTOMATIQUEMENT NON!!!!!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Equilatéral
    Equilatéral
    Bonjour,

    Merci pour vos réponses.
    En effet, je me rends compte que non également.
    GaBuZoMeu, comme $n$ est fixé sur les entiers naturels et plus grand ou égale à 2, je dispose seulement de $P[E(n-1)]$ implique $P[E^2(n-1)]$ également de $P[E(n-1)]$ et par le $modus$ $ponens$ de $P[E^2(n-1)]$ confirmé par Gérard0.

    Je dispose de $P[E(n)]$ et malheureusement pas de l'implication au rang $n$.
    J'ai été gourmand pensant que le $modus$ $ponens$ du rang $n-1$ ferait l'affaire.
    Christophe m'en dissuade également car je m'en pose la question.

    Merci beaucoup pour toute l'aide apportée.
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