AC : une question philosophique
Bonjour à tous,
Je me suis toujours posé la question suivante "peut-on faire des mathématiques sans l'Axiome du Choix".
Je cite quelques exemples (que vous connaissez) d'applications de cet axiome : Hahn Banach, Tykhonov, base d'e.v , Krull, ensemble non mesurable... etc.
Sans cet axiome, on perd beaucoup de jolis résultats théoriques, mais la question qui se pose: est-ce que cela va réduire les applications des mathématiques aux problèmes concrets (la physique par exemple...).
Je me suis toujours posé la question suivante "peut-on faire des mathématiques sans l'Axiome du Choix".
Je cite quelques exemples (que vous connaissez) d'applications de cet axiome : Hahn Banach, Tykhonov, base d'e.v , Krull, ensemble non mesurable... etc.
Sans cet axiome, on perd beaucoup de jolis résultats théoriques, mais la question qui se pose: est-ce que cela va réduire les applications des mathématiques aux problèmes concrets (la physique par exemple...).
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Réponses
Dans " les applications des mathématiques aux problèmes concrets", on utilise de nombreuses théories mathématiques, qui sont souvent fondées sur l'axiome du choix ou des équivalents.
Pour donner une image équivalente, on peut fonder toute la physique sur les décimaux ayant au plus un million de chiffres, mais c'est bien pratique de travailler avec les réels, même si aucune mesure ne donnera exactement $\sqrt 2$.
Cordialement.
Dans cet univers toutes les parties de IR^n sont Lebesgues mesurables, toutes les mesures sur n'importe quoi sont sigma-additves, toutes les parties de IR^n sont un ouvert (à un maigre près), etc, etc.
J'irai même plus plus loin, mais je ne parle qu'en mon nom du coup, je peux même prouver de manière à 99.999 irréfutable que tout univers vérifiant AC "construit" un réel hors de lui (et donc tout plein). Autrement dit, tout univers vérifiant AC "sait" qu'il n'est pas plein (ie qu'il rate des objets mathématiques). Je n'en donnerai pas la preuve (assez complexe d'ailleurs) ce matin, mais je peux laisser un slogan qui la vulgarise: après un certain nombre de manipulations diverses et variées, on peut "déduire" du paradoxe de Banach Tarski où se situent les points du cube qui ne sont pas dans l'univers (ie on les localise assez bien).
Je confirme, de très nombreux résultats de fond sont incompatibles avec l'axiome du choix, par exemple le plus gros laboratoires français d'analyse, avec les meilleurs analystes de France y a essentiellement renoncé et travaille dans ZF +CD + AD (90% des conférences et séminaires).
ZF je connais, peux-tu stp préciser CD et AD ?
J'ai un commentaire et une question : parlons de l'analyse fonctionnelle, et prenons la dualité comme exemple, sans Hahn Banach on ne peut pas définir la topologie faible d'un espace vectoriel topologique localement convexe, en effet c'est Hahn Banach qui permet de montrer que le dual topologique est non trivial ( i.e. non nul) ma question est la suivante: est-ce qu'on peut démontrer ce théorème dans la théorie annoncée ci-dessus (ZF +CD + AD).
Peux-tu me citer des travaux ( des articles , livres....) en analyse qui n'utilisent pas ZFC, je suis preneur
Merci d'avance
$AD$ c'est l'axiome de détermination. Je t'en donne une version équivalente ne nécessitant pas de background. il dit:
$\forall n\in \N^* \forall f: [0,1]^n\to n \exists F, $fermé $\subset [0,1]^n\exists i\in n: [ (\forall x\in F: f(x)=i)$ et $(\forall y\in [0,1]\exists x\in F: x(i)=y)]$
Concernant l'analyse fonctionnelle, les gens font juste attention dans quelles théories ils travaillent. Le théorème de Hahn Banach (versions fortes) équivaut (sauf erreur) à l'axiome du choix.
Ce que font ces analystes, c'est souvent la chose suivante: ils "s'entrainent à jouer dans ZF + CD + AD", puis ramènent leurs résultats dans ZFC en les restreignant à des ensembles topologiquement très simples (les projectifs, etc). Par exemple, on sait que $ZFC+$ l'axiome qui dit que tout ensemble qui est "défini sans l'aide de l'axiome du choix" est une théorie en fait assez faible (bien moins forte que ZF+CD+AD). Certains s'amusent aussi à travailler dans $L[\R]$ (c'est l'intersection de tous les univers qui montent "tout en haut" (ie mêmes ordinaux que ceux de l'univers de départ),
et contiennent tous les réels.
+ il manque un mot ou plus, je crois dans "Par exemple, on sait que ZFC+ l'axiome qui dit que tout ensemble qui est "défini sans l'aide de l'axiome du choix" est une théorie en fait assez faible" (ou bien il y en a un en trop et je ne comprends pas)
Pour HB=>AC, effectivement, mes souvenirs sont trop vagues pour que je sois formel, mais attention, il peut y avoir plusieurs versions de HB, c'est pour ça que j'ai précisé "toutes les versions conjonctées". On a la même config avec Tychonov qui => AC, mais si on prend l'énoncé de Tychonov restreint aux espaces séparés on n'obtient que le l'axiome de l'ultrafiltre.
Donc je ne sais pas pour HB, restons méfiant.
Pour faire du forcing, on part d'un modèle qui est un ensemble dans l'univers ambiant, et on lui ajoute des machins qui viennent eux aussi de l'univers ambiant. Du coup, ça n'est pas étonnant que le modèle de départ ne soit pas plein, vu du nouveau modèle plus gros. Mais ça ne dit rien de l'univers ambiant, qui contient déjà tous les objets mathématiques et qu'on ne peut par conséquent pas étendre par forcing.
Par ailleurs je n'ai JAMAIS évoqué le forcing dans ce passage il n'est absolument pas concerné ni de près ni de loin. Je n'aurais jamais écrit une chose pareille pour juste dire que les applications de IN dans une algèbre de Boole sont des réels virtuels qui "marchent bien".
Par ailleurs où le rapport entre la fin de ton post et l'invariance évoquée au début de ton post?
le forcing n'est ni plus ni moins qu'une prise de conscience. Digression rapide que je rappelle: lorsqu'on met des élèves devant un logiciel sceptique (ils sont alors dans un cadre où l'erreur est impossible, ils sont donc tranformés en vrais matheux, le temps de l'échange avec le logiciel), ce qui est absolument frappant c'est que les non matheux (et les matheux aussi mais dans une moindre mesure) cherchent "à l'extérieur d'eux" les coups à jouer. Retraduit en termes lisibles par tout le monde, ça donne que pour prouver que 53 fois 67 = tant, ils cherchent à prouver que (57-4) fois (73-6) = ce même tant, etc, au lieu de chercher NATURELLEMENT à d'abord prouver que (50+3) fois 67 = tant
Une fois qu'ils ont pris conscience que maths == psychanalyse, ie recherche en soi de pourquoi on est intimement convaincu de quelque chose et de ce qui nous pousse à parier gros dessus, les choses s'arrangent. Mais il y a un temps de cogitation anarchique avant
Le forcing est le même aboutissement mais de la part des
ou de certains chercheurs chevronnés dans les années 60-70 (l'époque 60-80 est d'ailleurs et de loin la plus prolifique des maths, l'avez-vous remarqué?, c'est là qu'ont été découvert la plupart des gros trucs, depuis plus rien, si on simplifie)
C'est la prise de conscience que $\{vrai; faux\}$ n'est qu'une compulsion de confort mais n'est jamais utilisé dans les raisonnements scientifiques, et peut être remplacé par n'importe quelle algèbre de Boole.
Si $B$ est une algèbre de Boole complète (on peut toujours compléter une algèbre quelconque et même n'importe quel ordre), on obtient la valeur booléenne de n'importe quelle phrase via:
$val (X\to Y) := val(X)\to_B val(Y) $ et
$val(\forall xR(x) := inf(\{val(R(a)) \mid a\in Univers\})$
dès lors qu'on a calculé les $val(u\in v)$ pour tous les $u,v$ parcourant l'Univers.
Les résultats de consistance relative (l'indépendance de HC, etc) proviennent de l'EVIDENCE que tous les axiomes de $ZF$ (resp de $ZFC$) sont des $X$ tels que $val(X)=1_B$.
Pour les gens qui n'aiment pas les algèbres de Boole complètes, je rappelle comment utiliser le mot "force" avec un ensemble $(P,\leq )$ quelconque:
$p \ force\ (A\to $ est une abréviation de $<< \forall q\leq p: ((q \ force\ A)\to (q \ force\ )>>$
$p \ force\ \forall xR(x)$ est une abréviation de $<<\forall a: (p \ force\ R(a))>>$
A chaque fois, si vous êtes attentifs, vous remarquerez que tout est trivial sauf... l'extensionnalité. Ici le problème de l’extensionnalité s'incarne dans le projet de donner la "bonne définition" pour l'initialisation, ie les valeurs booléennes des $u\in v$, ou avec le mot force les définitions de $p \ force\ (u\in v) $
En effet, tous les axiomes des maths à l'exception de l'axiome d'extensionnalité sont des "non axiomes" dans le sens qu'ils sont des axiomes de compréhension (ie ce sont des pseudo-définitions), donc sont transparents pour le forcing. Par contre, l'extensionnalité pose un GRAND NOMBRE de difficulté de fond. On le "démarre" avec le fait que de toute façon, $p$ doit forcer $(a\in b)$ dès lors que $(a,p)\in b$, mais il y a un travail sérieux à accomplir pour que si $p$ force $a=b$ et $(p,c)\in a$ alors $p$ force $c\in b$, par exemple. C'est la seule technicité.
-preuve du grand théorème de Fermat,
-preuve de la conjecture de Poincaré,
-finitude de la limite infèrieure de l'écart entre les nombres premiers.
Si tu veux je détaillerai plus, quand disponible (il me faudrait au moins 30mn, j'ai cours dans 10), mais tu peux calculer toi-même (en moins de 3H, même en débutant) ce $0_B$. C'est lourdingue, mais c'est tout, il n'y a pas de surprise. La seule inspiration est que les familles disjointes d'ouverts de $\R^k$ ne peuvent être que dénombrable (à un moment ça sert et si tu n'y penses pas le calcul automatique ne te le dit pas et et laisse sans panneaux "Ici Paris" au lieu de la broussaille). Maintenant que j'ai dit ça, il ne te manque rien si tu veux le faire (enfin si l'obtention de l'extensionnalité mais fais comme si le problème n'avait lieu ie comme si tu voulais prouver ZF-extensionnalité ne prouve pas HC)
Je donne un cours à une fille en terminale, en général je lui demande d’essayer de justifier au mieux ce qu’elle fait par exemple si elle me dit A je lui demande si je veux une justification de ce A qu’elle me dise ou bien elle va pas plus loin ou bien elle me sort un B et un B implique A et rebelote. A la fin c’est moi qui dis si je suis d’accord ou pas avec les phrases. Je fais pour des exos du programme genre pour justifier des dérivées et dans la liste des axiomes acceptés mais je mets les évidences de calculs + les théorèmes de dérivation (composition, addition etc sachant que je lui donne la bonne définition de fonction (ensemble de couples tels que blabla) et les defs de composition tout ça.
Elle y arrive quand les exos sont simples directs mais le problème c’est que c’est Super fluctuant en fonction de son humeur de à quel point elle s’en fout sur le moment etc.
Je me dis avec une présentation sur ordi effectivement interdiction de tricher et en plus elle pourra pas faire n’importe quoi quand je suis pas là.
Tu peux me dire en quoi consiste le programme ?
Pour les phrases c’est au pif où t’imposes des règles de syntaxe ? (Genre pas le droit d’écrire blou implique blabla)
J’aimerais bien aussi pouvoir imposer un peu la forme des phrases au moins sur les quantificateurs, parce que très souvent elle s’en fout de ça et j’arrive pas à lui faire comprendre que non vraiment c’est pas décoratif une fonction qui a un x d’image x^2 n’a aucune raison d’avoir une dérivée qui vaut 2x en ce x. Ces trucs-là elle comprend sur le coup mais après elle oublie ou alors s’en fiche (et de bonne foi en plus).
let rec prouve p =
if evidence p then print_string "Ah ok. \n"
else let justification = read_line () in
print_string ("Prouvez que "^justification^"\n ");
prouve justification;
let implication = justification^" implique "^p in
print_string ("Prouvez que "^implication^"\n");
prouve implication
;;
Après à toi de voir ce que tu mets dans ta fonction évidence.
Je pensais qu’il y avait une version beaucoup plus « élaborée et interactive » et aussi plus « logiquement valable » (je ne savais si mon programme implémentait au moins correctement une des versions possibles de la notion de démonstration)
Mais donc du coup c’est à peu près comment je voyais déjà le truc.
Merci !!
Christophe et al , excusez moi de vous interrompre, je pense que la discussion a dévié de la question principale.
Je vais la poser d'une autre manière. On rencontre les applications de l'analyse fonctionnelle dans la théorie des EDP, les espaces sur lesquels on travaille sont les Lp et les Sobolevs. Est-ce que l'axiome du choix intervient dans la démonstration des propriétés de ces espaces?
Je prends l'exemple de L2 ( sont dual est non nul , pas besoin de Hahn Banach pour le prouver), il est uniformément convexe ( espace de Hilbert) donc il est réflexive. la compacité de sa boule unité vient par réflexivité et Banach Alaoglu ( dont la preuve est basé sur Tykhonov donc AC), mais il y a le critère de compacité séquentielle de la boule unité d'un Banach réflexive ( Eberlein-Smulian ou sa réciproque, je m'en souviens pas exactement). Ce critère de compacité séquentielle est utilisé fréquemment dans la théorie des EDP notamment pour démontrer l'existence d'une solution. d'après (mes souvenir) la preuve de ce critère est basé sur Banach Alaoglu donc AC.
La question qui se posent est ce que ce critère est démontrable pour ces espaces particulier Lp et Sobolev sans faire appelle à Banach Alaoglu donc AC.
PS: dans ce message , je parle de la compacité pour la topologie faible
Cordialement.
En termes pragmatiques, il est juste utile d'avoir un "background" (arrière-plan ?) où ne sont pas à réécrire systématiquement les hypothèses du panier, ce que ne fait pas la version la plus simple. Tu peux donc programmer : @massimo: si tu veux entrer en profondeur dans cette thématique, il te faut avancer dans le domaine de la profondeur des affirmations mathématiques, car sinon, tu n'auras que des réponses superficielles ou très locales.
La plupart du temps, les analystes prouvent des trucs dans ZFC, dans ZF+AD, etc, mais disposent de théorèmes de transfert permettant aux applications de marcher car pour ce qui les concerne elles, elles sont au niveau 0 ou 1 de profondeur.
Les premiers niveaux (algèbre et analyse "un peu appliquées") sont ce qu'on appelle "absolus", c'est à dire tombent dans le champ d'un théorème qui dit "si vous pouvez le prouver dans ZFC alors vous pourriez le prouver dans ZF", ou encore "si vous pouvez le prouver dans ZF + AD alors vous ne pourriez pas prouver sa négation dans ZFC"
Sur tes exemples, on peut dire que l'axiome du choix permet une vue d'avion de la montagne, puis revenu sur Terre, on sait quel versant est le moins dangereux pour l'escalader. Concrètement, ce que tu auras de général avec AC deviendra efficace et SANS AC dès lors que tes espaces sont par exemple séparables
Cela dit, il est aussi bien connu que l'analyse fonctionnelle est très loin d’être un sujet maitrisé actuellement par l'humanité, ce que je te réponds ne fait office que de renseignement partiel.
Je ne sais pas ce qu'est un "espace de Sobolev" donc je ne peux te renseigner plus.
Supposons que l'on a une preuve de l'existence d'une solution à $(E)$ utilisant l'axiome du choix. Alors en particulier, $(E)$ a une solution $y_{\mathbb L}$ dans l'univers constructible $\mathbb L$. Or les réels de l'univers constructibles sont denses dans les réels et $y_{\mathbb L}$ est continue car solution d'une équation différentielle, donc on peut prolonger $y_{\mathbb L}$ en une fonction continue $y$ définie sur tous les réels. De même pour ses dérivées, de plus le prolongement de la dérivée sera bien la dérivée du prolongement. Finalement, $y$ sera encore une solution de $(E)$, mais dans l'univers ambiant, qui ne vérifie peut-être pas l'axiome du choix.
Comme c'est le matin, une bourde matinale n'est pas à exclure de ma part.
"rajouter":="demander au père noel" (dont on peut prouver qu'il perdrait tout procès en reproche d'exigence).
le prolongement par continuité d'une fonction definie sur un sous espace dense necessite (d'après mes connaissances) à l'uniforme continuité ( si on travaille dans un espace métrique ou un espace uniformisable).
Christophe: je viens de vérifier mes affirmation dans le livre de Brézis (analyse fonctionnelle) et elles sont justes. En plus a aucun moment il preuve la compacité sequentielle pour les espaces séprables sans passer par Banach Alaoglu. En effet, la séparabilité servira juste à montrer que la boule unité est métrisable pour la topologie faible et donc la compacité prouvee par Banach-Alaoglu implique la compacité sequentielle par Bolzano-Weirstrass.
Sans aller vers les espaces de Sobolev, restons sur L2 si une telle preuve existe pour L2 , elle sera transportée sur Sobolev simplement.
cordialement.
E->E/~
Tu ne pourras pas relever une classe d 'équivalence à moins de trouver une manière explicite de le faire. Donc par exemple pour la construction de $L^p$ ça risque de poser un problème...
soit $k$ un ordinal (qui est cardinal), avec 67 cardinaux entre lui $\omega_1$ et $B$ l'algèbre de boole complète des bons ouverts de $\R^k$.
1/ Prouve (facile) que l'énoncé "il n'y a pas de surjection de $\omega_1$ sur $\omega_2$ a la valeur $1_B$
2/ Construis un ensemble $a$ tel que l'énoncé $<<k$ s'injecte dans $\R$ via $a>>$ a la valeur $1_B$
3/ Conclure.
Concernant le "mélange" apparent entre les "vraies ensembles" de l'univers et les objets virtuels de l'extension générique fantasmée, tu peux, si comme beaucoup de gens, tu as lu des livres de vulgarisation sur la MQ, considérer que les objets virtuels "rapidement accessibles" sont des antichaines.
Par exemple un entier virtuel est une application $f$ de $\N$ dans $B$ telle que:
a/ pour tous entiers $n,p$ différents: $f(n)\wedge f(p) = 0_B$
b/ $1_B=\vee_{n\in \N} f(n)$
L'entier $f$ a "la probabilité" $f(n)$ d'être l'entier $n$. Un réel virtuel (enfin plutôt un élément de $2^\N$ virtuel) est une application $r$ allant de $\N$ dans $B$, et la "probabilité" que $r(17)=1$ est juste $r(17)$.
Par exemple, exercice: si $a,b$ sont deux objets réels (tels par exemple que des ordinaux) une surjection virtuelle de $a$ dans $b$ est juste une application de $a$ dans l'ensemble des antichaines de $b$ vérifiant .......
Mais comme je disais plus haut, tout dépend de ce qu'on fait après avec les sections et les quotients en terme d'applications. Dans de cas appliqués, c'est métrique et seule le convergence séquentielle (requérant souvent seulement CD) va être mobilisée.
Par ailleurs, pour certains sujets pratiques et même beaucoup, il suffit de remixer les définitions sans changer les intentions de fond pour avoir une théorie qui fait la même chose sans AUCUN axiome du choix (les fonctions deviennent juste des relations (ou multifonctions comme on dit de manière surannée).
Encore une fois on a pas besoin de l'axiome du choix dans toute sa puissance pour faire de l'analyse (on peut se contenter d'une forme faible d'Hahn-Banach par exemple). Je rappelle par exemple les passages trouvés dans le cours de Villani
* Le lecteur y est encouragé à se méfier de l’axiome du choix, ou même à ne pas l’utiliser du tout. Toute l’analyse classique peut se construire sans la forme forte de l’axiome du choix.
* [parlant des ouvrages de Brézis et Rudin] On pourra regretter l’importance accordée par ces auteurs à l’axiome du choix et à ses avatars.
* Une variante légèrement plus forte est l’axiome du choix dépendant [...] La théorie obtenue en ajoutant cet axiome à ZF permet d’effectuer (presque) tous les raisonnements habituels en analyse.
Je vous invite à lire les paragraphes IV-5.6. Axiome du choix et IV-5.7. Quelle attitude adopter ?
-Rappelons que si ZFC démontre "1=0" alors ZF vanille fait de même.
Tu peux expliciter ? Ce n'est pas la première fois que je te vois faire un mélange (qui me semble a priori inhomogène) entre la théorie des ensembles et la MQ !
En particulier, une antichaine $f$ indicée par $\N$ te donnera un entier virtuel qui a opur chaque $p$ la probabilité $f(p)$ d'être égal à $p$.
Ce qu'évoquait par exemple Shah est "la réduction du paquet d'onde selon un générique". Un générique est un ultrafiltre EXTERIEUR $W$ (sauf cas triviaux, il n'en existe pas qui soit dans l'univers) sur $B$ (en tant qu'algèbre, pas ensemble) qui a la propriété que pour toute famille (de l'univers) $i\in J\mapsto a_i$ d'éléments de $B: W(\vee_{i\in J} a_i) = sup_{i\in J} W(a_i)$ (qui est un élément de $F_2:=\{faux; vrai\}$. Il suit que quand tu disposes de ce $W$, tu as un vrai nouvel univers, défini par $W\circ val$. On a "observé" (:-D ) le "vecteur général" et réduit le paquet d'onde.
Le fait qu'on puisse faire semblant de croire à l'existence de $W$ est juste la banalité que rien n'interdit que l'univers soit (sans qu'on le sache en tant que ses habitants) dénombrable. La plupart des gens procèdent ainsi plutôt que calculer directement les valeurs booléennes des énoncés.
Exercice d'acquisition de l'état d'esprit: prouve que si l'univers est en fait un ensemble dénombrable $M$ vivant dans un plus grand univers, un ultrafiltre $W$ générique existe.
Attention, ne pas confondre avec les ultrafiltres "classiques" qui ne sont évidemment pas capables d'être totalement additifs sans être triviaux. De plus, si tu choisis un algèbre de Boole triviale (comme $P(E)$ par exemple), même un ultrafiltre extérieur générique sera forcément trivial, puisque contenant la réunion des singletons, il en contiendra un en particulier.