Définition de l'ensemble vide
Bonjour, je n'ai pas souvenir d'avoir appris comment on définissait l'ensemble vide. Quelle définition "standard" est adoptée, s'il en existe une ? (en fait, je me dis que le vide est un ensemble et doit être défini par rapport à un ensemble, du coup, est-ce que le vide relatif à un ensemble est le même que celui défini relativement à un autre ensemble ? Désolé, si je raconte n'importe quoi !!)
Merci, de vos éventuelles réponses.
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Réponses
Je laisse répondre les spécialistes.
Je comprends parfaitement ta question car cela m'avait turlupiné jadis : comme le neutre d'un ensemble, le $0$ de $\mathbb R$ n'est pas le même élément que le $0$ de $\mathbb R^n$, je trouvais anormal que le "vide" de l'ensemble des réels soit le même "vide" que l'ensemble des fonctions continues sur [0,1] dans [0,1].
Comme deux ensembles sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes éléments, il y a bien un seul ensemble vide (et pas un ensemble vide de pommes différents de l'ensemble vide de chaussettes).
Mais justement, contenir tout, dont lui-même, ça fait penser à Russel, non ?
Cela ne pose pas de contradiction ?
Naïvement...
GBZM a raison qu'il n'y a qu'un seul ensemble vide; mais par contre pour prouver qu'il existe (si on ne le suppose pas) on utilise généralement le schéma d'axiomes de compréhension sur un ensemble $x$ quelconque (par exemple $\{y\in x\mid \neg (y=y)\}$) ce qui fait qu'a priori, il y en a plusieurs. C'est là qu'intervient l'argument de GBZM sur l'extensionnalité : si deux ensembles ont les mêmes éléments (en l'occurrence aucun) ils sont égaux : il n'y a qu'un seul ensemble vide