Théorie des ensembles

massimassimo
massimassimo
dans Fondements et Logique
Bonjour, mon message est adressé aux spécialistes de la théorie des ensembles, théorie des modèles.

Je cherche un bon livre (en anglais ou français) sur la théorie ZF, ZFC, qui présente une construction logique de la théorie des ensembles et qui n'utilise pas les entiers naturels dans les axiomes, je parle de l'axiome de compréhension (par exemple), j'ai vu dans certains livres "soit phi(x1,x2,...,xn) une formule ...etc", j'avoue que je n'aime pas trop, je préfère une théorie qui construit l'ensemble des entiers après avoir construit la théorie des ensembles comme dans Bourbaki.
Merci d'avance.
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Réponses

  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Pourquoi ne pas l'écrire toi-même, ce livre, puisque tu sembles avoir les idées claires?
  • massimassimo
    massimassimo
    Shah d'Ock , Je ne suis pas un spécialiste de la théorie des ensembles.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Ça tombe bien: moi non plus.
  • GG
    GG
    Même si CC le nie farouchement, les entiers intuitifs existent avant toute théorie des ensembles !
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    C'est une opinion qui en vaut bien une autre.
  • GG
    GG
    Certes ! Mais est-ce que les autres la valent bien ? :-)
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    C'est un terrain sur lequel je ne m'aventurerai pas.
  • GG
    GG
    Plaçons-nous donc sur un terrain plus solide.
    Après avoir écrit l'axiome d'extensionalité

    $\forall x \forall y ( \forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y) $

    et avant d'avoir formulé d'autres axiomes de la théorie des ensembles, soit bien, bien avant d'avoir défini la collection des ordinaux et l'ensemble des ordinaux finis,
    est-ce une opinion que de prétendre pouvoir compter les signes figurant dans cet axiome et d'affirmer qu'ils sont au nombre de 21 ?
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    En vertu de quel axiome peux-tu compter les symboles?
  • GG
    GG
    En vertu de quel axiome peux-tu respirer ?
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    On est bien d'accord.
    Mais alors, pourquoi aurais-tu besoin d'écrire les axiomes de la théorie des ensembles pour que les ensembles se mettent à exister?
  • Foys
    Foys
    Au sujet des 1,2,3,...,n etc
    Ce ne sont pas des entiers mais des symboles typographiques.

    Ce qui compte dans une théorie formelle c'est qu'elle soit récursive: un logiciel doit pouvoir dire systématiquement, si une suite de symboles est fournie, si cette suite est un axiome de la théorie ou non. C'est bien le cas de ZF et de ses variantes d'usage.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • b.b
    b.b
    Une autre question (un peu dans la même veine) : si j'ai bien compris, la donnée d'un langage du premier ordre $\mathcal{L}$ comprend un « ensemble » infini $\mathcal{V}$ de symboles de variables. Cet objet $\mathcal{V}$ est-il un « vrai » ensemble au sens de la théorie des ensembles ?
  • GG
    GG
    @Shah d'Ock, je n'ai pas l'heur d'être dans le secret des dieux, et je ne connais pas la date de naissance des ensembles. Mais ce que je puis dire, c'est que les entiers qui me servent à compter, admettons que ce soient les symboles typographiques de Foys, ne sont pas les ordinaux finis de quelque univers d'ensembles.

    Pour finir, je tiens à rapporter cette forte parole de Bourbaki ("Th. des ens.", introduction, p. 10) :

    "Il est clair [..], et qu'on ne fait aucun raisonnement mathématiques lorsqu'on dénombre les signes qui figurent dans une formule explicitée. Nous ne discuterons pas de la possibilité d'enseigner les principes du langage formalisé à des êtres dont le développement intellectuel n'irait pas jusqu'à savoir lire, écrire et compter",

    parole dont la saisissante actualité ne peut échapper à personne.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    C'est une opinion qui en vaut bien une autre.
  • GG
    GG
    T'as une drôle de façon de communiquer !
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Arobase b.b: il ne faut pas confondre le langage (dont les symboles de variables font partie) et les objets (éventuellement mathématiques) dont il parle, dont les ensembles font partie. Donc l'ensemble des variables utilisées pour écrire une théorie n'est pas un objet de cette théorie. Cela dit, rien n'empêche une théorie de formaliser, d'internaliser le langage dans lequel elle est écrite.

    Arobase GG: je ne suis ni d'accord ni pas d'accord avec toi. Je n'ai pas d'opinion sur la question, et je pense que ce que tu déclares savoir relève de l'opinion (demande-toi comment tu le sais).
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    massimassimo, j'ai commencé "La Théorie des Ensembles" de Patrick Dehornoy. Je le trouve un peu difficile mais en s'accrochant tout y est. Certaines preuves demandent de connaître des définitions précises (par exemple celle d'une application, en passant par les correspondances) mais c'est assez clair. Sinon il y a "Théorie des ensembles" de Jean Louis Krivine, je l'aime moins car il est un peu "sec", mais tout y est également, peut être que plus de prérequis sont nécessaires.
  • GG
    GG
    @Shah d'Ock,
    >.. et je pense que ce que tu déclares savoir relève de l'opinion (demande-toi comment tu le sais).

    Le polycéphale Bourbaki ne se le serait-il donc jamais demandé non plus ?
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Heu... Je ne vois pas le rapport entre ton opinion et le passage de Bourbaki que tu mets en citation, en fait.
  • GG
    GG
    @Shah d'Ock,
    l'une de mes (nombreuses) opinions est que les entiers intuitifs ne sont pas les ordinaux finis (qui peuvent contenir, au sens intuitif, une infinité d'éléments, explicitement écrit dans le bouquin de Krivine) d'un modèles de ZF, en tant que théorie du 1er ordre. (un modèle de l'arithmétique de Peano du 1er ordre est de la forme N U Z × K)

    Je pensais pouvoir distinguer dans la citation de Bourbaki les entiers intuitifs "qui servent à dénombrer les signes qui figurent dans une formule explicitée" des entiers sur lesquels "on fait des raisonnements mathématiques".
    Mais ma lecture de cette citation était sans doute trop osée, certainement un nouvelle opinion de ma part.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Donc selon toi, toutes les montagnes de constructions et de siècles d'efforts en arithmétique ne disent rien sur les "entiers intuitifs"?
  • GG
    GG
    Non, ce que j'apprends des groupes s'applique aux groupes commutatifs, mais je ne peux pas identifier, confondre, les groupés commutatifs avec les groupes. Les entiers intuitifs vérifient les théorèmes de AP (du 1er ordre), mais ils ont d'autres propriétés.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    À savoir, les propriétés vérifiées par les ordinaux finis?
  • GG
    GG
    Non, d'autres propriétés. Je te rappelle la remarque de Krivine : "les ordinaux finis peuvent contenir une infinité d'éléments au sens intuitif". En d'autres termes, il se peut donc que pour un ordinal fini a, le segment initial [0, a[ contienne une infinité d'éléments au sens intuitif, ce qui n'est évidemment pas le cas d'un entier intuitif a.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    "il se peut".

    Mais il se peut aussi que tous les ordinaux finis du modèle considéré ne contiennent qu'un nombre fini au sens intuitif d'éléments. Ça dépend du modèle choisi. Et par ailleurs, le même phénomène reste vrai avec n'importe quelle théorie du premier ordre essayant d'axiomatiser les entiers intuitifs: elle ne peut pas éviter l'existence de modèles avec des entiers non-standards. Ce qui n'empêche pas que toute propriété expressible et prouvable dans cette théorie est vérifiée par les entiers intuitifs ("contenir une infinité d'éléments au sens intuitif" n'est pas une proposition du langage de ZF - ni d'aucun langage du premier ordre d'ailleurs).
  • GG
    GG
    Entièrement et absolument d'accord avec ton dernier message. Les entiers naturels ne sont pas caractérisables au 1er ordre. Et pourtant ils existent ! Cette existence est subjective (lire Brouwer). On ne peut la démontrer à autrui.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Ils ne sont pas un sur cent et pourtant ils existent!
  • christophe c
    christophe c
    @Massimo: tu peux te limiter** à 5 ou 6 pas besoin d'avoir "tous les entiers intuitifs", chose qui ne veut d'ailleurs rien dire.

    @GG, l'éternel problème est que les "entiers intuitifs" que tu appelles de tes voeux, ne sont qu'une vue de l'esprit, ils n'ont de définition (absolue*) ni au premier ni à quelques ordre que ce soit, et plus généralement, il n'y a pas de sens pour l'expression "entier intuitif" en fait.

    Même pour l'entier 5, il faut au moins 5 étapes pour prouver que c'est un entier par exemple.

    ** ie n'utiliser que des instances avec $R(x,y,t,z,u)$

    * étant entendu que celles qui ne sont pas absolues ne comptent pas pour toi, et à juste titre.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    "Je" non plus n'a pas de définition absolue (pour des raisons triviales). Donc... je n'existe pas?!
  • christophe c
    christophe c
    Shah, le problème n'est pas vraiment là, et même vraiment pas là, le "je" n'est pas complexe à implémenter. Les entiers ne sont accessibles que par l'extraction d'eux d'un univers préalable, et dépendent INEXORABLEMENT dudit. Et comme ils sont nombreux, on est face à des problématiques mathématiques et concrètes qui chatouillent GG en termes CONCRETS, et non face à de la philo basique.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Je sais bien que les entiers dépendent de l'univers. Croire aux entiers intuitifs, c'est en quelque sorte croire à l'existence d'un "plus grand univers" qui contient tout.
  • christophe c
    christophe c
    Comme tu sais, on peut prouver qu'il n'y a pas de tel univers.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Hrmmf ça dépend de quel sens on met sur les mots.
  • GG
    GG
    Hrmmf ça dépend de quel sens on met sur les mots.

    Alors ça, c'est clairement la parole du jour à graver dans le marbre :-)

    les "entiers intuitifs" [..] ne sont qu'une vue de l'esprit

    ils n'ont pas de définition [..] 

    il n'y a pas de sens pour l'expression "entier intuitif" en fait. 

    Croire aux entiers intuitifs, c'est en quelque sorte croire à [..]

    Il semblerait que pour les logiciens professionnels, les entiers intuitifs soient encore plus mystérieux que la Bête du Gévaudan. :-)
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Ou plutôt la parole de la nuit vu l'heure qu'il est.
  • GG
    GG
    Ça dépend où on est !!! (chez moi, il est 0720) Renversant, non ?
  • christophe c
    christophe c
    Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a huit heures et a été effectuée par GG.

    Donc il serait aux alentours de 15h20 maintenant chez toi, ça nous fait voyager.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • GG
    GG
    Le temps passe vite ! C'est déjà 16h36 ! :-) Et il n'y a pas de ralentissement en vue..
  • Math Coss
    Math Coss
    Là, je crois qu'on tient un bon thème pour relancer le fil.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    GG, je tiens à te signaler que dans ton coin de l'univers, 16h36 est peut-être intuitivement fini, mais par ici on n'a pas les mêmes entiers, si bien que ça ne l'est pas pour nous.
  • GG
    GG
    @Shah d'Ock, :-) On s'en sortira jamais !
  • massimassimo
    massimassimo
    Merci à tous
    Christophe c : tu veux dire qu'on peut monter ZF avec des formule de poids n=2 ( nombre de variables)?
    La notion de formule n'est pas bien définie dans les livres: On part des formules atomiques ( x=y , $x \in y$ ) pour définir des formules complexes ,rassemblement de plusieurs formules atomique, et pour cela on a besoin de la récurrence!!! donc comment faire et comment definir une formule rigoureusement sans passer par la récurrence donc par la notion des entiers naturels ?
    Si tu as un document sur ZFC bien écrit je suis preneur.

    cordialement.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Non jamais jamias jamais. C'est pour ça que la vie est intéressante.
  • christophe c
    christophe c
    Il n'est pas possible de te donner satisfaction par ailleurs, car ta demande consiste à dire: "pourriez-vous faire précéder la construction de vos théories, qui s'écrivent avec des suites finies de signes, d'une définition de la notion de suites finies de signes?"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • massimassimo
    massimassimo
    Merci CC , Et donc c'est GG qui avait finalement raison les entiers intuitifs existent avant toute théorie des ensembles comme tu viens de confirmer toi même dans ce dernier poste.

    Cordialement.
    PS: c'est un débat philosophique qui ressemble un peu à l'histoire de l’œuf et de la poule, je ne sais pas si vous la connaissez.
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Penses-tu qu'une chose n'existe qu'à partir du moment où on l'exprime?
  • massimassimo
    massimassimo
    Shah , Ta question est philosophique, il existe deux mouvements de mathématiciens, le premier qui croit en l'existence des mathématiques dans un monde " virtuel, abstrait,...etc" que les matheux ne sont que des explorateurs, ils n'inventent rien,
    et le deuxième qui croit que les maths sont inventés par l'esprit humain et elles n’existaient pas avant qu'on les exprime.
  • christophe c
    christophe c
    Tu n'as pas compris ce que GG pense. Tu confonds "vrai entier" avec "vrai ensemble des entiers"
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Shah d'Ock
    Shah d'Ock
    Massimo, je sais.
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