Question de base sur l'équivalence
Bonjour,
Une petite présentation pour commencer, et contextualiser ma question (naïve mais bien difficile pour moi) :
J'ai voulu, 20 ans après mon bac S et 10 ans après un BTS, me remettre aux mathématiques pour des
questions "d'application métier". J'ai pour ce faire suivi un mooc dit de préparation à l'enseignement supérieur disponible sur la plateforme FUN, puis une unité d'enseignement de base MVA005 auprès du CNAM (les deux fois avec entrain, et réussite d'ailleurs). Ce faisant, j'ai découvert quelque chose d'assez inattendu, à savoir que j'éprouvai bien plus d'attrait pour le côté mathématiques pures, que la partie que l'on pourrait appeler "recettes d'application". J'ai donc décidé de m'inscrire à une licence de mathématiques à distance (Besançon ou Paris, c'est encore à voir), afin de reprendre les choses proprement, et avec rigueur. En attendant la rentrée prochaine, je me suis dit que retravailler solidement les bases, qui semblent être le raisonnement logique et le langage mathématiques, les ensembles et les applications était une bonne idée.
Je me suis cependant heurté dès le départ à une interrogation basique, à laquelle je pense, beaucoup d'entre vous sauront répondre très clairement (et avec indulgence j'espère).
Mon interrogation concerne la notation et de la notion même d'équivalence (logique ou pas, à voir dans la suite), pour laquelle les différents ouvrages en ma possession ne disent pas exactement la même chose, ou rien d'ailleurs, et où je sens une subtilité importante.
- Version 1 : deux propositions P et Q sont équivalentes lorsque elles ont la même valeur de vérité.
Clair et net, mais dans cette formulation, on parle de comparer les valeurs de vérité, et les deux propositions n'ont pas nécessairement de rapport de causalité, où ne concernent pas nécessairement les mêmes objets.
J'ai cru comprendre que sous cette forme on note P $\equiv$Q
- Version 2 : deux propositions sont équivalentes si P => Q et Q => P. Auquel cas P <=> Q se lit (entre autres formulations possibles) "si et seulement si". On a bien évidemment dans ce cas de figure la même valeur de vérité pour les deux propositions, et elles sont en plus conditionnées l'une par l'autre.
Ce point ne fait pas l'objet d'une distinction de vocabulaire particulière ou d'une note claire sur le "type d'équivalence" auquel on a affaire, ni sur le symbolisme à employer.
- Ces deux versions portent-elles vraiment le même nom ?
- Quelle est le contexte exact d'utilisation de chacune ?
- Quelles sont les bons usages logiques, syntaxiques et rédactionnels qui y sont liés ?
- De plus, lorsque l'on enchaîne des opérations pour changer une égalité ou inégalité étape par étape, en particulier par des opérations sur chacun des membres, emploie-t'on le <=> entre chaque ligne ? Est-ce correct, correct mais inélégant, ou tout simplement incorrect ?
en clair :
x^2 + 3x = 25
<=> x^2 + 3x - 25 = 0
<=> ...
Par avance merci pour vos éclaircissements.
PS1 : Je ne maîtrise pas les commandes LateX, et donc les style laisse un peu à désirer, je vais essayer d'arranger ça.
PS2 : J'ai cherché sur le forum mais n'ai trouvé de fil contenant de réponse. Si cela est déjà fait, je suis désolé et je prendrai volontiers le lien.
jcc
Une petite présentation pour commencer, et contextualiser ma question (naïve mais bien difficile pour moi) :
J'ai voulu, 20 ans après mon bac S et 10 ans après un BTS, me remettre aux mathématiques pour des
questions "d'application métier". J'ai pour ce faire suivi un mooc dit de préparation à l'enseignement supérieur disponible sur la plateforme FUN, puis une unité d'enseignement de base MVA005 auprès du CNAM (les deux fois avec entrain, et réussite d'ailleurs). Ce faisant, j'ai découvert quelque chose d'assez inattendu, à savoir que j'éprouvai bien plus d'attrait pour le côté mathématiques pures, que la partie que l'on pourrait appeler "recettes d'application". J'ai donc décidé de m'inscrire à une licence de mathématiques à distance (Besançon ou Paris, c'est encore à voir), afin de reprendre les choses proprement, et avec rigueur. En attendant la rentrée prochaine, je me suis dit que retravailler solidement les bases, qui semblent être le raisonnement logique et le langage mathématiques, les ensembles et les applications était une bonne idée.
Je me suis cependant heurté dès le départ à une interrogation basique, à laquelle je pense, beaucoup d'entre vous sauront répondre très clairement (et avec indulgence j'espère).
Mon interrogation concerne la notation et de la notion même d'équivalence (logique ou pas, à voir dans la suite), pour laquelle les différents ouvrages en ma possession ne disent pas exactement la même chose, ou rien d'ailleurs, et où je sens une subtilité importante.
- Version 1 : deux propositions P et Q sont équivalentes lorsque elles ont la même valeur de vérité.
Clair et net, mais dans cette formulation, on parle de comparer les valeurs de vérité, et les deux propositions n'ont pas nécessairement de rapport de causalité, où ne concernent pas nécessairement les mêmes objets.
J'ai cru comprendre que sous cette forme on note P $\equiv$Q
- Version 2 : deux propositions sont équivalentes si P => Q et Q => P. Auquel cas P <=> Q se lit (entre autres formulations possibles) "si et seulement si". On a bien évidemment dans ce cas de figure la même valeur de vérité pour les deux propositions, et elles sont en plus conditionnées l'une par l'autre.
Ce point ne fait pas l'objet d'une distinction de vocabulaire particulière ou d'une note claire sur le "type d'équivalence" auquel on a affaire, ni sur le symbolisme à employer.
- Ces deux versions portent-elles vraiment le même nom ?
- Quelle est le contexte exact d'utilisation de chacune ?
- Quelles sont les bons usages logiques, syntaxiques et rédactionnels qui y sont liés ?
- De plus, lorsque l'on enchaîne des opérations pour changer une égalité ou inégalité étape par étape, en particulier par des opérations sur chacun des membres, emploie-t'on le <=> entre chaque ligne ? Est-ce correct, correct mais inélégant, ou tout simplement incorrect ?
en clair :
x^2 + 3x = 25
<=> x^2 + 3x - 25 = 0
<=> ...
Par avance merci pour vos éclaircissements.
PS1 : Je ne maîtrise pas les commandes LateX, et donc les style laisse un peu à désirer, je vais essayer d'arranger ça.
PS2 : J'ai cherché sur le forum mais n'ai trouvé de fil contenant de réponse. Si cela est déjà fait, je suis désolé et je prendrai volontiers le lien.
jcc
Mathematics knows no races or geographic boundaries; for mathematics, the cultural world is one country.
— David Hilbert
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Réponses
Si $P(x_1,...,x_n)$ est une formule avec des variables $x_1,...,x_n$, sa valeur de vérité dépend a priori des valeurs prises par $x_1,...,x_n$. Dans ce contexte là, la version 1 peut être lue comme "quelles que soient les valeurs prises par ces variables $x_1,...,x_n$, la valeur de vérité de $P(x_1,...,x_n)$ est la même que celle de $Q(x_1,...,x_n)$".
Mais cela revient précisément à dire "quels que soient $x_1,...,x_n$, si $P(x_1,...,x_n)$ est vraie, alors $Q(x_1,...,x_n)$ est vraie; et si $Q(x_1,...,x_n)$ est vraie, $P(x_1,...,x_n)$ l'est aussi", soit donc "$P\implies Q$ et $Q\implies P$".
Finalement les deux versions sont les mêmes, tu peux voir la deuxième comme une "recette pour prouver la première".
Quelques remarques cependant : comme tu le remarques, ce qui précède est informel, avec beaucoup de sous-entendus et d'implicite. Pour aller plus loin il faut faire un peu de logique mathématique; ou si cet aspect ne t'intéresse pas spécifiquement, tu peux voir avec la pratique.
Pareil, la notion de causalité est à prendre avec des pincettes. Par exemple on a "$0=1$ \implies ($\mathbb{N}$ est fini)" (à nouveau en sous-entendant ce qu'on sait sur $0,1$) sans pour autant que tu puisses y trouver une causalité comme beaucoup l'entendent. C'est d'ailleurs pour ça que la première version revient à la deuxième : l'implication n'est pas une implication au sens intuitif. Si P,Q n'ont "rien à voir" mais sont toutes deux vraies, $P\implies Q$ sera vraie.
J'espère que c'est clair
(Bienvenue sur le forum et bonne chance pour ta licence!)
Merci pour cette réponse. Effectivement, avec une contextualisation des propositions c'est un peu plus clair. Comme la notation complète "$P(x_1,...,x_n)$" n'est pas employée systématiquement, cela semblait permettre de considérer deux approches potentiellement différentes dans lesquelles on ne s'intéressait pas nécessairement aux propositions sous le même angle.
Dans les cas que je suis amené à rencontrer, il semble bien évident que les propositions connectées concerneront les mêmes objets.
Quelles sont alors les subtilités d'emploi des deux symboles $\Leftrightarrow$ et $\equiv$ ?
(ou leur contexte d'emploi, et bien sûr de non emploi)
Un avis pour ce qui est des étapes de calcul successives :
$x^2+x=25$
$\Leftrightarrow x^2+3x-25=0$
$\Leftrightarrow ...$
C'est une question d'écolier, mais j'ai cru comprendre que l'usage du symbole d'équivalence $\Leftrightarrow$ était souvent incorrect.
Du coup, as-tu des références de lecture ou des liens que tu estimerais appropriés pour mes débuts ? J'ai déjà récupéré pas mal d'ouvrages, mais en mode pifomètre.
Cordialement.
L'exemple de jcc est different, il est du type
$A\Leftrightarrow B\Leftrightarrow C$ qui lui n'est pas valide, mais c'est une abréviation de $[(A\Leftrightarrow $ et $(B\Leftrightarrow C)]$ que l'usage autorise, pour dire que $A$, $B$ et $C$ sont équivalents.
Tout comme $A\Rightarrow B\Rightarrow C$ est incorrect et n'a pas de signification mais "dans l'usage" abrège parfois $[(A\Rightarrow $ et $(B\Rightarrow C)]$
On peut commettre ce genre d'abus, que si on en est conscient et qu'on sait que les lecteurs le sont aussi.
$A\Rightarrow B$ est une abréviation de (non $A$ ou $B$), c'est à dire que si $A$ et $B$ sont des expressions qui admettent une valeur de vérité, alors $A\Rightarrow B$ est toujours vrai, sauf dans un cas, celui ou $A$ est vrai et $B$ est faux. Comme dit Maxtimax, il n'y a pas de lien de "causalité" au sens où on l'entend dans le langage courant.
On voit bien en examinant les valeurs de vérité possibles que
( $(A\Rightarrow $ et $(B\Rightarrow A)$ ) est vrai si et seulement si $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs de vérité, ce qu' on abrège par $(A\Leftrightarrow $
En fait $A\Rightarrow B$ ne garantit pas que $B$ est vrai, c'est comme je viens de dire, juste une abréviation "vide de causalité" de (non $A$ ou $B$)
La base du raisonnement mathématique classique est le "modus ponens", c'est le fait déduire que $B$ est vrai quand on a A LA FOIS
[$A$ vrai] ET [($A\Rightarrow B$) vrai]
C'est un peu déroutant au début, mais une fois qu'on a compris, et un peu manié ces concepts, ça ne pose aucun problème.
J'ai vu une blague sur le forum dans la section vie des maths qui peut-être pourra aider :
Le père dit à son fils "si tu ne manges pas tes épinards , alors tu n'auras pas de dessert" , l'enfant mange ces épinard et n'a pas de dessert. Pourtant le père n'a commis aucune faute logique (il a dit ce qui se passerait si il ne mange pas les épinards, mais n'a rien dit dans le cas contraire). Si $A$=l'enfant ne mange pas ses épinard et $B$=l'enfant n'a pas de dessert
(Si tu ne lange pas tes épinard alors tu n'aura pas de dessert) = $A\Rightarrow B$
Ce qui s'est passé c'est que $A$ est faux (l'enfant a mangé les épinards) et $B$ est vrai (l'enfant n'a pas eu de dessert)
Dans ce cas $A\Rightarrow B$ est vrai aussi. On entend souvent l'expression "le faux implique le vrai" et c'en est une illustration (en fait "le faux implique le vrai", "le faux implique le faux", "le vrai implique le vrai" mais par contre, le vrai n'implique pas le faux...
En fait ça ne répond pas directement à ta question, mais il me semble qu'une fois qu'on a compris ça, les questions que tu poses sont facilement tranchables
Pour la majorité des symboles particuliers, on utilise le symbole \
Par exemple \in entre deux dollars donne $\in$
\leq entre deux dollars donne $\leq$ ( "leq" abrège "lower or equal")
\Rightarrow donne $\Rightarrow$
\Leftrightarrow donne $\Leftrightarrow$
Pour t'entraîner tu peux écrire un post sur le forum et ne pas envoyer mais cliquer Aperçu à côté de Envoyer, le dollar dont je parle est le symbole $, je ne pouvais pas le mettre avant car tous les "dollars ouvrant" que j'ai utilisés auraient été interprétés comme des "dollars fermant"
Tu trouveras sur internet pratiquement toutes les abréviations latex dont tu auras besoin, si tu n'y arrives pas, demande ici, mais je pense que ça ne posera pas de problème.
Bonne continuation !!!
Pour la partie concernant l'implication logique ($A \Rightarrow B$), j'ai bien compris. En particulier avec une représentation ensembliste pour illustrer la chose, et bien assimiler les notions de condition nécessaire et de condition suffisante. Et le raisonnement dit "Modus ponens", si je comprends bien est :
- Prouver la véracité de la proposition $A$
- Prouver que $A \Rightarrow B$
- Conclure que $B$ est vraie
(pour raisonner par contraposition, je suppose donc qu l'on rédige la contraposée et que l'on suit les mêmes étapes avec $ \lnot B $ à la place de $A$, et $A$ à la place de
Mon interrogation concerne alors finalement le côté plus rédactionnel.
Si le fait d'enchainer les équivalences n'est qu'une tolérance, quelle est la méthode orthodoxe (si tant est qu'elle existe).
J'aurai du prendre l'exemple (présenté par quelqu'un qui m'a tout de même semblé fort sérieux) du passage sous forme canonique d'une équation du second degré, et qui était déroulé par équivalences successives, à savoir avec des $\Leftrightarrow$ en début de chacune des lignes / étapes successives.
De ce que je comprends jusqu'ici :
- On veille à ne pas confondre les implications et les équivalences, en ayant bien en tête le "Si ... alors" et le "Si et seulement si", ou bien la réflexion en terme de conditions nécessaires et suffisantes à chaque étape pour contrôler le bon usage du connecteur logique.
- On devrait relier les étapes deux à deux comme ci-dessous :
Nous avons : $A \Leftrightarrow B$
et : $B \Leftrightarrow C$
D'où : $A \Leftrightarrow C$
On montre également que $C \Leftrightarrow D$
On en conclut : $A \Leftrightarrow D$
Mais l'usage courant laisse faire :
$A \\
\Leftrightarrow B\\
\Leftrightarrow C\\
\Leftrightarrow D$
Ai-je bien compris vos remarques respectives ?
Cela a-t'il globalement à voir avec la distinction entre implication et déduction ?
Et avez-vous la clé du mystère concernant le lien éventuel de parenté entre $\Leftrightarrow$ et $\equiv$ ?
Merci encore pour aide.
Cordialement.
Oui, mais attention à quelques détails de langage
Le mot "prouver" est de trop, on a juste que si $A$ est vrai et qu'on a $A\Rightarrow B$ alors $B$ vrai, peu importe qu'on l'ai prouvé ou pas...^^.
Et aussi on ne raisonne pas par contraposée (comme on peut raisonner "par récurrence" ou raisonner "par l'absurde"), on "utilise" la contraposée, par exemple, supposons que (non soit vrai et que A=>B soit vrai, on peut alors appliquer le modus ponens à non B et à la contraposée de A=>B pour en "déduire" que non A est vrai.
Il semble que oui
[quote="Cela a-t'il globalement à voir avec la distinction entre implication et déduction ? [/quote]
Il me semble que "déduction" fait intervenir le meta langage, qui fixe les règles (de déductions^^).
A=> B est juste une abréviation de non A ou B. La déduction est par exemple, le fait d'utiliser le modus ponens (règle "meta") pour "déduire" B de A et de A=>B.
Ces considérations "meta" ne sont pas, à mon avis, capitales à maîtriser tout de suite dans l'optique de faire des maths usuelles, à mon avis, tu peux sans problème attaquer les disciplines de maths usuelles et revenir à ces subtilités quand tu auras un peu de pratique. Je ne prétends pas qu'il faut les laisser pour plus tard, mais juste que tu peux les laisser pour plus tard, sans risquer de te perdre par la suite avec les maths standard qu'on étudie à l'université. Mais c'est juste un avis, peut-être que d'autres membres ne seront pas d'accord...
De sorte que quand tu écris dans une copie :
<< A si et seulement si B si et seulement si C etc>>
tu écris en fait, mais cette tradition platonicienne n'a pas "gagnée" :
<<A = B = C , etc**>>
comme tu le ferais avec des expressions numériques. Evite le signe $\iff$ mis à la place de <<ssi>>, car c'est un connecteur logique officiel et le cerveau n'aime pas trop (même si c'est inconscient) l'agression que constitue de se forcer à considérer que les copies des débuts d'étude qui écrivent $A\iff B\iff C$ veulent dire $(A\iff \ et\ (B\iff C)$ et non pas $(A\iff \iff C$ (qui est d'ailleurs égale à $A\iff (B\iff C)$ ce qui rajoute à l'agression).
Par contre, attention, n'oublie pas les quantificateurs, par exemple le théorème de Pythagore n'est pas une implication et n'a pas de réciproque contrairement à des erreurs courantes regrettables consistant à trop souvent mentir en disant que face à <<A=>B>> tout le monde est censé lire $\forall x: (A\to $.
** le signe $\equiv$ en lieu et place de $=$ est un peu idiot, il manifeste la main qui tremble de leurs auteurs :-D
@lesmathspointclaires : Merci pour les précisions de langage, c'est précisément ces choses qui font la différence dans mon esprit en ce moment. Une place pour chaque chose et chaque chose à sa place.
Ce que je tenterai de reformuler naïvement en : on fait des déductions en articulant / enchainant des propositions entre elles pour trouver une valeur de vérité à une proposition de base. On dispose à la base de règles élémentaires de logique qui permettent de construire des enchainements corrects, j'ai par exemple fait une table de vérité pour essayer d'illustrer le Modus Ponens en regardant ce que donnait $(A \wedge (A \Rightarrow )$, et on voit bien le filtre donné par la méthode (Je n'arrive pas à écrire un tableau comme dans un doc LaTeX, donc pas d'illustration, désolé), en tout cas cela semble permettre de vérifier la validité des compositions simples.. Mais là je m'envoie peut-être un peu en l'air avec ce genre de considération.
Il vaut peut-être mieux commencer sans trop se faire de noeuds à la cervelle dès le début, et laisser les idées mûrir.
@christophe c :
Merci pour cette réponse également.
Je ne pense cependant pas avoir l'esprit assez affûté pour tout saisir. Peut-être qu'un petit exemple tout simple avec un comparatif des deux écoles éclairerait ma lanterne. Car je ne situe pas vraiment "l'approche platonicienne".
Quelle est à ton avis la bonne rédaction lorsque l'on enchaîne les étapes de calculs ou plus précisément de "transformation" (mon vocabulaire est certainement imprécis mais je dois faire avec pour le présent) ?
Une autre question, plus sémantique celle-ci : quand tu écris "$ \forall x : (A \rightarrow $", quelle est la signification, ou quelle forme habituelle est-ce censé corriger, et pourquoi ?
Par avance merci.
@tous :
Si ces sujets sont à voir au fur et à mesure du cursus, et que vous sentez que je m'enterre dans des interrogations trop précoces ou trop alambiquées, n'hésitez pas à le dire. Je suis peu fragile, et je comprendrai que certaines choses s'abordent en plusieurs étapes.
Encore merci à vous.
Cordialement.
Pour tout nombre $x:$
$$(3x+5=7) = (3x=2) = (x= 2/3)$$
L'école actuelle (enfin en exagérant) écrit :
Pour tout nombre $x: $
$3x+5=7$ si et seulement si $3x=2$ si et seulement si $x=2/3$
Dire tous les chats sont gris est une chose, alors que dire si Macron est un chat alors il est gris en est une autre