Consistance de l'arithmétique

FrançoisD
FrançoisD
dans Fondements et Logique
Bonsoir,

pour mon bon plaisir, j'ai été voir sur ArXiv des articles récents. Après 2 démonstrations (fermes, définitives et complètes!!!) de C.R., je me suis concentré sur d'autres sujets plus profonds et... voilà une magnifique preuve interne de la consistance de l'Arithmétique. Etant donné que le titre est très précis, j'ose penser qu'il ne s'agit pas là d'une contradiction des théorèmes de Gödel?

bonne fin de soirée

F.D.

PS: vous n'aurez pas manqué de noter mon ironie et ma perplexité quant aux démonstrations de C.R. :-)

Réponses

  • Foys
    Foys
    FrançoisD a écrit:
    Etant donné que le titre est très précis, j'ose penser qu'il ne s'agit pas là d'une contradiction des théorèmes de Gödel?
    Ce qu'il y a, c'est (en désignant par $u$ l'entier qui encode l'énoncé $1=0$) qu'il existe un algorithme concret qui lorsqu'on lui soumet une preuve de $\neg (Dem(u))$ renvoie une démonstration de $1=0$. (Dem signifiant "est prouvable")
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • christophe c
    christophe c
    Les auteurs a écrit:
    Abstract: In this paper we establish that the well-known Arithmetic System is consistent in the traditional sense. The proof is done within this Arithmetic System.

    Je ne connais pas bien le sens du mot "within", mais pour moi, si je le traduis par "internement" ou par "à l'intérieur de", les auteurs annoncent la découverte la plus importante de tous les temps qui est:

    [size=x-large]$$ Peano \vdash \perp $$[/size]
    FD a écrit:
    j'ose penser qu'il ne s'agit pas là d'une contradiction des théorèmes de Gödel?

    Bin, il semble que si.

    Le problème est que l'article ressemble à du shtam: annonce du graal absolu sur un ton léger et technique, laissant aux lecteurs compétents le soin de déduire eux-mêmes, pas de théorème franc et clair disant $Peano\vdash cons(Peano)$, une preuve totalement imbittable, que des petits théorèmes codés incompréhensibles et enfin une annonce qu'une annonce à été faite dans le JSL et qu'un exposé a été fait au LC.

    De ce point de vue voilà ce que je comprends en filigrane: <<chers amis, nous avons pêté un gros cable, produit 10 pages de hiéroglyphes indigestes qui prouvent SAUF ERREUR le graal, mais voilà, vous comprendrez, vu la tartine de cabalistique, que nous faisons profil bas et attendons qu'on nous signale où est l'erreur car nous sommes fatigués de la chercher depuis un moment. Par suite, veuillez trouver une annonce et un brouillon propre que nous fournissons par politesse à quiconque veut nous aider à trouver une erreur (si elle existe)>>

    Pour moi, sauf à ce que je comprenne mal "within" ou "traditional", les auteurs ont vraiment déraillé dans leur abstract. Au lieu d'être laconiques, ils se devaient de s'étaler sur leur positionnement. Je trouve "pas correcte" leur annonce.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Math Coss
    Math Coss
    Malgré des similitudes stylistiques indéniables, c'est un peu la négation des Principia Mathematica : en plusieurs centaines de pages, Russell et Whitehead finissaient par conclure qu'ils échouaient à fonder les mathématiques. Ici, en quelques pages, les auteurs proclament qu'ils les dézinguent complètement.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Moi je lis une abbréviation "let machin denote that the system is consistant in the traditional sense and let machin denote that it is consistant in the absolute sense" (sans aucune définition; on s'attendrait à ce qu'un article si important redéfinisse rapidement ces choses là) et le "main result" utilise cette notation donc ça n'a pas du tout l'air interner à quoi que ce soit
  • Math Coss
    Math Coss
    Les auteurs prétendent tout de même invalider le théorème d'incomplétude de Gödel.
    Lukasz T. Stepien a écrit:
    Hence, from the construction of this proof, it follows that one can prove that Gödel's Second Incompleteness Theorem is INVALID.
  • Martial
    Martial
    FrançoisD, si je puis me permettre une question bête : c'est qui C.R. ?
  • christophe c
    christophe c
    Bravo à Math Coss, pour avoir déniché LA PHRASE (en rouge) qui permet de situer l'article dans sa splendeur!!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je rappelle le théorème de Godel dans une version accessible à tous: la phrase P:= "je ne suis pas prouvable", qui est une suite de caractères tout à fait formelle est un énoncé mathématique*** dès lors que l'on implémente la notion de "je" et la notion "prouvable". Or, il se trouve (ce qui n'étonnera pas grand-monde) que ces notions sont implémentables facilement (exercice, le faire en scratch :-D ).

    L'arithmétique est hautement puissante et riche à côté des théories les plus simples qui permettent d'énoncer le théorème de Godel. Il se trouve juste qu'il voulait se présenter en costard à 50000 euros à l'académie des sciences, donc il n'allait pas se pointer avec un costard de chez Delaveine, d'où l'import de Peano.

    (P est prouvable ssi elle est fausse et ceci étant prouvable, il est prouvable que $\perp$ est prouvable ssi $P$)

    *** ce qui n'est pas le cas avec "je suis fausse", car "fausse" n'a pas de sens technique.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Ah oui donc, qui veut invalider Godel devra invalider mon précédent post dont le contenu actif est de 3 lignes écrites en gros :-D Bon courage.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • FrançoisD
    FrançoisD
    Bonsoir,

    ok c'était bien un coup de Trollmarket!
    (C.R. = Conjecture de Riemann, dont l'une des preuves susmentionnées fait 3 pages!!! et je reste persuadé que si preuve de 3 pages il y a, 3 volumes de pré-requis elle nécessite lol)

    Je ne suis pourtant pas d'accord avec cc sur un point du Th de Gödel, il dit "SI LE SYSTEME EST NON-CONTRADICTOIRE..." donc en particulier, comme le relève cc ci-devant, ils ont prouvé que AP est contradictoire et, de fait, ZFC et ... bon ben on peut arrêter tout est VRAI ET FAUX

    Mdr

    F.D.
  • christophe c
    christophe c
    @FD: tu peux très facilement arbitrer par toi-même avec le mécanisme que j'ai rappelé. La phrase
    [large]P:="je ne suis pas prouvable"[/large]

    a la propriété que si P est prouvable alors non P aussi et donc $\perp$ aussi ($\perp:=Tout$)

    La réciproque, prouvable, est que si $\perp$ n'est pas prouvable alors $P$.

    On pourrait très bien s'amuser à implémenter des prouvabilités loufoques où les admis que j'ai utilisés ne sont pas vérifiés, mais enfin comme tu vois, il faudrait sacrément se forcer.

    La traduction dans Peano est triviale à UNE CONDITION: savoir (ou admettre) que toute suite finie $u$ vérifie qu'il existe des entiers naturels $a,b,c$ tels que pour tout $i\in dom(u): u_i=($ reste de $a$ divisé par $(b+ic))$. Ce point est un point purement technique (souvent appelé "théorème chinois"**) qui à lui seul est 3 fois plus long que de le reste de la preuve de Godel. Dès lors que tu as des suites finies, tu définis les sens des mots "prouvable" qui te plaisent plus ou moins à ta guise.

    "Pédagogiquement" (beurk), donc, si tu occupes un dimanche à édifier un pote non matheux à ça, bin, plutôt que t'épuiser à prouver que les entiers suffisent à représenter les suites finies à volonté, tu les mets directement dans la structure.

    ** "hélas" les diffusions académiques du théorème chinois utilisent des formes moins adaptées à l'informatique car sont promues par des algébristes qui en font tout à fait autre chose.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • FrançoisD
    FrançoisD
    Merci de vos réponses (:P)

    F.D.
  • Lukasz
    Lukasz
    Bonsoir

    Je voudrais confirmer que je suis un co-auteur de l'article (écrit avec Dr Teodor J. Stepien): On the Consistency of the Arithmetic System, Journal of Mathematics and System Science , vol. 7, 43 - 55 (2017) ; arXiv:1803.11072 - il y a une preuve de consistance de l'arithmétique. Cette preuve est faite dans ce système de l'arithmétique.
    Merci
    Lukasz T. Stepien
    mon site web

    PS. J’étudie le français. Pardon pour mon français, qui n'est pas parfait (encore ;-) ).
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