Classe propre

Alors attention déjà, Bourbaki est un très mauvais endroit pour commencer la théorie des ensembles. Ils ont fait leur fascicule juste pour que certaines choses soient écrites mais il est très mal fait...

Alors ensuite ce n'est pas la relation spécifiquement $x\notin x$ qui pose problème; le paradoxe de Russell peut s'écrire avec n'importe quel relation binaire $R$: il n'existe pas de $z$ tel que pour tout $x$, $xRz$ si et seulement si $\neg (xRx)$ (sinon, si un tel $z$ existe on a $zRz\implies \neg (zRz)$ et $\neg (zRz) \implies zRz$)

La rapport avec le Barbier est simplement de prendre $xR$ = $y$ rase $x$. Le théorème du dessus devient : il n'existe pas de personne telle qu'elle rase quelqu'un si et seulement s'il ne se rase pas: c'est exactement la même chose.

Donc en fait $x\notin x$ n'a rien de spécial, d'ailleurs avec l'axiome de fondation tout le monde le vérifie, et sans l'axiome de fondation, il y a des gens qui ne le vérifient pas: rien de bien palpitant.

Le problème qui apparaît dans le paradoxe de Russell est celui de la compréhension non restreinte : pouvoir dire que $\{x: \varphi\}$ est un ensemble pour toute formule $\varphi$ est ce qui pose problème (prendre $\varphi = x\notin x$ par exemple :-D )

Les matheux du début XXè ont résolu ça en disant qu'on ne pouvait appliquer la compréhension qu'aux formules $\varphi$ de la forme $(x\in A) \land \psi$ (compréhension restreinte à l'ensemble $A$); cela permet (au moins ce qu'on en sait) d'éviter de tels paradoxes.
La notion de "relation collectivisante" de Bourbaki est là aussi pour permettre d'éviter les paradoxes.


Finalement, sur ce qu'est une classe propre... ça dépend de la théorie utilisée. Dans ZF(C), ça n'a pas de sens "dans la théorie", ça a un sens métathéorique, au sens suivant : une classe est une formule à une variable libre, éventuellement à paramètres $\varphi$ (qui représente cette entité $\{x: \varphi\}$), et une classe propre c'est une classe (donc une formule $\varphi$) telle qu'il n'existe pas de $z$ vérifiant $x\in z \iff \varphi(x)$.
Dans NBG, qui est une théorie qui a été créée spécifiquement (en tout cas notamment) pour pouvoir parler de classes, une classe est un objet quelconque parmi ceux dont on parle; un ensemble est une classe qui appartient à une autre classe; et une classe propre c'est une classe qui n'est pas un ensemble (i.e. qui n'appartient à personne d'autres).
Il y a d'autres théories, qui ont une autre interprétation du mot "classe" et du mot "classe propre" évidemment.

Un exemple de classe propre est l'univers $V = \{x: x=x\}$ (dans ZF ça correspond à la formule $x=x$; dans NBG c'est $\{x: x$ est un ensemble $\}$) ou encore la classe des ordinaux (si tu sais ce qu'est un ordinal) qui ne peut être un de ses membres car sinon ce serait un ensemble, un ordinal, et donc un ordinal qui se contient lui-même, ce qui est absurde; la classe des groupes etc.

Pour poursuivre les précédents posts, tu peux te renseigner sur la théorie de Morse-Kelley.
C'est une théorie alternative (et strictement plus puisssante) que ZFC pour fonder la théorie des ensembles.

Je la trouve assez pratique car la théorie permet dans son langage de considérer N'IMPORTE QUEL "machin" de la forme $\{x : \varphi(x)\}$. Les objets de la théorie sont appelés "les classes".

Il y a deux types de classes, les classes propres (gigantesques en taille) et les ensembles (petits). La définition est simplissimme. La phrase "$x$ est un ensemble" abrège $\exists y : x \in y.$ Autrement dit tu es petit si tu es contenu dans autre chose. Tout ce qui n'est pas ensemble est appelé classe propre.

Tu peux définir les notions usuelles de théorie des ensembles, produits cartésiens, union, couple, etc ... mais ceux-ci n'auront les bonnes propriétés que sur les ensembles et non sur les classes propres. Il est donc commun dans les hypothèses des théorèmes de M-K de préciser que telles ou telles classes doivent être des ensembles. J'aime bien cette théorie car elle permet d'être très précis et de voir exactement où la petitesse doit intervenir.

Conseil: oublie les structures, n'étudie que les ensembles. Ces complications n'ont pas lieu d'être. L'époque de Bourbaki était une époque d'hésitation. Quand tu auras du recul tu pourras revenir aux structures.