Cardinaux mondains
Bonjour à tous,
Traditionnellement quand on fait de la théorie des ensembles on considère que les cardinaux inaccessibles sont le premier étage de la hiérarchie des grands cardinaux.
(Ici je ne distingue pas entre faiblement et fortement inaccessibles puisqu'ils ont la même consistency strength, mais en fait je ne vais parler que de fortement inaccessibles).
Or, j'ai découvert récemment qu'il existe des grands cardinaux plus petits que les inaccessibles, ce sont les wordly cardinals, que j'ai traduit par cardinaux mondains, au sens où ils engendrent un monde.
Un cardinal kappa est dit wordly si V_kappa est modèle de ZFC.
Un inaccessible est toujours mondain, mais la réciproque est fausse.
A priori la seule remarque qu'on puisse faire dans l'immédiat c'est que, si kappa est mondain sans être inaccessible (donc s'il est singulier), alors la fonction f qui témoigne du fait que cf(kappa)<kappa n'est pas définissable, sinon elle contredirait le schéma de remplacement.
J'ai lu quelque part que les cardinaux mondains avaient les 5 propriétés suivantes :
1) Tout cardinal fortement inaccessible est mondain (c'est clair).
2) Néanmoins, le plus petit cardinal mondain (s'il existe) est singulier, donc non inaccessible.
3) Le plus petit cardinal mondain a pour cofinalité oméga.
4) Plus généralement, le plus petit cardinal mondain au-dessus d'un ordinal donné est de cofinalité oméga.
5) Tout cardinal mondain kappa de cofinalité non dénombrable est une limite de kappa cardinaux mondains.
J'ai l'impression d'avoir réussi à prouver les 4 premiers points mais je ne suis pas sûr de mon coup.
Pouvez-vous jeter un oeil et me dire si ma démonstration tient la route ?
Je vous joins un pdf, au vu de ma nullissimité en LaTeX.
Merci d'avance
Martial
Traditionnellement quand on fait de la théorie des ensembles on considère que les cardinaux inaccessibles sont le premier étage de la hiérarchie des grands cardinaux.
(Ici je ne distingue pas entre faiblement et fortement inaccessibles puisqu'ils ont la même consistency strength, mais en fait je ne vais parler que de fortement inaccessibles).
Or, j'ai découvert récemment qu'il existe des grands cardinaux plus petits que les inaccessibles, ce sont les wordly cardinals, que j'ai traduit par cardinaux mondains, au sens où ils engendrent un monde.
Un cardinal kappa est dit wordly si V_kappa est modèle de ZFC.
Un inaccessible est toujours mondain, mais la réciproque est fausse.
A priori la seule remarque qu'on puisse faire dans l'immédiat c'est que, si kappa est mondain sans être inaccessible (donc s'il est singulier), alors la fonction f qui témoigne du fait que cf(kappa)<kappa n'est pas définissable, sinon elle contredirait le schéma de remplacement.
J'ai lu quelque part que les cardinaux mondains avaient les 5 propriétés suivantes :
1) Tout cardinal fortement inaccessible est mondain (c'est clair).
2) Néanmoins, le plus petit cardinal mondain (s'il existe) est singulier, donc non inaccessible.
3) Le plus petit cardinal mondain a pour cofinalité oméga.
4) Plus généralement, le plus petit cardinal mondain au-dessus d'un ordinal donné est de cofinalité oméga.
5) Tout cardinal mondain kappa de cofinalité non dénombrable est une limite de kappa cardinaux mondains.
J'ai l'impression d'avoir réussi à prouver les 4 premiers points mais je ne suis pas sûr de mon coup.
Pouvez-vous jeter un oeil et me dire si ma démonstration tient la route ?
Je vous joins un pdf, au vu de ma nullissimité en LaTeX.
Merci d'avance
Martial
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Réponses
Après je ne trouve pas ça super agréable à lire de se placer dans $V_\kappa$ parce qu'il faut réfléchir à "est-ce que le ZFC de l'univers est le même que celui de $V_\kappa$?" (en tout cas moi je dois y réfléchir :-D) et c'est pas très agréable et on n'y gagne pas grand chose (à part ne pas avoir à dire "$<\kappa$" pour tes ordinaux. Et dans le même genre, est-ce que $(V_\alpha \nmodels ZFC) \implies (V_\kappa \models (V_\alpha \nmodels ZFC))$ etc. tout plein de questions d'absoluité qui sont peut-être triviales pour toi, mais en tout cas moi je dois y réfléchir et je pense pas que tu y gagnes grand chose...
Sinon, ça fait un moment que je n'ai pas fait de choses de ce genre, donc j'ai oublié si le "$V_\alpha$ satisfait $A_k$ donc a fortiori $V_\lambda$ aussi" est évident ou s'il faut justifier un petit peu quand même ? (je ne le vois pas en tout cas - enfin j'ai souvenir qu'il existe un résultat genre "la classe des $\alpha$ tels que $V_\alpha\models \varphi$ est vide ou un club" et si c'est le cas, cette étape ne serait pas nécessaire; sinon ça ne me paraît pas super clair)
2) est effectivement clair par 3)
4) Oui j'ai pas vérifié les détails mais a priori ça devrait marcher
Non, hélas ces choses-là ne sont pas triviales pour moi, et c'est justement à cause de ces questions d'absoluité (sur lesquelles, comme tu as pu le remarquer, je suis resté très pudique, et ce pour des raisons personnelles lol) que j'avais des doutes sur la validité de ma preuve.
Je pense que globalement la démarche est bonne, mais peut-être certaines affirmations méritent-elles davantage de justifications.
Par ailleurs tu as raison, je me suis cassé la tête inutilement en me plaçant dans V_kappa, il suffisait de se placer dans V en précisant que tous les ordinaux qui jouent un rôle là-dedans doivent être pris < kappa.
Je vais attendre de voir ce qu'en pense Christophe (ou d'autres intervenants) et puis j'essaierai de rerédiger ça plus clairement.
Par contre pour le 5) je n'ai pas d'idée : il est à peu près évident que si on pose lambda = cf(kappa), alors kappa est limite d'au moins lambda cardinaux mondains, mais pourquoi kappa ?
A+
Martial
Comme tu peux l'imaginer ce n'est pas moi qui ai inventé ce truc, donc si c'est faux il faudra en avertir l'auteur.
Mais prends ton temps, il n'y a pas le feu.
Et si tu en veux une preuve, c'est "celle que tu attends", ie en gros il y a tout plein plein de cardinaux mondains (en exagérant à peine) tous les sauts de omegaZERO tu en rencontres un (évidemment j'exagère un peu, mais c'est l'idée).
Mais pour "effacer" mon incorrection téléphonique, dis-moi quand tu veux une solution entièrement formelle rédigée. Je te laisse le temps de chercher seul en attendant.
Un cardinal kappa est 1-mondain s'il est limite de cardinaux mondains.
Plus généralement, kappa est alpha-mondain s'il est mondain et si, pour tout béta < alpha, l'ensemble des cardinaux béta-mondains est cofinal dans kappa.
Un cardinal kappa est hyper-mondain s'il est kappa-mondain.
Puis on définit de même les cardinaux alpha-hyper-mondains, hyperhypermondains, hyper-3-mondains, alpha-hyper-béta-mondains etc.
Théorème 6 : S'il en existe, tout cardinal inaccessible kappa est hyper-kappa-mondain.
Je sais pas vous, mais moi ça me colle un peu le vertige.
@Maxtimax : après réflexion je n'arrive pas à comprendre comment ce truc peut être autre chose qu'un méta-théorème.
En gros, le théorème dit : "S'il existe un modèle de ZFC qui est de telle ou telle forme, alors blablabla".
Et je ne vois pas comment un tel énoncé pourrait être un théorème de ZFC.
Je veux bien un supplément d'explications.
Martial
"Soit $(V,\epsilon)$ un modèle de ZFC, $\kappa$ un élément de $V$ tel que $V$ pense que $\kappa$ est un cardinal inaccessible; alors $\{x\in V\mid V\models (x\epsilon V_\kappa)\}$ est un sous-ensemble de $V$ qui, muni de $\epsilon$, est un modèle de ZFC". Ça c'est très facile, c'est l'argument classique.
Puis tu as un théorème qui est "si $\kappa$ est un cardinal inaccessible, alors $(V_\kappa, \in) \models ZFC$". C'est pas très compliqué mais plus subtil, il y a déjà eu un fil là-dessus sur le forum.
:-D ça montre surtout qu'il faut appuyer sur le frein avant de voir le panneau "ravin", car il n'y a pas de panneau.
Et oui, je te rédigerai ça dans le WE.
Il n'y a pas de métamaths, tout ça c'est de la bonne et pure et dure phrase écrite avec juste des $\forall, \to, \in$. Même la notion de formules, preuves, etc, est définie en interne. (Mais ça prend 90% de la place tout en étant "naturelle", donc certains disent "voir [xerd1368746]" <
tapé des caractères au hasard.
Présentement, c'est du brut de pomme tout se passe dans l'univers et le vrai objet $\forall$ dont il est question dans ce théorème c'est un truc du genre $\{\{\ \}; \{\{\ \}; \} \}$ :-D
1/ si k est un ordinal et f va de k dans k alors tout a dans k est majoré par un b dans k+1 stable par f de cofinalite denombralbe
2/ si V est un univers et si la classe des ordinaux mondains n'est pas bornée alors l'univers V la considéré comme indicable par les ordinaux car elle est définissable.
3/ pour tout k il existe f tel pour tout a stable par f: a est mondain.
Ces trucs ultra utilisés entrainent trivialement tes désirs mais la rédaction est parfois longue.
De mon téléphone (qui change certains mots sans prévenir :-X )
https://mathoverflow.net/questions/161250/questions-about-worldly-cardinals/161254
Bon courage pour ton admin et ta grosse affaire.
A+
Martial
Juste histoire de faire remonter ce fil, au cas où Christophe aurait oublié mon existence, lol.
C'est au sujet de la démonstration du théorème 5, oeuf corse.
Si tu as le temps, ça va de soi.
Martial
Pour tout ordinal $a: V_a$ est déjà "presque" un modèle de $ZF$. Il y a très peu de choses qui manquent. Si de plus $a$ est limite alors il ne manque à $V_a$ que l'axiome de remplacement.
Il te suffit donc juste de faire un peu de ce qu'on appelle "combinatoire infinie" pour gagner en te rappelant que $x\mapsto R(x):=(x$ est un ordinal mondain$)$ est une collection définissable. Comme déjà dit, à peu de choses près, "presque tout" ordinal limite est mondain.
Quand un ordinal $k$ est mondain (donc un modèle de $ZF$) et qu'en plus il n'est pas de cofinalité $\omega$, il vérifie le schéma de réflexion "à donf".
Peut-être ce qui peut te faciliter la tâche est de skolémiser entièrement ZF. Cela te permet de voir que la mondanité est entraînée par le fait que $V_a$ soit stable par toutes les fonctions témoin.
quand on fait "du GG" (travaille avec des entiers naifs et des énoncés écrits à l'encre sur un vrai papier, remystifiés en objets platoniques, etc,
Je n'ai jamais prétendu que les entiers intuitifs étaient écrits à l'encre sur du vrai papier,
je dis juste que leur "ensemble" est "isomorphe" à un segment initial (qui n'est pas un ensemble) d' $\omega $ , mais QU'ON NE PEUT PAS EXCLURE qu' $\omega $ contienne d'autres éléments, ce qui implique QU'ON NE PEUT PAS IDENTIFIER "l'ensemble" des entiers intuitifs avec $\omega $.
Je ne dis rien d'autre, mais pour des raisons que j'ignore et qui restent pour moi mystérieuses, tu as toujours contesté ce point de vue.
Je vais essayer de me débrouiller avec ça.
A+
Martial
Je reviens sur cette question car j'ai lu quelque part que les cardinaux mondains sont des points fixes de la fonction beth.
Du coup j'ai essayé de le démontrer mais je ne suis pas sûr de la justesse de mon raisonnement.
Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez ?
Sorry de vous joindre encore un pdf, il faudra qu'un jour quelqu'un fasse quelques chose pour lutter contre ma nullité en latex.
Bonne soirée.
Martial
[Continuons dans la discussion sur le sujet. AD]
Bonne soirée à toi
Martial
[À ton service. :-) AD]
Tu l'utilises à beaucoup de reprises; en particulier à l'endroit où tu n'es pas sûr de toi (pour montrer que les $\Beth$ de $V_\kappa$ sont les bons $\Beth$)
Mais je vais avoir besoin d'un petit coup de pouce supplémentaire pour démontrer ce point délicat : à ma connaissance la prise de parties n'est pas absolue, ni même semi-absolue descendante.
Donc le fait que $V_{\kappa}$ est modèle de ZFC ne va pas suffire, le point crucial est que c'est un $V_{\kappa}$, justement.
Mais je n'ai pas vraiment d'idée.
@Christophe : ton théorème m'arrange bien, car il me permettrait de prouver par la même occasion que $\kappa$ est point fixe de l'énumération des points fixes de la fonction $\beth$, et ainsi de suite.
Mais il faudrait que tu précises un peu ta pensée : en particulier qu'appelles-tu une collection fermée d'ordinaux ? C'est une collection qui est fermée pour la topologie de l'ordre, c'est-à-dire que toute limite de machins est encore un machin, c'est ça ?
Et pourquoi 'image directe de la collection serait-elle fermée dans le target ?
P.S. Je suis tout à fait conscient de la trivialité de mes questions, mais j'aime bien comprendre, lol
Martial
@Maxtimax : Si a est dans $V_{\kappa}$ on a $rg(a)<\kappa$.
Comme b est inclus dans a on a rg(b) inférieur ou égal à rg(a), donc aussi $rg(b)<\kappa$.
Et donc b est dans $V_{\kappa}$.
C'est ça ?
Christophe tu n'as pas répondu à ma question, mais tu ne l'as sûrement pas vue, donc je la repose : ne faut-il pas imposer (d'une manière ou d'une autre) que la fonction en question soit "bien calculée pr $V_\kappa$" ?
@Christophe : tu n'as pas répondu à la question de Maxtimax, mais tu ne l'as sûrement pas vue, donc je la repose : ne faut-il pas imposer (d'une manière ou d'une autre) que la fonction en question soit "bien calculée par $V_{\kappa}$" ?
Martial
Oui bien sûr, dans une preuve formelle il FAUT le justifier. Ici c'est immédiat car les Vk calculent les vrais P(X) les vrais cofinalites etc mais c'est à justifier.
Ce que je veux dire c'est qu'il n'y a pas de schéma de théorèmes "Si $F$ est une formule telle que ZFC prouve '$F$ est une fonctionnelle définie sur les ordinaux croissante, continue et non bornée', si $V$ est un modèle de ZFC et $\kappa\in V$ un cardinal que $V$ croit mondain, alors $\kappa$ est un point fixe de $F$", si ?
Pour un exemple de F qui ne marche pas prendre F(i) := le i ieme ordinal de la collection des ordinaux vérifiant "s'il n'y a pas d'ensemble de tous les mondains alors x est mondain".
Toutes les F exception à ce que j'ai dit se comporteront peu comme ça. D'un PC je préciserai et barrerai mes approximations car c'est un sujet où la moindre approximation fait dire des choses fausses. J'espère que Martial interprétera l'affirmation de ce matin dans son sens modéré.
Le mécanisme:
1/ projet associer à tout énoncé une preuve dans la TDE contradictoire de sorte que quand il est vrai la preuve est "raisonnable".
2/ difficulté du projet: { x | x pas dans x et non P} prouve P s'il existe.
3/ Autre facette du projet: trouver un énoncé "raidonnable" et PUR De manière automatique qui entraîne plusieurd conjectures qu'on choisit comme on veut.
4/ Difficulté: définir pourquoi leur simple conjonction est impure.
Tout ce que j'ai construit échoué (ie les énoncés ou preuves trouvées par un procédé automatique deviennent grotesques ): par Godel c'est prévisible mais c'est frustrant.
Dans mon post de ce matin j'aurais du ajouté "absolue" pour F (c'est une propriété officielle et recommandée bien souvent même si ça rend modeste la conclusion).
Ici absolu veut dire "calculée de la même façon da s tout Vk pour la partie qu'il voit"
Mais ceci étant fait j'aimerais passer à l'étape suivante : montrer que tout cardinal mondain est un point fixe de la "fonction" qui à tout ordinal $\alpha$ associe le $\alpha$ième point fixe de la fonction $\beth$.
(Je précise que je voudrais le faire par une méthode élémentaire, c'est-à-dire sans utiliser la méthode de Christophe dont je ne pense pas avoir compris tous les tenants et aboutissants. Je précise également que ce n'est pas la faute de Christophe, c'est juste que j'ai un peu le cerveau lent).
Bref. Comme il faut bien commencer quelque part je me pose la question (bête) suivante : on sait maintenant que tout cardinal mondain est un point fixe de $\beth$.
Alors pourquoi le plus petit mondain n'est-il pas le tel premier point fixe ?
En d'autres termes, si $\kappa$ est le premier point fixe de $\beth$, pourquoi $V_{\kappa}$ n'est-il pas modèle de ZFC ?
Mais moi je veux démontrer plus : je veux prouver qu'il n'est PAS mondain… et ce ne serait que la 1ère étape de ma démarche.
"x singulier" abrége "il existe y<x et une application non bornée de y dans x"
La remarque de Christophe prouve seulement que le premier point fixe n'est pas inaccessible, d'ailleurs par construction il est de cofinalité $\omega$.
Mais moi ce que je veux démontrer c'est qu'il n'est pas mondain.
D'ailleurs à ce propos je pense avoir réussi à rédiger une preuve propre du fait que le premier mondain (resp. le premier mondain au-dessus d'un ordinal donné) est de cofinalité $\omega$, je la posterai un de ces quatre, en même temps que le reste.
Pour ce faire j'ai tenu compte de tes remarques, c'était effectivement débile de s'emmerder avec des satisfactions dans $V_{\kappa}$, ça marche très bien si on laisse toutes les choses se passer dans $V$. .