Axiomes de Péano

Maxtimax, en faite ce que tu veux dire c'est que la théorie des Ensembles de Zermello-Fraenkel contient encore plus d'axiomes relatifs à l'arithmétique que ne le font les axiomes de Péano? C'est probablement le cas, mais moi je ne comprends pas pourquoi tu dis ça, parce que l'article wikipédia qui parle des entiers de Von Neuman dis que la seule axiome de ZF utilisée (à part les plus basiques comme l'existence de l'ensemble vide) est l'axiome de l'infini. Est-ce que c'est à ça que tu fait référence en disant que c'est un modèle plus fort? Ou probablement tu veux dire qu'il est possible d'avoir une théorie axiomatique de l'arithmétique sans la construction préalable de toute une théorie axiomatique des ensembles et dans ce cas on a besoin des axiomes de Péano en tant que AXIOMES pour pouvoir construire l'ensemble des entiers naturels?

Tu dis qu'il n y a pas que les entiers de Von Neuman comme modèle pour les entiers de Péano. Mais ces modèles là sont toutes des modèles construites d'une manière concrète. Je n'ai rien contre les hypothèses définies par Péano pour un modèle des entiers, je suis tout-à-fait convaincu, ce que me dérange c'est cette appellation "axiomes de Péano". Une axiome pour moi c'est quelque chose d'indispensable, mais qu'on arrive pas à démontrer. Alors que dans le cas des entiers, un ensemble concret à été construit dans le cadre de la théorie axiomatique la plus répondue dans les mathématiques, donc à proprement parler les axiomes de Péano ne sont plus les axiomes si on se met dans ZF. Ce qu'on devrait dire à la place que l'ensemble des entiers naturels tel qu'il a été définie par Péano EXISTE dans ZF et la preuve a été fournie notamment par Von Neuman. C'est-à-dire que dans ZF on a pas besoin d'introduire les axiomes de Péano en tant qu'axiomes pour construire l'arithmétique, elle se construit sans axiomes supplémentaires à partir des autres briques élémentaires de ZF comme l'existence de l'ensemble vide, opération union des ensembles, axiome de l'infini, etc.

Donc en découle à mon avis la conclusion suivante, soit l'expression "axiomes de Péano" est un abus de langage, soit on conserve cette appellation pour le cas d'une théorie axiomatique autre que ZFC qui ne contient pas en elle même suffisamment d'éléments pour construire l'arithmétique sans l'introduction des axiomes supplémentaires. Cependant je ne vois pas l'intérêt d'une théorie pareille.

Maxtimax, je m'excuse pour mes intervention amateur au cas ou je dis des conneries, donc corrige mon raisonnement car j'arrive vraiment pas à organiser tout ça dans ma tête.

Je te remercie d'avance,
Cordialement

Je te remercie pour ta réponse Maxtimax. Je comprends mieux maintenant. La principale source de l'ambiguïté pour moi venait du sens qu'on donnait au mot "axiome". N'ayant jamais vraiment étudié les fondements j'ignorait son sens "contemporain".

Par contre ta réponse m'a fait penser à deux nouvelles questions :

1) Tu dis qu'il y a des "structures non standards d'entiers". Non standards par rapport à quoi? Par rapport à la construction de IN de Von Neuman? Du moment que toutes ces structures d'entiers répondent aux conditions de Péano pourquoi ils seraient moins standards que d'autres. Vu que de toute manière, du moment que n'importe quelle structure qui respecte les axiomes de Péano se comporte exactement comme les entiers (et donc peut être considéré comme IN).

2) Cette question est plus fondamentale. Est-possible de construire une théorie des ensembles au sein de laquelle on arrive à construire l'ensemble des entiers naturels (c'est-à-dire l'arithmétique) sans considérer une axiomes qui n'est la spécialement que pour les entiers comme l'axiome de l'infini? C'est-à-dire est-ce que l'existence des entiers (dans la compréhension de Péano) peut-il découler implicitement des axiomes les plus basiques comme par exemple l'existence de l'ensemble vide, etc. A-t-on forcement besoin d'ajouter des axiomes à une théorie des ensembles pour pouvoir construire IN? Au vu de la formulation du théorème d'incomplétude de Gödel (dont je ne connais que l'énoncé lu sur wikipédia) j'ai l'impression que la réponse sera "non". On doit absolument ajouter des axiomes qui en plus rendront cette théorie incomplète. Que pense-tu de ça? Je pose cette question juste pour savoir si la construction de IN est un sujet réellement important en mathématiques ou bien juste une formalisation des puristes comme par exemple la construction des nombres complexes comme R^2.

Je vous remercie tous pour vos réponses. Je comprends mieux le sujet, maintenant.

J'ai envie de me mettre aux niveau sur cette problématique. J'ai derrière moi une prépa MP et trois années d'école d'ingénieurs.

Pourriez-vous, s'il vous plait, énumérer pour moi l'ensemble de sujet que je dois étudier pour me mettre au point sur les problématiques de la logique, fondement des mathématiques et l'informatique théorique.

Je peux moi même en citer quelque uns :

-Théorie des ensembles ;
-Logique ;
-Lambda Calcul ;
-Automates, etc.

Mais j'imagine que cette liste n'est pas exhaustive.

Ce que je voudrais avoir c'est plus un arbre généalogique des sujet relatifs au fondements et l'informatique théorique. Ca me permettra de bien étudier ce sujet.

Si, possible j'aurais aimé avoir des références bibliographiques pour aborder ces sujets. J'ai une préférence pour les livres qui me permettront d'aborder la problématique dans son contexte historique (par exemple comprendre comment la théorie axiomatique des ensemble naquit du programme de Hilbert et des travaux de Cantor-Frege).

Je vous remercie, d'avance !