Univers de Grothendieck
Bonjour tout le monde,
Je ne dois plus être coté à l'Argus, mais il y a un truc (sans doute trivial) qui m'échappe dans la définition des univers de Grothendieck.
Je lis un peu partout qu'un univers de Grothendieck est un ensemble transitif qui est stable par passage à la paire, réunion et prises de parties.
Et l'axiome des univers de Grothendieck dit : "tout ensemble appartient à un univers de Grothendieck".
Jusque là, OK.
Ce que je ne comprends pas c'est qu'apparemment cet axiome est équivalent à "il existe une classe propre de cardinaux inaccessible".
Plus précisément, il est dit en plusieurs endroits qu'un univers de Grothendieck est soit le vide, soit V_oméga, soit V_kappa avec kappa inaccessible.
En admettant ce truc, je comprends bien l'équivalence entre les 2 axiomes, mais ce qui m'échappe c'est la chose suivante :
A ma connaissance, si lambda est n'importe quel ordinal limite autre que oméga, V_lambda est modèle de Z (la théorie des ensembles sans le schéma de remplacement), ce qui implique en particulier qu'il est transitif et stable par passage à la paire, aux réunions et à la prise de parties.
Du coup je ne vois pas en quoi on a besoin d'un cardinal inaccessible pour réaliser cela.
Ça doit être complètement trivial mais je n'arrive pas à mettre le doigt dessus.
Merci d'avance pour vos éclairages.
Martial
Je ne dois plus être coté à l'Argus, mais il y a un truc (sans doute trivial) qui m'échappe dans la définition des univers de Grothendieck.
Je lis un peu partout qu'un univers de Grothendieck est un ensemble transitif qui est stable par passage à la paire, réunion et prises de parties.
Et l'axiome des univers de Grothendieck dit : "tout ensemble appartient à un univers de Grothendieck".
Jusque là, OK.
Ce que je ne comprends pas c'est qu'apparemment cet axiome est équivalent à "il existe une classe propre de cardinaux inaccessible".
Plus précisément, il est dit en plusieurs endroits qu'un univers de Grothendieck est soit le vide, soit V_oméga, soit V_kappa avec kappa inaccessible.
En admettant ce truc, je comprends bien l'équivalence entre les 2 axiomes, mais ce qui m'échappe c'est la chose suivante :
A ma connaissance, si lambda est n'importe quel ordinal limite autre que oméga, V_lambda est modèle de Z (la théorie des ensembles sans le schéma de remplacement), ce qui implique en particulier qu'il est transitif et stable par passage à la paire, aux réunions et à la prise de parties.
Du coup je ne vois pas en quoi on a besoin d'un cardinal inaccessible pour réaliser cela.
Ça doit être complètement trivial mais je n'arrive pas à mettre le doigt dessus.
Merci d'avance pour vos éclairages.
Martial
Réponses
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De mon téléphone : non tu n'as pas la berlue. Tu as du oublier un mot (ou ton document): l'ensemble doit contenir toutes ses parties sauf celles de même cardinal que lui.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@Christophe : je sais bien qu'il me manque quelque chose, sinon ça voudrait dire que l'axiome des univers est une trivialité, ça se saurait !
"l'ensemble doit contenir toutes ses parties sauf celles de même cardinal que lui."
Tu peux préciser un peu, je suis fatigué en ce moment ? (en particulier du cerveau).
@Maxtimax : Ben justement, le point 4 c'est pas exactement l'axiome de la réunion ?
Je sais que je dis des conneries mais j'aimerais savoir lesquelles.
Martial -
@Martial: effectivement, dit comme ça le point 4 n'est pas très clair : ce n'est pas la famille qui est dans $U$, c'est l'ensemble d'indices et chaque élément de la famille. L'axiome de la réunion implique le point 4 lorsque l'ensemble $(x_i)_{i\in I} \in U$, ce qui n'est pas nécessairement le cas dans l'énoncé 4.
Par exemple si $U= V_\lambda$, et si $\lambda$ n'est pas régulier alors il existe des $x_\alpha\in \lambda$ indexés par un $\mu <\lambda$ tels que $\displaystyle\bigcup_{\alpha <\mu} x_\alpha = \lambda$, de sorte que chaque $x_\alpha \in U$ et $\mu \in U$.
En fait l'énoncé 4 c'est réunion + remplacement (pour assurer que la famille $(x_i)$ est dans $U$, il faut du remplacement: sinon tu n'as que chaque terme et l'ensemble d'indices)
Une fois qu'on a vu ça, si $V_\lambda$ est un univers de Grothendieck, c'est que $\lambda$ est régulier, et donc inaccessible (car il est clairement fortement limite). -
@Maxtimax : Super, j'ai compris !
Dans l'hypothèse, les x_alpha sont dans U, I aussi, mais la collection des x_alpha pour alpha dans I n'est pas nécessairement dans U... et c'est précisément ce que dit la conclusion.
Mais il faut reconnaître que ce truc est très mal formulé dans Wikipédia.
Il faut l'écrire en français sans employer le mot "famille", genre : "si kappa < Card(U), alors toute réunion de kappa ensembles éléments de U est élément de U", ou alors préciser qu'il s'agit d'une famille au sens de V, mais pas forcément au sens de U.
Merci, grâce à toi je vais me coucher un peu plus intelligent que je ne m'étais levé.
Martial -
Oui, je suis d'accord qu'il faudrait préciser !
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Une remarque qui peut-être ne fait pas avancer le Schmilblick mais utiliser les univers de Grothendieck ou utiliser la théorie NBG c'est du pareil au même.
Plus précisément, si on se donne un univers de Grothendieck $\mathcal{U}$ et qu'on appelle "ensemble" les éléments de $\mathcal{U}$ et "classes" les parties de $\mathcal{U}$ alors on obtient un modèle de NBG. -
ou alors préciser qu'il s'agit d'une famille au sens de V, mais pas forcément au sens de U.
Normalement, quand on ne précise pas c'est par défaut "dans V".
@Cyrano: euuu, attention quand-même, modèle de NBG, même bien fondé, même avec le vrai $\in$ est très très très loin de signifie "ensemble inaccessible".
Les inaccessibles, c'est quand-même bien plus franc du collier et maniable. Après pour l'utilité qu'en a Grothendieck, je ne sais pas, peut-être n'utilise-t-il que très peu, mais bon. Et pis, c'est tout de même bien plus rapide et simple d'écrire "Soit $U$ un inac" que "soit $U$ un modèle de (ZF ou de NBG ou de tralala)"
@martial, il y a une très forte robustesse dans tout ça; tu peux définir un ensemble inaccessible (je préfère ce terme ensembliste au terme "univers de Grothendicek"***) de plein de façons équivalentes différentes, car les 2 gros ingrédients c'est la régularité** et la stabilité par P.
*** sinon j'ai remarqué que les gens se demandent ce que c'est vu que les inaccessibles ont été nommés 30ans avant (voire 40) et peuvent penser que si c'est un autre nom, c'est autre chose.
** "forte", (comme ça tu as l'axiome du choix sans l'ajouter) : $\forall A\subset E: A\notin E\to (card(A)=card(E))$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci à tous
@Cyrano et tous : c'est vrai qu'on peut s'en sortir avec NBG, mais il y a une raison historique pour que non :
Grothendieck faisait partie du groupe Bourbaki, et il voulait intégrer sa théorie des catégories dans le contexte de la théorie des ensembles "usuelle", en évitant les classes propres.
C'est cela qui lui a donné l'idée de la théorie des univers.
Voir PJ : c'est un peu chiant à lire mais l'essentiel est dans la section 6.
Encore merci pour vos éclaircissements.
Gutte Nacht
Martial -
Ok christophe, si tu le dis je te crois car je ne connais pas bien les inaccessibles. (tu)
En tout cas pour la théorie des catégories, une théorie avec classe peut suffire même si je préfère également travailler avec les univers et ce pour une raison assez simple. Avec NBG on a deux strates : gros (classes propres) et petit (ensembles) alors qu'avec les univers on a autant de strates que l'on veut. Dans certains théorèmes très précis, on aime pouvoir jouer avec 3 univers simultanés. -
Certes, mais rien que les foncteurs peuvent être des classes et les transformations naturelles, etc, commencent à avoir leurs ailes qui fondent au soleil s'il faut passer aux classes de classes, etc. Après je ne suis pas expert, on doit souvent pouvoir s'arrêter vite, mais il est clair que la prise d'inaccessibles règle définitivement la question de manière mathématiquement correcte, c'est tout de même mieux: je rappelle que les classes ne sont pas des objets mathématiques, et les classes de classes encore moins, etc.
Il existe aussi un autre écueil que j'ai constaté dans le cadre humain: certains esprits fragiles sont influencés et croient voir dans ce "dépassement de l'univers" quelque chose de non trivial et "d'attestant" de subtilité, ce qui peut avoir tendance à les "convertir" par tromperie à des attentes sans objet (évidemment je sais que ce sont plutôt des débutants et non les experts qui tombent dans cette faute, mais cela dit, quand on peut l'éviter, c'est mieux)
A noter que pour ces activités spécifiques, les bases de la logique permettent de redescendre sans effort ni inspiration (ie l'usage des inaccessibles est inoffensif, car les raisonnements engagés sont trop rudimentaires pour ne pas être traduits automatiquement par le schéma de réflexion, qui est une liste de théorèmes, donc conservatif)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je ne vois pas pourquoi tu dis que les classes ne sont pas des objets mathématiques.
Elles le sont dans une théorie avec classes mais elles ne le sont pas dans la théorie ZFC.
Et j'ajouterai que dans la théorie naïve des ensembles (i.e. celle qu'on pratique tous en réalité), ce sont les classes qui sont les vrais objets puisqu'on ne se soucie pas vraiment des questions de taille. -
Est-il exact que la démo de Fermat-Wiles repose sur les univers de Grothendieck ? (donc sur l'existence d'une classe propre d'inaccessibles).
J'en ai discuté avec un spécialiste de théorie des nombres, qui m'a plus ou moins pris pour un extra-terrestre quand je lui ai dit ça, son argument étant que pour démontrer Fermat on n'utilise que des objets très simples à construire, et que ça l'étonnerait qu'il faille aller jusque là.
Bien sûr ce n'est pas moi qui ai inventé ce truc, je l'ai trouvé dans le livre de Dehornoy.
Lui-même pense qu'avec un peu d'efforts on pourrait s'en sortir avec ZFC à l'aide d'arguments de réflexion (ce qui rejoint ce que dit Christophe un peu plus haut), mais n'empêche que pour l'instant ça n'a pas encore été fait.
Donc, si je ne me trompe pas, dans l'état actuel de nos connaissances, Fermat est un énoncé d'arithmétique pure et dure, dont la démonstration se fait dans ZFC + "il existe une classe propre d'inaccessibles".
Merci de me réconforter (ou de me déréconforter) dans cette voie.
Martial -
De mon téléphone : j'ajoute le tous de max a un cardinal très petit car avant de remplacer les inac par des Va suffisamment réflexifs pour traduire FW encore faut-il avoir ladite FW en tête :-D (ce qui doit être à peine le cas de plus de 200 gugus dans le monde entier)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Je ne vois pas pourquoi tu dis que les classes ne sont pas des objets mathématiques.
@Cyrano, je me plaçais dans le cadre éthique où on veut une théorie qui contient tous les objets mathématiques, donc c'est tautologique. Par exemple, c'est la vocation revendiquée de ZFC (et c'est d'ailleurs la seule, et aucunement, comme on le lit parfois de vouloir je ne sais quelle esthétique et unification).
Bien sûr on peut ne pas être d'accord et considérer comme "tout à fait scientifique" de ne pas avoir de base commune et de lister toute une multitude de petites théories locales aux fins de servir à chaque spécialité.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Martial: on en a parlé il y a quelque temps dans un fil cousin. Il appert que la démo de Wiles utilise un cas particulier (dénombrable) d'une théorie qui, énoncée en toute généralité (dans SGA 6), repose sur les univers de Grothendieck. Il appert aussi que la plupart des spécialistes, tant en géométrie algébrique qu'en logique à rebours (je pense à Friedmann) sont à peu près convaincus que la preuve ne repose pas vraiment sur les univers de Grothendieck.
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Martial, ce que tu dis (ramener la preuve de Wiles à de l'arithmétique de Péano) c'est justement "Friedman's Grand Conjecture" ou quoi qu'il lui plaise d'appeller ça.
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De mon téléphone : de vague souvenir il y a un lemme intermédiaire crucial dont F est un cas particulier violemment particulier . L'énoncé de ce lemme aiderait au moins à continuer notre émission "18h-19h 100% foot" avec un os conséquent à ronger? (Le lemme en question était une vieille conjecture je crois).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Tu penses à la conjecture de modularité?
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Merci, tout cela me rassure.
En fait je m'intéresse à cette question parce que je trouverais ça marrant qu'un énoncé d'arithmétique aussi simple que Fermat ne soit démontrable que dans ZFC (au mieux).
Certes, on a déjà le truc des suites de Goodstein à se mettre sous la dent, mais, comme le disait Christophe il y a environ un lustre et demi (pour certains trucs j'ai bonne mémoire, pas pour tout hélas), il s'agit d'un des rares théorèmes dont l'énoncé est plus difficile à écrire que la démonstration.
Pour Fermat, c'est pas franchement la même.
Bon, je vous laisse regarder le foot tranquilles.
Martial -
@Shah, je ne sais pas en fait , je crois juste avoir entendu dire, ou lu que la preuve de FW est de la forme suivante:
lemme1: la conjecture de machin est vraie.
Preuve: 300 pages
lemme2: elle implique FW.
Preuve: 20 pages
Aucune idée sur ce qu'est la conjecture de machin, ou la "conjecture truc".Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@christophe: en fait Wiles n'a montré qu'un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil me semble-t-il, celui qui l'arrangeait pour Fermat
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Merci à toi max!Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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