Formalisation de l'identification

Pour $A[X]$ et $\mathbb{Z}$ c'est une tout autre affaire que pour $A$ au lieu de $(A,+,\times, 0,1)$.

En effet le deuxième est, comme tu le remarques, un abus de langage pur et simple; ça permet uniquement d'alléger les textes et les notations, et c'est bien pratique quand il n'y a pas de confusions (la plupart du temps). Quand des confusions sont possibles, on essaie de bien faire attention; sinon on fait confiance au lecteur.

Pour le premier ça peut être plus formel que juste l'abus (parler de $\mathbb{N}$ au lieu de $i(\mathbb{N})$). En effet, on définit $\mathbb{Z}$ comme on veut, tant que c'est isomorphe.
Ainsi ce qu'on peut faire c'est faire ta construction, appeler ça $\tilde{\mathbb{Z}}$, mettre toutes les opérations qu'on veut dessus ($\times, +, <, 0,1$, l'exponentiation, etc.); vérifier que le plongement $i:\mathbb{N}\to \tilde{\mathbb{Z}}$ en est bien un ($i(x+y) = i(x)+i(y)$ etc.); et finalement définir $\mathbb{Z}$ comme $\tilde{\mathbb{Z}}\setminus i(\mathbb{N}) \cup \mathbb{N}$ avec les opérations induites, faisant ainsi en sorte que $\mathbb{Z}$ et $\tilde{\mathbb{Z}}$ sont isomorphes.
Avec ça, on a effectivement $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, et "ça marche à chaque fois" (pareil pour $A\subset A[X]$, $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$, $A\subset Frac(A)$ pour un anneau intègre $A$, ...)

Sauf que... le détail n'intéresse pas grand monde :-D c'est important de savoir que ça peut être fait, mais en soi comme dans notre affaire tout est isomorphe "canoniquement" (sous-entendu: les gens qui en parlent savent de quel isomorphisme on parle - c'est d'ailleurs pour ça que quand on a un isomorphisme "non canonique" (entendre : les gens qui en parlent ne le considèrent pas comme canonique) on ne fait pas d'identification) ça ne change pas grand chose au schmilblick et donc on ne le détaille pas.

Une des idées importantes est aussi de s'autoriser à remplacer $A\subset B$ par $A\hookrightarrow B$: en général la notion intéressante est la deuxième plus que la première.

@Héhé : ta nouvelle réponse ne le.a gênera pas, simplement tu imagines que c'est gênant de demander "pourquoi on peut identifier ?" et de se voir répondre "bah on identifie" :-D
(PS: perso je préfère changer le $\mathbb{Z}$ que le $\mathbb{N}$ car je préfère garder $\mathbb{N} = \omega$ etc.; pareil pour $A$ et $A[X]$ je préfère changer $A[X]$ parce que "qui nous autorise à changer $A$ ?"; mais c'est une question de goût)

barbubabytoman écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1666262,1666314#msg-1666314
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

---

Pourquoi pas rajouter un trait quelque part par exemple au-dessus de la lettre ou du chiffre ou du symbole identifié comme on le fait parfois dans Z/nZ pour désigner les classes ? Enfin je dis trait mais n’importe quel signe rapide à écrire quoi.

@Héhéhé: mais avec "ma" méthode on peut faire en sorte que ce soit le cas ! (et pour les corps on a souvent intérêt à retenir le morphisme $K\to L$ précisément parce qu'en général il n'est pas unique; sauf évidemment lorsque $K$ est un corps premier; ou un corps rigide)

Certes ça marche, mais bon je reste persuadé que ça reste une attitude contre-productive de ne pas vouloir faire ces "abus" d'identification, au bout d'un moment si tous les mathématiciens du monde le font c'est qu'il y a bien une raison ! Je ne vois pas ce que ça apporte de faire cette distinction, surtout que dans ton cas tu en es parfaitement conscient.

Je te mets au défi de rédiger des preuves d'analyse un peu longue qui mélange des entiers, des rationnels, des réels et des nombres complexes sans faire aucune identification sans devenir dingue.

C'est moins homogène d'avoir des entiers relatifs de la forme $(a,b)$ avec $a,b\in\N$ et $a<b$ et des entiers relatifs de la forme $c$ avec $c\in\N$. Esthétiquement, ça me déplaît énormément.

Autre exemple : le corps des réels. C'est quoi « la bonne » définition ? Par les coupures de Dedekind ? par les décimaux ? par les suites de Cauchy ? Cette dernière est en vogue mais pourquoi serait-elle la seule ?

Autre exemple du même genre : le corps des complexes. Est-ce que c'est $\R^2$ muni de ces opérations si étranges ? $\R[X]/(X^2+1)$ ? l'ensemble des « expressions » $a+b\mathrm{i}$ ? l'algèbre libre sur le corps des réels présentée par un générateur $i$ et une relation $i^2+1$ (ça revient presque au même que le précédent mais pas vraiment parce que $X$ n'est pas défini... il serait incongru d'identifier l'algèbre libre sur un générateur $\mathrm{i}$ et l'ensemble des suites presque nulle muni du produit etc., non ?) ? l'ensemble des matrices réelles de la forme $\left(\begin{smallmatrix}a&-b\\b&a\end{smallmatrix}\right)$ avec $a,b\in\R$ ? $\R[X]/(X^2+X+1)$ ? une autre réalisation ? Laquelle est «la vraie » ? Tu vois bien que c'est un débat impossible à trancher et d'ailleurs sans intérêt ! Ce qui compte, ce n'est l'ensemble proprement dit mais les propriétés qu'il a (une fois muni des applications et relations qui vont bien).

C'est d'autant plus vrai pour des objets qui sont définis à isomorphisme unique près par une propriété universelle (l'algèbre des polynômes, les produits tensoriels ou les groupes libres par exemple). Il peut arriver que l'on ait plusieurs réalisations du même objet et là, il n'est vraiment pas possible de privilégier une réalisation parmi d'autres.

Tu devrais lire quelques rudiments de théorie des modèles : tu verrais que la réalisation (le modèle) n'est pas si crucial que la théorie.