Axiome de choix et règle de l'Hôpital

Quelques remarques.
0.1°) d'abord laisse tomber la lecture de cette page wiki, elle raconte n'importe quoi.
0.2°)Soient $f,g:[a,b]\to \R$ dérivable. On suppose que $g'(a)\neq 0$.
Alors
0.3°) Il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que pour tout $y\in V\setminus \{a\}$, $g(y)\neq g(a)$ (car $g(t)-g(a)=(t-a)[g'(a)+\varepsilon(t)]$ où $t\mapsto \varepsilon(t)$ est une fonction tendant vers $0$ en $a$, il suffit de prendre un $V$ tel que $|\varepsilon (s)|<\frac{1}{2}|g'(a)|$ pour tout $s\in V$.
0.4°) On peut donc supposer quitte à prendre un nouveau $b$ proche de $a$, que $g(x)\neq g(a)$ pour tous $x\in\, ]a,b]$.
On a $$\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\xrightarrow[~x\to a, x>a~]{} \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
C'est un simple quotient de limites (!!!), puisque par définition de la dérivée, $\displaystyle{\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \xrightarrow[~x\to a, x>a~]{} f'(a)}$ et $\displaystyle{\frac{g(x)-g(a)}{x-a} \xrightarrow[~x\to a, x>a~]{}g'(a)}$

1°) On peut montrer sans aucun axiome du choix, les résultats suivants:
1.1°) Tout segment est compact (au sens des recouvrements à la Borel Lebesgue: Si $(V_i)_{i \in I}$ est un recouvrement ouvert de $[a,b]$, considérer le sup $s$ de l'ensemble des $x\in [a,b]$ tels que $[a,s]$ est contenu dans un sous-recouvrement fini de cette famille, montrer que $s$ appartient audit ensemble et conclure en montrant que $s=b$ par l'absurde).

1.2°) L'image d'un compact par une fonction continue est continu (application directe des définitions).

1.3°) Tout compact $K$ de $\R$ est fermé et borné (borné parce que $(]{-}n,n[)_{n\in \N}$ est un recouvrement ouvert, fermé car par séparation, si $x$ n'est pas dans $K$, soit $T$ l'ensemble des couples $(U,V)$ où $U,V$ sont des ouverts de $\R$ disjoints tels que $x\in V$. Soit $p(U,V):=U$. Alors $\left( p(X)\right)_{X\in T}$ est un recouvrement ouvert de $K$ dont on peut extraire un sous-recouvrement fini, on peut en conclure que $x$ est dans l'intérieur du complémentaire de $K$ qui donc est ouvert).

Par suite un compact non vide de $\R$ possède toujours une borne sup et une borne inf qui sont en fait des maximums et minimums.
Il vient immédiatement:
1.4°) Toute fonction continue d'un segment de $\R$ dans $\R$ est bornée et atteint ses bornes, sans axiome du choix.

2°) Par suite Le théorème de Rolle est prouvable sans axiome du choix et la preuve est la même.
3°) le théorème des accroissements finis est prouvable sans axiome du choix, et la preuve est la même.

4°) On se place dans les conditions de 0.4°) On peut généraliser le théorème des accroissements finis de la manière suivante: pour tous $x\in\, ]a,b]$, il existe $c\in\, ]a,x[$ tel que $\displaystyle{\frac{f'(c)}{g'(c)}}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$. Il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à la fonction $\Phi_x: t \mapsto [f(t)-f(a)][g(x)-g(a)]-[g(t)-g(a)][f(x)-f(a)]$.

5°) Si dans 4°) on suppose en plus que $f'$ et $g'$ sont continues en $a$, on peut faire un passage à la limite via l'égalité précédente. On retrouve une forme plus classique de la règle de l'Hôpital.

Vu!

Un jour (quand?) je vais enfin écrire un message sans coquille.

Bonsoir à tous.
Dans certaines preuves (par exemple du ''théorème de la limite de la dérivée'') on applique l'égalité des accroissements finis entre un $a$ fixe et un $x$ variable. Il en résulte l'existence d'un ''$c_x$'' tel que etc... Peut-on parler de la ''fonction'' $x\mapsto c_x$ ? Si oui a-t-on besoin de l' (d'un) axiome du choix ? Merci.

Pour se rendre compte du gouffre béant qui existe entre constructif (en tout cas compris comme "algorithmiquement faisable") et "sans recours à l'axiome du choix", considérer l'application qui (étant donné une énumération des programmes informatiques $n\mapsto \Phi_n$), l'application qui à $n$ associe $1$ si $\Phi_n$ s'arrête et $0$ sinon. Cette fonction est définie dans ZF (on pourrait même l'étudier dans PA) et pourtant on ne peut pas du tout calculer toutes ses valeurs d'après le théorème de l'arrêt.

Une remarque, @dedekind93
La fonction $x \mapsto c_x$ est mal définie car il peut exister plusieurs $c_x$ qui conviennent.
Aussi, une fois un choix fait, cette fonction peut être très chaotique, par exemple, même pas continue.
Sauf erreur.

@dedekind93 : que penser de $x\mapsto x$ ?

Terence Tao décrivait (similairement à ce que Foys appelle "facilité rédactionnelle") l'axiome du choix comme un "time and labour saving device" en analyse. Il facilite la rédaction de beaucoup de propriétés mais on peut souvent s'en passer (en tout cas de sa forme générale. Pour faire 100% de l'analyse on a quand même parfois besoin de l'axiome du choix dépendant)

Merci Foys, gebrane, Dom, Cyrano et Maxtimax pour vos lumières!

Bonsoir,

par-rapport à la discussion wikipédia susmentionnée: non on ne double pas le "de" pour un nom à particule! Ah! étrange grammaire de la noblesse...

F.D.