Axiome de l'infini et entiers naturels
Bonjour,
C'est mon tout premier message sur le forum !
Alors en gros, j'essaie de comprendre certains détails au niveau de la construction des entiers naturels, de l'addition, de la multiplication, de la relation d'ordre usuelle, de la soustraction.
On part de l'axiome de l'infini (j'utilise l'énoncé de mon livre PEARSON L3 Algèbre) :
$\exists N, (\varnothing \in N \wedge \forall n, (n \in N \Longrightarrow n \cup \{n\} \in N))$
(Pour le détail, comme ça peut devenir important, $n \cup \{n\}$ désigne l'ensemble dont les éléments sont $n$ et les éléments de l'ensemble $n$)
Partant de cet axiome, la construction de $\mathbb{N}$, proposée par von Neumann et qui n'utilise que l'axiome de l'infini, est la suivante :
$0 = \varnothing \in \mathbb{N}$
$1 = 0 \cup \{0\} = \varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\}$
$2 = 1 \cup \{1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$
etc.
On pose au passage la définition suivante : $\forall n \in \mathbb{N}, n+1=n \cup \{n\}$. On peut voir ça comme une application successeur $s : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}, n \longmapsto s(n) = n \cup \{n\} := n+1$ et qui est bien définie d'après l'axiome de l'infini.
Pour l'addition, on peut la définir comme ça :
$\forall n \in \mathbb{N}, n+0=n$
$\forall (n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*, n+(m+1) = (n+m)+1$
(au passage, c'est une définition par récurrence, et on n'a pas encore démontré à ce stade que le raisonnement par récurrence est en effet valide, parce que pour ça on aura besoin justement des outils que je veux définir petit à petit, mais il me semble que cette définition par récurrence n'a pas besoin de ce théorème pour être bien posée)
L'inconvénient, c'est que je voudrais que l'addition soit une loi de composition interne sur $\mathbb{N}$, donc une application $a : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ qui soit bien définie et c'est là que ça devient compliqué parce que je ne sais pas trop comment la définir. Un truc que j'ai pu voir fonctionnait comme ça :
$a : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$, $(n,m) \longmapsto n \text{ si } m=0, (n+(m-1))+1 \text{ sinon}$
MAIS
Pour ça, il faut donner un sens à $(m-1)$. Or, ça nous paraît évident qu'un élément $(m-1)$ existe dans $\mathbb{N}$ dès que $m \neq 0$, et que c'est le "prédécesseur" de $m$. Mais pour moi, l'axiome de l'infini à lui seul ne le garantit pas de manière aussi évidente que ça... On peut écrire que $(n+1) \setminus {n} = n$ mais ça ne permet pas de définir une application prédécesseur $p : \mathbb{N}^* \longrightarrow \mathbb{N}, n \longmapsto p(n) := n-1$ qui soit bien définie par une formule.
Est-ce que quelqu'un ici est capable, soit de me donner une définition de l'addition sous forme d'application sans utiliser la notion de prédécesseur $(m-1)$, soit de me démontrer que tout entier naturel non nul admet un prédécesseur uniquement à partir des axiomes de ZFC qui sont par exemple sur Wikipédia : Axiomes ZFC
(uniquement les axiomes standard, même si je doute que l'hypothèse du continu ou celui sur les "grands cardinaux" puissent intervenir ici)
En tout cas, merci à celles et ceux qui ont eu la patience de lire jusqu'au bout :-D et j'espère qu'on pourra résoudre ça ensemble !
C'est mon tout premier message sur le forum !
Alors en gros, j'essaie de comprendre certains détails au niveau de la construction des entiers naturels, de l'addition, de la multiplication, de la relation d'ordre usuelle, de la soustraction.
On part de l'axiome de l'infini (j'utilise l'énoncé de mon livre PEARSON L3 Algèbre) :
$\exists N, (\varnothing \in N \wedge \forall n, (n \in N \Longrightarrow n \cup \{n\} \in N))$
(Pour le détail, comme ça peut devenir important, $n \cup \{n\}$ désigne l'ensemble dont les éléments sont $n$ et les éléments de l'ensemble $n$)
Partant de cet axiome, la construction de $\mathbb{N}$, proposée par von Neumann et qui n'utilise que l'axiome de l'infini, est la suivante :
$0 = \varnothing \in \mathbb{N}$
$1 = 0 \cup \{0\} = \varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\}$
$2 = 1 \cup \{1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$
etc.
On pose au passage la définition suivante : $\forall n \in \mathbb{N}, n+1=n \cup \{n\}$. On peut voir ça comme une application successeur $s : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}, n \longmapsto s(n) = n \cup \{n\} := n+1$ et qui est bien définie d'après l'axiome de l'infini.
Pour l'addition, on peut la définir comme ça :
$\forall n \in \mathbb{N}, n+0=n$
$\forall (n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*, n+(m+1) = (n+m)+1$
(au passage, c'est une définition par récurrence, et on n'a pas encore démontré à ce stade que le raisonnement par récurrence est en effet valide, parce que pour ça on aura besoin justement des outils que je veux définir petit à petit, mais il me semble que cette définition par récurrence n'a pas besoin de ce théorème pour être bien posée)
L'inconvénient, c'est que je voudrais que l'addition soit une loi de composition interne sur $\mathbb{N}$, donc une application $a : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ qui soit bien définie et c'est là que ça devient compliqué parce que je ne sais pas trop comment la définir. Un truc que j'ai pu voir fonctionnait comme ça :
$a : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$, $(n,m) \longmapsto n \text{ si } m=0, (n+(m-1))+1 \text{ sinon}$
MAIS
Pour ça, il faut donner un sens à $(m-1)$. Or, ça nous paraît évident qu'un élément $(m-1)$ existe dans $\mathbb{N}$ dès que $m \neq 0$, et que c'est le "prédécesseur" de $m$. Mais pour moi, l'axiome de l'infini à lui seul ne le garantit pas de manière aussi évidente que ça... On peut écrire que $(n+1) \setminus {n} = n$ mais ça ne permet pas de définir une application prédécesseur $p : \mathbb{N}^* \longrightarrow \mathbb{N}, n \longmapsto p(n) := n-1$ qui soit bien définie par une formule.
Est-ce que quelqu'un ici est capable, soit de me donner une définition de l'addition sous forme d'application sans utiliser la notion de prédécesseur $(m-1)$, soit de me démontrer que tout entier naturel non nul admet un prédécesseur uniquement à partir des axiomes de ZFC qui sont par exemple sur Wikipédia : Axiomes ZFC
(uniquement les axiomes standard, même si je doute que l'hypothèse du continu ou celui sur les "grands cardinaux" puissent intervenir ici)
En tout cas, merci à celles et ceux qui ont eu la patience de lire jusqu'au bout :-D et j'espère qu'on pourra résoudre ça ensemble !
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Réponses
L'idée est comme tu le remarques d'exprimer la récurrence. Essentiellement une récurrence c'est une définition qui construit la fonction "pas à pas". C'est donc ce qu'on peut essayer de mimer:
Définissons $add$ comme l'ensemble des triplets $(a,b,c)\in \mathbb{N}^3$ (si tu préfères des couples $((a,b),c)\in\mathbb{N}^2\times \mathbb{N}$) tels qu'il existe une application $f: b+1\to \mathbb{N}$ vérifiant $f(0) = a$ et $\forall x \in b+1, s(x) \in b+1\implies f(s(x)) = s(f(x))$. et $f(b)=c$
Uniquement en symboles : $add= \{(a,b,c)\in\mathbb{N}^3 \mid \exists f: b+1\to \mathbb{N}, (f(0) = a)\land (\forall x \in b, f(s(x))=s(f(x)) \land (f(b) = c)\}$.
Reste alors à montrer que $add$ est une fonction (i.e. $(a,b,c) \in add $ et $(a,b,c') \in add$ impliquent $c=c'$); et qu'elle est définie sur $\mathbb{N}^2$ (i.e. pour tous $a,b$, il existe $c$ tel que $(a,b,c) \in \mathbb{N}^2$)
Pour montrer ces deux points il te faudra utiliser la récurrence par contre, que tu devrais donc essayer de montrer.
Pour cela cependant ! il te faut revoir ta définition de $\mathbb{N}$: en effet le "etc." n'est pas bien défini.
Il te faut dire que pour un $N$ fixé tel que donné par l'axiome de l'infini, $\mathbb{N}_N$ est le plus petit sous-ensemble (au sens de l'inclusion) de $N$ satisfaisant la propriété indiquée. Ensuite tu peux t'amuser à démontrer que $\mathbb{N}_N$ ne dépend pas de $N$ et est en fait le plus petit ensemble satisfaisant ladite propriété. Et c'est en utilisant ça notamment qu'on prouve le principe de récurrence (quoique tu n'as pas besoin de l'indépendance en $N$ pour ça ...)
Une remarque: même démontrer sans récurrence qu'un prédécesseur existe ne te suffira pas à définir rigoureusement sans récurrence l'addition: dans ta définition de $+$, un $+$ apparaît ! c'est l'essence même de la récurrence.
Pour montrer que pour tout $p\in \mathbb N$ différent de $0=\emptyset$ il existe $n\in \mathbb N$ tel que $p=n+1$, on suppose que ce n'est pas le cas et alors on vérifie que $N=\mathbb N\setminus \{p\}$ vérifie aussi (*) : contradiction avec la définition de $\mathbb N$.
GaBuZoMeu : ben en fait j'ai surtout vu littéralement nulle part qu'il faut prendre l'intersection des ensembles définis par l'axiome de l'infini pour définir $\mathbb{N}$. Il faut croire que mes ressources principales sont des livres d'algèbre niveau Licence (parce que dans les livres niveau Master on ne revient pas sur ces bases...) qui ne vont pas au fond du fond des choses, et quelques articles trouvés sur internet qui font souvent référence à un aurte article introuvable ou à un cours qui n'a pas été mis en ligne... en tout cas en prenant ta définition de $\mathbb{N}$, je pense que je peux faire quelque chose !
GaBuZoMeu, comment définis-tu l'intersection des ensembles qui vérifient le prédicat ?
J'emprunte la notation suivante (Cl pour "clos par successeur") à Wikipédia :
$\forall A, \text{Cl}(A) \Longleftrightarrow (\varnothing \in A \wedge \forall x, (x \in A \Longrightarrow x \cup \{x\} \in A))$
Donc l'axiome de l'infini nous dit qu'il existe un ensemble qui vérifie ce prédicat. Jusque-là, d'accord.
Maintenant on veut prendre l'intersection de tous les ensembles qui la vérifient. L'ennui c'est comment on définit cette intersection.
J'ai envie, étant donné un ensemble $E$, de définir son intersection $\bigcap E$ comme étant la classe $\{x \quad | \quad \forall y \in E, x \in y\}$ mais je n'ai aucun outil pour assurer que cette classe est bel et bien un ensemble (l'axiome de compréhension ou substitution ne permet que de définir les ensembles de la forme \{ x \in \textbf{quelque chose} \quad | \quad \text{P}(x)\} où $P$ est un certain prédicat, on ma classe $\bigcap E$ n'est pas de cette forme-là (je crois, en tout cas) donc je ne sais pas prouver que c'est un ensemble. C'est un premier écueil.
Je vais définir $\mathfrak{N} = \{A \quad | \quad \text{Cl}(A)\}$. Là encore, je ne vois pas d'autre manière de définir cet objet mais aucun axiome de la théorie des classes (axiomes NBG) ne définit ce truc ! Donc je ne sais même pas si c'est une classe, encore moins si c'est un ensemble dont l'intersection serait définie !
:-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S :-S
Je veux juste une définition totalement propre et incontestable de $\mathbb{N}$, moi... :-(
PS : le $\mathfrak{N}$ c'est un N majuscule gothique obtenu avec \mathfrak
(remarque : tu n'en as pas besoin ici en une telle généralité, mais pour définir $\bigcap E$ pour un ensemble $E$, rien de plus simple : il suffit de commencer par définir $\bigcup E = \{x \mid \exists y\in E, x\in y\}$ qui a priori n'a aucune raison d'être un ensemble, mais dont l'existence t'est donnée par l'axiome de la somme. Une fois que tu as ça, c'est simple : $\bigcap E = \{x\in \bigcup E \mid \forall y\in E, x\in y\}$)
je vais voir ce que j'arrive à faire, merci
(Un ami disait "Si un résultat ou une preuve n'est pas trivial(e), c'est qu'on n'y a pas assez réfléchi")
Ils appellent $\text{Ent}(x)$ le prédicat que tu as utilisé
$\forall x, \text{Ent}(x) \Longleftrightarrow (\forall A, \text{Cl}(A) \Longrightarrow x \in A)$
Au passage, l'axiome de l'infini se réécrit très simplement : $\exists N, \text{Cl}(N)$
Donc toi tu m'as dit de considérer $E = \{x \in N \quad | \quad \text{Ent}(x)\}$, qui est donc un ensemble bien défini (car $N$ est fourni par l'axiome de l'infini et l'ensemble est défini par un exiome de compréhension).
Soit $x \in E$. Alors $x \in N$ et $\text{Ent}(x)$ est vrai. Donc $x$ appartient à tout ensemble $A$ qui vérifie $\text{Cl}(A)$, et par conséquent (par définition de $\text{Cl}(A)$), $x \cup \{x\}$ appartient encore à tout ensemble $A$ qui vérifie $\text{Cl}(A)$, ce qui veut dire que $\text{Ent}(x \cup \{x\})$ est vrai je crois ? Donc si $x \in E$, on a $x \cup \{x\} \in E$. On vérifie de plus immédiatement que $\text{Ent}(\varnothing)$ est vrai, donc $\varnothing \in E$ et $\text{Cl}(E)$ est vrai.
J'ai du mal à mettre tous les morceaux ensemble parce que je ne sais pas trop à quoi est censé servir l'ensemble $E$... je patauge un peu, je crois.
Quelques petits exercices :
1) Vérifier que si $Cl(M)$ est vérifié alors $E=\{x\in M\mid Ent(x)\}$.
2) Montrer que $E$ vérifie le principe de récurrence : si $P$ est une formule à une variable libre (éventuellement à paramètres) et $P(\emptyset)$ et $\forall x((P(x)\land Ent(x) )\implies P(s(x)))$ (où $s(x) = x\cup\{x\}$) alors $\forall x\in E, P(x)$
3) Montrer ce que j'ai raconté avant (sur $add$ notamment). En fait, mieux : montrer que si $F$ est un ensemble, $x\in F$ et $f: F\to F$ est une fonction alors il existe une unique $u: E\to F$ telle qe $u(\emptyset) = x$ et $\forall n\in E, f(u(n)) = u(s(n))$; pour ça inspire toi de ce que j'ai raconté avant.
Si tu fais tout ça ce sera un bon début et tu auras, je pense, compris l'essence de ce qui se passe avec $E$
En tout cas, une fois qu'on définira $\mathbb{N}$ comme étant $E$, je ne vois pas encore comment on va arriver à $\mathbb{N} = \{ \varnothing , \{\varnothing\} , \{ \varnothing , \{\varnothing\} \} , ... \}$ mais chaque chose en son temps.
EDIT : en fait, si, je m'en fais une petite idée. Mais je vais déjà faire ton petit exercice.
Chaque fois que j'ai pour telle ou telle autre raison donné une définition au public de $+$ et de $\times$, j'ai toujours décidé de ne surtout pas, utiliser la définition (**) passant par $x+s(y):=s(x+y)$. [small](Ca ne m'empêche pas pour autant d'avoir conseillé récemment à GA dans je ne sais plus quel fil de trouver seul une validation des ce que les gens appellent "définition par récurrence", car je pense que c'est important de le trouver seul)[/small]
Pourquoi je prends bien soin de ne pas utiliser ** . Et bien la réponse est simple: je veux queles gens prennent conscience qu'ils savent déjà les choses. Ce n'est donc pas en filant une def artificielle provenant d'un exercice d'art du formel qu'on va les aider à en prendre conscience.
La définition de $+$ que tout le monde utilise et a au fond de lui dès l'âge de 5ans, je dis bien CINQ ans, est celle qui suit. La seule chose qu'on fait c'est de l'exprimer formellement.
Définition de $(n+m=r)$:
$(n+m=r)$ abrège $<<$ il existe des ensembles $A,B,C$ avec $A\cap B=\emptyset$ et $A\cup B=C$ tels que $card(A)=n$ et $card(B)=m$ et $card(C)=r>>$.
Evidemment, on devrait plutôt écrire $R((n,m),r)$, puis prouver $R$ est fonction, mais ce n'est pas le sujet. Je faisais cette remarque car il me semble que tu seras très heureux de l'avoir croisé un jour (mais j'ai la flemme de retrouver l'extrait où on voit que ça te tracasse, ce n'est pas aujourd'hui que je l'ai vue, mais dans une fenètre popup il y a quelques jours).
J'ai avancé un peu... J'ai fait ton premier exercice et quelques autres vérifications qui me manquient.
A ce stade, je suis convaincu qu'il existe bien un plus petit ensemble qui vérifie $\text{Cl}$ et un seul, celui qu'on a appelé $E$. Là où je ne suis pas sûr, c'est comment me convaincre que cet ensemble $E$ est bel et bien exactement l'ensemble qui contient $\varnothing$, ses successeurs et personne d'autre.
Je sais que définir $\mathbb{N}$ comme $\{ \varnothing, \{\varnothing\} , \{\varnothing, \{\varnothing\} \} ... \}$ est très moche car "..." ne constitue pas une définition mathématiquement propre, donc comment fait-on pour montrer que $E$ est bien exactement cet ensemble-là ?
EDIT : En gros, ce que je voudrais, c'est définir $\mathbb{N}$ comme un ensemble qui vérifie qu'un de ses éléments est soit le successeur d'un autre de ses éléments, soit $\varnothing$. Donc pour définir $\mathbb{N}$ comme étant l'ensemble $E$ dont on parle depuis avant, j'ai besoin de comprendre comment on montre que les éléments de $E$ sont soit des successeurs d'autres éléments de $E$, soit $\varnothing$. Je vais voir si j'y arrive tout seul, mais je ne suis pas contre l'une ou l'autre piste :-)
Après selon ta définition de $\N$, tu dois encore prouver que si $A,B \in \N$ alors $A \coprod B \in\N.$
Je ne vais pas t'embêter, mais si si***. Mais n'hésite pas à ne pas répondre si tu te concentres sur autre chose.
*** Après je ne sais pas ce que tu entends par le mot "formule", faut bien le dire. Par ailleurs, la définition** que je donne ne nécessite aucun axiome
$R(a,b,c):=(\exists ... blabla)$ n'est qu'un simple abréviation. Si tu veux ensuite prouver que $\forall a,b\exists ! c: R(a,b,c)$ il y a besoin d'axiomes. Moins bien moins forts que la récurrence.
Alors je suis un peu gêné car il n'y a pas de récurrence dans ZF ni même dans Z, la "récurrence est un lemme pas un axiome. Etre "un ordinal fini "contient par avance tout ce dont tu rêves.
Donc la réponse est trivialement oui (ne pas être un cardinal fini étant stable par passage au prédécesseur c'est même probablement assez.court à écrire)
Alors peut être sue ton partenaire et toi avez fixé un cadre dans le fil qui detrivialiserait cette question? Mais je n'ai pas lu le fil. Je le ferai mais pas de mon téléphone.
De toute fa con ma motivation essentielle n'était pas "technique" mais juste de rappeler que la TDE n'est pas "un codage" (toute proportion gardée) et que les définitions de somme et produits sont celles des enfants.
Je pense qu'il a été bien compris que quand je définis $+$ et $\times$ (comme je l'avais par exemple dans le fil "forcing pour matheux ordinaires") dans un contexte où je raconte comment construire les maths à "partir de rien" (en exagérant), je n'utilise JAMAIS la définition $a+s(b):=s(a+b)$ ni la définition $a\times s(b):=(a\times b)+a$, parce que je ne les trouve pas naturalistes, c'était la seule information que je souhaitais insérer dans le fil.
J'utilise $card(a+b):=card(a)+_{card} card(b)$ et $card(a\times b):=card(a)\times_{card} card(b)$, qui sont ce que tous les êtres humains de la planète pensent (ce qui a de mon point de vue comme utilité de montrer un exemple que les maths sont un langage et rien d'autre).
Supposons que $P(\varnothing)$ est vrai et que pour tout ensemble $x$, si $P(x)$ et $\text{Ent}(x)$ sont vrais alors $P(x \cup \{x\})$ est vrai. On veut montrer que pour tout $x$ dans $E$, sous ces hypothèses $P(x)$ est vrai. Si $x \in E$, alors on a déjà $\text{Ent}(x)$. Donc on a : $\forall x \in E, P(x) \Longrightarrow P(x \cup \{x\})$ (et on n'oublie pas qu'on a supposé que $P(\varnothing)$ est vrai). Après, je fais quoi ?
christophe c : je veux faire les choses "dans l'ordre" alors d'abord je me concentre sur la définition de $\mathbb{N}$ jusqu'à ce que tout soit clair pour moi, pour les autres choses dont je parlais dans mon premier post (ordre, successeur/prédécesseur, addition, soustraction, multiplication) je verrai ça après.
Tu vois, quand je me plaignais de mon niveau il y a quelques messages en arrière : la différence entre "Montrer que XYZ" et "que peut-on dire sur machin ?" c'est que je dois non seulement trouver ce que je veux montrer, mais aussi comment le montrer, et je suis nul pour trouver le "quoi" quand on ne me le donne pas. Mais bon, essayons. Si j'ai vraiment besoin d'un coup de main, je te demanderai :-)
EDIT : c'est bon. On montre en 2 lignes que $F = \{x \in E \quad | \quad P(x)\}$ vérifie $\text{Cl}(F)$, donc comme $E$ est le plus petit ensemble qui vérifie $\text{Cl}$, on a $E \subset F$. Comme $F \subset E$ par définition de $F$, on a $E=F$, autrement dit $P(x)$ est vrai pour tout $x$ dans $E$ et $E$ vérifie bien le principe de récurrence. Youpi.
Bon, maintenant que j'ai ça, faut que je voie en quoi ça m'aide à voir que $E = \{ \varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\} ... \}$
RE-EDIT : en fait tu m'avais déjà donné la réponse.
Tout d'abord, j'ai l'impression que tu te sers assez libéralement du mot "fonction" alors que les fonctions et les applications ne sont pas la même chose, je pense qu'il faut que $f$ soit une application sur $F$ car sinon $f(u(n))$ peut ne pas être définie. Bref, cette subtilité mise à part, l'unicité c'est fait en 2 lignes mais comme je ne sais pas trop à quoi cet exercice est censé mener, je ne sais pas trop par où commencer pour l'existence.
Donc il n'y a pas de consensus: ici par fonction $f:A\to B$ j'entends "sous-ensemble $f$ de $A\times B$ tel que pour tout $x\in A$ il existe un unique $y$ tel que $(x,y)\in f$. Pour $x\in A$ on note $f(x)$ cet unique $y$".
Cet exercice est censé mener à une généralisation de ce que j'avais proposé en tout début du post comme définition de $add$; retourne y jeter un oeil.
Mouais enfin ceux-là devraient retourner à l'école. Il est vrai qu'il n'y a pas de convention pour départager entre :
1/ $(A,B,f)$
et
2/ $f$ tout court.
Mais le reste est assez bien conventionné tout de même.
Moi je préfère 2. Les catégoriciens préfèrent "évidemment" (1), puisque leur flèche sont les triplets.
Mais $\R$ n'a rien à voir dans cette histoire :-D
C'était bien la peine qu'il aille troller le serpent de mer avec des déclarations plus énoormes les unes que les autres sur le fait que fonction veut dire "à valeur dans IR" et tout du même acabit
Ne me demande pas qui c'étai, je ne me rappelle absolument pas, mais il ne vient plus beaucoup je crois.
J'ai aussi vu des gens "a priori" au courant de ce que veut dire fonction (ou du moins qui aurait pu le savoir) maintenir trollesquement que c'est une notion première voir même, même si cette énormité est plus rare un procédé de calcul :-D . Idem: non pas des ignorants, mais des "aigris" qui veulent "fouler du pied" ce qui les dérange ou juste régler des comptes parce qu'ils estiment avoir appris trop tard que c'est un banal objet mathématique avec une définition parfaitement formelle, etc. La psy humaine est une galaxie à part entière
Du coup je ne sais pas si je serais surpris. A la rigueur les ingorants "stables" me choquent moins que ceux que j'évoque ci-dessous (et i y en a beaucoup).
En gros, si $f : X \longrightarrow Y$ est une fonction, $f$ n'a pas besoin d'être définie en tout point de $X$ (on parle bien de l'ensemble de définition d'une fonction) alors que pour une application, si.
Par exemple, la fonction inverse est bien une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, mais ce n'est pas une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On peut fabriquer plein d'applications inverses à condition de les définir sur un sous-ensemble de $\mathbb{R}^*$.
Avec cette définition en tête, on voit bien pourquoi, par exemple, les lois de composition internes en algèbre sont toujours définies comme étant des applications et non pas des fonctions : il faut que ce soit défini partout, sur l'ensemble entier. On étudie certaines propriétés de certaines fonctions en analyse parce que justement les calculs de limites ça permet de voir ce qu'il se passe près de là où la fonction n'est pas définie.
Moi aussi j'ai eu des profs de géométrie différentielle et de plein d'autres choses, et tout le monde était d'accord qu'il y a une différence entre application et fonction, et qu'elle sert à quelque chose.
Et justement, si tu parles d'un sous-ensemble de $A \times B$ tel que pour tout $x \in A$, il existe un unique $y$ blabla bla, c'est bel et bien d'une application dans le sens que j'ai défini que tu parles :-)
EDIT : si tu trouves un bouquin assez moderne dans lequel les lois de composition en algèbre sont appelées des fonctions et pas des applications, je demande à voir !
RE-EDIT : je cite mon PEARSON L3 Algèbre : Une fonction de $X$ dans $Y$ est une relation $\mathscr{R}$ entre $X$ et $Y$ telle que, pour tout $x \in Y$, il existe au plus un $y \in Y$ tel que $x \mathscr{R} y$ (donc : un $x$ n'a pas forcément d'image par la relation si c'est une relation fonctionnelle, mais s'il en a une, elle est unique). Une application de $X$ dans $Y$ est une relation $\mathscr{R}$ entre $X$ et $Y$ telle que, pour tout $x \in Y$, il existe un et un seul $y \in Y$ tel que $x \mathscr{R} y$ (donc tout $x$ a une image par une relation applicative, et une seule). Voilà !
Quant à l'utilité de cette distinction, je ne la vois pas (de même que je ne vois pas l'utilité de la déf de mon prof de géométrie différentielle qui, quand je lui ai dit "ah mais c'est à valeurs réelles ?" m'a répondu "Bah oui, c'est une fonction")
" f est une application de A dans B "
n'a pas le même sens que
" f est une fonction de A dans B "
Mais la phrase tout court " f est une application " n'a pas de sens (sauf pour les categoriciens et les pedago)
Par contre "f est une fonction" a un sens absolu: ça veut juste dire que f ne contient que des couples et ne contient pas deux couples différents ayant même abscisse.
Tout le reste (surjection , bijection) est comme "application". On n'est pas une surjection ça ne veut rien dire. On surjecte un ensemble dans un autre.
Seule "f est injective" a un sens absolu.
Pour différencier artificiellement certaines spécialités ont décide de mettre ensemble de départ et d'arrivée mais ça n'est utile que dans les très rares cas où tu veux typer ou éviter l'usage de la grammaire relationnelle. Ce sont des domaines respectables mais il faut être pro et pour le devenir c'est mieux d'avoir les idées claires avant. L'humain est naturellement platonicien, il ne sert à rien d'être non platonicien avant de maitriser l'approche platonicienne. C'est du snobisme et JE NE CONNAIS PERSONNE qui s'en soit sorti en faisant cette impasse platonicienne.
Si tu veux mon avis sur la question : je pense que la distinction est surtout d'ordre pratique : quand on veut définir $g \circ f$, par exemple, si $f$ va de $A$ dans $B$ et que $g$ va de $B$ dans $C$, si $g$ n'est pas définie en tout point de $B$ (donc si c'est une fonction strictement, et pas une application), on est obligé de rallonger la définition de $g \circ f$ et ça devient lourd. Et comme je disais, pour les lois de compositions internes (ça serait idiot que $x+y$ soit défini pour tout $x$ sauf 743, non ?). C'est pour des petites choses comme ça que la notion d'application est pratique, pour être sûr et certain que quand on écrit $f(x)$, l'objet existe bel et bien. Pour moi c'est un détail important, si pour toi c'est inutile, je ne peux pas faire plus pour te persuader. Je ne sais pas quel niveau d'études tu as atteint sans te rendre compte/utiliser/comprendre/avoir besoin de cette différence entre les deux notions, mais si ça n'a jamais été un problème pour toi, tant mieux. Je préfère garder la différence en tête, comme j'ai dit, pour moi c'est important. Les détails sont importants. Je ne juge pas. Je viens ici pour apprendre des choses, si je peux apprendre quelque chose à quelqu'un d'autre, tant mieux, sinon, c'est pas grave. Je ne suis pas venu pour qu'on s'engueule sur des trucs comme ça.
Maxtimax : personnellement, tu es la première personne à me dire qu'il n'y a pas consensus... Tous les profs que j'ai eus et tous les livres que j'ai trouvés définissent les applications et les fonctions en théorie des ensembles comme je l'ai fait. On a tous les deux survécu sans être d'accord sur ce point, donc je dirais que ce n'est pas très grave :-). Tant qu'on finit par parler du même objet...
Et tu as bien raison : "l'ensemble de définition" d'une fonction (comme on les a découverts au lycée, voire à la fin du collège pour les moins jeunes) est bien le plus grand sous-ensemble de l'ensemble de départ de la fonction sur lequel la fonction est bien une application.
On pourrait dire qu'une fonction est une application de $D \subset A$ dans $B$, oui, mais ce n'est pas très joli (repense à ma définition en terme de relations). Vu que c'est pas ça qui va te convaincre, ce que je vais chercher c'est pourquoi on s'embête avec deux notions (application, fonction) et avec la notion d'ensemble de définition (plus grand sous-ensemble de l'ensemble de départ restreint auquel la fonction est une application bien définie) au lieu de bazarder tout ce qui n'est pas une application. Si je trouve quelque chose que je pense convaincant, je te le dirai.
EDIT : Déjà sur Wikipédia c'est écrit qu'il y a des gens qui distinguent les deux et d'autres qui s'en fichent, mais c'est pas dit pourquoi ceux qui distinguent les deux le font.
Avec tout ça, moi j'ai un peu délaissé mes additions sur $\mathbb{N}$, je verrai si j'arrive à finir le dernier exercice de Maxtimax. Là tout de suite j'ai la flemme