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Axiome de l'infini et entiers naturels

Envoyé par Homo Topi 
Axiome de l'infini et entiers naturels
02 juillet 2018, 16:10
Bonjour,

C'est mon tout premier message sur le forum !

Alors en gros, j'essaie de comprendre certains détails au niveau de la construction des entiers naturels, de l'addition, de la multiplication, de la relation d'ordre usuelle, de la soustraction.

On part de l'axiome de l'infini (j'utilise l'énoncé de mon livre PEARSON L3 Algèbre) :
$\exists N, (\varnothing \in N \wedge \forall n, (n \in N \Longrightarrow n \cup \{n\} \in N))$

(Pour le détail, comme ça peut devenir important, $n \cup \{n\}$ désigne l'ensemble dont les éléments sont $n$ et les éléments de l'ensemble $n$)

Partant de cet axiome, la construction de $\mathbb{N}$, proposée par von Neumann et qui n'utilise que l'axiome de l'infini, est la suivante :
$0 = \varnothing \in \mathbb{N}$
$1 = 0 \cup \{0\} = \varnothing \cup \{\varnothing\} = \{\varnothing\}$
$2 = 1 \cup \{1\} = \{\varnothing, \{\varnothing\}\}$
etc.

On pose au passage la définition suivante : $\forall n \in \mathbb{N}, n+1=n \cup \{n\}$. On peut voir ça comme une application successeur $s : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}, n \longmapsto s(n) = n \cup \{n\} := n+1$ et qui est bien définie d'après l'axiome de l'infini.

Pour l'addition, on peut la définir comme ça :
$\forall n \in \mathbb{N}, n+0=n$
$\forall (n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*, n+(m+1) = (n+m)+1$
(au passage, c'est une définition par récurrence, et on n'a pas encore démontré à ce stade que le raisonnement par récurrence est en effet valide, parce que pour ça on aura besoin justement des outils que je veux définir petit à petit, mais il me semble que cette définition par récurrence n'a pas besoin de ce théorème pour être bien posée)

L'inconvénient, c'est que je voudrais que l'addition soit une loi de composition interne sur $\mathbb{N}$, donc une application $a : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ qui soit bien définie et c'est là que ça devient compliqué parce que je ne sais pas trop comment la définir. Un truc que j'ai pu voir fonctionnait comme ça :

$a : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$, $(n,m) \longmapsto n \text{ si } m=0, (n+(m-1))+1 \text{ sinon}$

MAIS
Pour ça, il faut donner un sens à $(m-1)$. Or, ça nous paraît évident qu'un élément $(m-1)$ existe dans $\mathbb{N}$ dès que $m \neq 0$, et que c'est le "prédécesseur" de $m$. Mais pour moi, l'axiome de l'infini à lui seul ne le garantit pas de manière aussi évidente que ça... On peut écrire que $(n+1) \setminus {n} = n$ mais ça ne permet pas de définir une application prédécesseur $p : \mathbb{N}^* \longrightarrow \mathbb{N}, n \longmapsto p(n) := n-1$ qui soit bien définie par une formule.

Est-ce que quelqu'un ici est capable, soit de me donner une définition de l'addition sous forme d'application sans utiliser la notion de prédécesseur $(m-1)$, soit de me démontrer que tout entier naturel non nul admet un prédécesseur uniquement à partir des axiomes de ZFC qui sont par exemple sur Wikipédia : Axiomes ZFC
(uniquement les axiomes standard, même si je doute que l'hypothèse du continu ou celui sur les "grands cardinaux" puissent intervenir ici)

En tout cas, merci à celles et ceux qui ont eu la patience de lire jusqu'au bout grinning smiley et j'espère qu'on pourra résoudre ça ensemble !

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Modifié 2 fois. Dernière modification le 02/07/2018 16:22 par Homo Topi.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
02 juillet 2018, 16:25
Bien sûr; c'est même un truc très classique.

L'idée est comme tu le remarques d'exprimer la récurrence. Essentiellement une récurrence c'est une définition qui construit la fonction "pas à pas". C'est donc ce qu'on peut essayer de mimer:

Définissons $add$ comme l'ensemble des triplets $(a,b,c)\in \mathbb{N}^3$ (si tu préfères des couples $((a,b),c)\in\mathbb{N}^2\times \mathbb{N}$) tels qu'il existe une application $f: b+1\to \mathbb{N}$ vérifiant $f(0) = a$ et $\forall x \in b+1, s(x) \in b+1\implies f(s(x)) = s(f(x))$. et $f(b)=c$

Uniquement en symboles : $add= \{(a,b,c)\in\mathbb{N}^3 \mid \exists f: b+1\to \mathbb{N}, (f(0) = a)\land (\forall x \in b, f(s(x))=s(f(x)) \land (f(b) = c)\}$.

Reste alors à montrer que $add$ est une fonction (i.e. $(a,b,c) \in add $ et $(a,b,c') \in add$ impliquent $c=c'$); et qu'elle est définie sur $\mathbb{N}^2$ (i.e. pour tous $a,b$, il existe $c$ tel que $(a,b,c) \in \mathbb{N}^2$)

Pour montrer ces deux points il te faudra utiliser la récurrence par contre, que tu devrais donc essayer de montrer.

Pour cela cependant ! il te faut revoir ta définition de $\mathbb{N}$: en effet le "etc." n'est pas bien défini.
Il te faut dire que pour un $N$ fixé tel que donné par l'axiome de l'infini, $\mathbb{N}_N$ est le plus petit sous-ensemble (au sens de l'inclusion) de $N$ satisfaisant la propriété indiquée. Ensuite tu peux t'amuser à démontrer que $\mathbb{N}_N$ ne dépend pas de $N$ et est en fait le plus petit ensemble satisfaisant ladite propriété. Et c'est en utilisant ça notamment qu'on prouve le principe de récurrence (quoique tu n'as pas besoin de l'indépendance en $N$ pour ça ...)

Une remarque: même démontrer sans récurrence qu'un prédécesseur existe ne te suffira pas à définir rigoureusement sans récurrence l'addition: dans ta définition de $+$, un $+$ apparaît ! c'est l'essence même de la récurrence.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Modifié 1 fois. Dernière modification le 02/07/2018 16:57 par Maxtimax.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
02 juillet 2018, 16:26
Tu n'as pas défini $\mathbb N$ ! Tu peux le définir comme l'intersection des $N$ tels que

(*) $\emptyset \in N$ et $\forall n\ (n\in N\Rightarrow n+1\in N)$.

Ça marche bien à cause de l'axiome de l'infini que tu as énoncé.
Pour montrer que pour tout $p\in \mathbb N$ différent de $0=\emptyset$ il existe $n\in \mathbb N$ tel que $p=n+1$, on suppose que ce n'est pas le cas et alors on vérifie que $N=\mathbb N\setminus \{p\}$ vérifie aussi (*) : contradiction avec la définition de $\mathbb N$.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
02 juillet 2018, 16:38
Maxtimax : je préfèrerais que tu édites ton messages pour le rendre plus lisible avant d'essayer de le lire grinning smiley mais j'ai l'impression qu'il est intéressant

GaBuZoMeu : ben en fait j'ai surtout vu littéralement nulle part qu'il faut prendre l'intersection des ensembles définis par l'axiome de l'infini pour définir $\mathbb{N}$. Il faut croire que mes ressources principales sont des livres d'algèbre niveau Licence (parce que dans les livres niveau Master on ne revient pas sur ces bases...) qui ne vont pas au fond du fond des choses, et quelques articles trouvés sur internet qui font souvent référence à un aurte article introuvable ou à un cours qui n'a pas été mis en ligne... en tout cas en prenant ta définition de $\mathbb{N}$, je pense que je peux faire quelque chose !

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
02 juillet 2018, 16:58
@Homo Topi: oui désolé, un oubli de dolar de ma part eye rolling smiley normalement c'est lisible maintenant !

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
02 juillet 2018, 17:09
Oui merci smiling smiley vos deux messages se recoupent pas mal, ça devrait bien m'aider à faire ce que je veux

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
03 juillet 2018, 23:20
Bon alors au final je m'en sors pas beaucoup mieux... C'est très difficile d'être précis quand on veut construire le tout début des mathématiques proprement.

GaBuZoMeu, comment définis-tu l'intersection des ensembles qui vérifient le prédicat ?

J'emprunte la notation suivante (Cl pour "clos par successeur") à Wikipédia :
$\forall A, \text{Cl}(A) \Longleftrightarrow (\varnothing \in A \wedge \forall x, (x \in A \Longrightarrow x \cup \{x\} \in A))$

Donc l'axiome de l'infini nous dit qu'il existe un ensemble qui vérifie ce prédicat. Jusque-là, d'accord.

Maintenant on veut prendre l'intersection de tous les ensembles qui la vérifient. L'ennui c'est comment on définit cette intersection.

J'ai envie, étant donné un ensemble $E$, de définir son intersection $\bigcap E$ comme étant la classe $\{x \quad | \quad \forall y \in E, x \in y\}$ mais je n'ai aucun outil pour assurer que cette classe est bel et bien un ensemble (l'axiome de compréhension ou substitution ne permet que de définir les ensembles de la forme \{ x \in \textbf{quelque chose} \quad | \quad \text{P}(x)\} où $P$ est un certain prédicat, on ma classe $\bigcap E$ n'est pas de cette forme-là (je crois, en tout cas) donc je ne sais pas prouver que c'est un ensemble. C'est un premier écueil.

Je vais définir $\mathfrak{N} = \{A \quad | \quad \text{Cl}(A)\}$. Là encore, je ne vois pas d'autre manière de définir cet objet mais aucun axiome de la théorie des classes (axiomes NBG) ne définit ce truc ! Donc je ne sais même pas si c'est une classe, encore moins si c'est un ensemble dont l'intersection serait définie !
confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley confused smiley

Je veux juste une définition totalement propre et incontestable de $\mathbb{N}$, moi... sad smiley

PS : le $\mathfrak{N}$ c'est un N majuscule gothique obtenu avec \mathfrak

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Modifié 2 fois. Dernière modification le 03/07/2018 23:30 par Homo Topi.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
03 juillet 2018, 23:31
C'est pour ça qu'il te faut l'existence d'un $N$ tel que $Cl(N)$ ! Prends un tel $N$. Que peux-tu dire de $\{x\in N \mid \forall A, Cl(A) \implies x\in A\}$ ?

(remarque : tu n'en as pas besoin ici en une telle généralité, mais pour définir $\bigcap E$ pour un ensemble $E$, rien de plus simple : il suffit de commencer par définir $\bigcup E = \{x \mid \exists y\in E, x\in y\}$ qui a priori n'a aucune raison d'être un ensemble, mais dont l'existence t'est donnée par l'axiome de la somme. Une fois que tu as ça, c'est simple : $\bigcap E = \{x\in \bigcup E \mid \forall y\in E, x\in y\}$)

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
03 juillet 2018, 23:48
Des fois je me demande vraiment comment ils ont fait, à la fac, pour me filer un Master... ça a l'air hyper simple et j'ai besoin qu'on me tienne par la main à chaque étape sad smiley

je vais voir ce que j'arrive à faire, merci

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Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
03 juillet 2018, 23:51
C'est simple une fois qu'on te l'a donné, ne t'inquiète pas pour ton master
(Un ami disait "Si un résultat ou une preuve n'est pas trivial(e), c'est qu'on n'y a pas assez réfléchi")

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
04 juillet 2018, 00:01
C'est pas que je m'inquiète pour mon Master... je pensais savoir faire un peu de maths, moi, et pour des trucs comme ça ou il suffit d'utiliser des astuces simples, les astuces j'arrive pas à les trouver, et ça m'énerve

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
04 juillet 2018, 15:12
Maxtimax : j'ai vu le même truc que tu as dit sur l'article Wikipédia mais je ne comprends pas ce qu'il faut en faire...

Ils appellent $\text{Ent}(x)$ le prédicat que tu as utilisé
$\forall x, \text{Ent}(x) \Longleftrightarrow (\forall A, \text{Cl}(A) \Longrightarrow x \in A)$

Au passage, l'axiome de l'infini se réécrit très simplement : $\exists N, \text{Cl}(N)$

Donc toi tu m'as dit de considérer $E = \{x \in N \quad | \quad \text{Ent}(x)\}$, qui est donc un ensemble bien défini (car $N$ est fourni par l'axiome de l'infini et l'ensemble est défini par un exiome de compréhension).

Soit $x \in E$. Alors $x \in N$ et $\text{Ent}(x)$ est vrai. Donc $x$ appartient à tout ensemble $A$ qui vérifie $\text{Cl}(A)$, et par conséquent (par définition de $\text{Cl}(A)$), $x \cup \{x\}$ appartient encore à tout ensemble $A$ qui vérifie $\text{Cl}(A)$, ce qui veut dire que $\text{Ent}(x \cup \{x\})$ est vrai je crois ? Donc si $x \in E$, on a $x \cup \{x\} \in E$. On vérifie de plus immédiatement que $\text{Ent}(\varnothing)$ est vrai, donc $\varnothing \in E$ et $\text{Cl}(E)$ est vrai.

J'ai du mal à mettre tous les morceaux ensemble parce que je ne sais pas trop à quoi est censé servir l'ensemble $E$... je patauge un peu, je crois.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Modifié 6 fois. Dernière modification le 04/07/2018 16:32 par Homo Topi.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
04 juillet 2018, 17:10
Tu as tout à fait raison : on a $Cl(E)$ : ainsi $E$ est le plus petit ensemble à vérifier $Cl$. L'idée est que $E$ est précisément $\mathbb{N}$.
Quelques petits exercices :
1) Vérifier que si $Cl(M)$ est vérifié alors $E=\{x\in M\mid Ent(x)\}$.
2) Montrer que $E$ vérifie le principe de récurrence : si $P$ est une formule à une variable libre (éventuellement à paramètres) et $P(\emptyset)$ et $\forall x((P(x)\land Ent(x) )\implies P(s(x)))$ (où $s(x) = x\cup\{x\}$) alors $\forall x\in E, P(x)$
3) Montrer ce que j'ai raconté avant (sur $add$ notamment). En fait, mieux : montrer que si $F$ est un ensemble, $x\in F$ et $f: F\to F$ est une fonction alors il existe une unique $u: E\to F$ telle qe $u(\emptyset) = x$ et $\forall n\in E, f(u(n)) = u(s(n))$; pour ça inspire toi de ce que j'ai raconté avant.

Si tu fais tout ça ce sera un bon début et tu auras, je pense, compris l'essence de ce qui se passe avec $E$

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
04 juillet 2018, 17:53
Attends... de par sa définition, $E$ est un sous-ensemble de $N$ qui est contenu dans chaque ensemble $A$ qui vérifie $\text{Cl}(A)$, c'est bien ça ? Et c'est le fait que, construit tel quel, il vérifie lui aussi $\text{Cl}(E)$, qui te permet de dire que ce que j'ai écrit prouve que c'est le plus petit ensemble qui vérifie $\text{Cl}$ ? J'ai envie de dire que pour l'instant, c'est un plus petit ensemble, après je vais voir pour me convaincre que c'est le seul (cf ton premier exercice)

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Modifié 3 fois. Dernière modification le 04/07/2018 18:19 par Homo Topi.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
04 juillet 2018, 18:22
Oui, sauf que l'inclusion est un ordre, donc si lui est plus petit qu'un autre et qu'un autre est plus petit que lui bah... ils sont égaux grinning smiley (c'est l'axiome d'extensionnalité). Mais fais la premier exercice plus proprement si tu n'es pas convaincu, tu verras.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
04 juillet 2018, 18:26
Oui, je ne m'y suis pas encore attaqué pour le moment, mais je vais le faire.

En tout cas, une fois qu'on définira $\mathbb{N}$ comme étant $E$, je ne vois pas encore comment on va arriver à $\mathbb{N} = \{ \varnothing , \{\varnothing\} , \{ \varnothing , \{\varnothing\} \} , ... \}$ mais chaque chose en son temps.

EDIT : en fait, si, je m'en fais une petite idée. Mais je vais déjà faire ton petit exercice.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/07/2018 18:30 par Homo Topi.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
04 juillet 2018, 23:03
Si tu veux j'interviendrai après-demain. Pas avant, je préfère lire tout le fil avant. Par contre, je entre-aperçu un passage qui m'invite à une remarque (mais ne te déconcentre pas).

Chaque fois que j'ai pour telle ou telle autre raison donné une définition au public de $+$ et de $\times$, j'ai toujours décidé de ne surtout pas, utiliser la définition (**) passant par $x+s(y):=s(x+y)$. (Ca ne m'empêche pas pour autant d'avoir conseillé récemment à GA dans je ne sais plus quel fil de trouver seul une validation des ce que les gens appellent "définition par récurrence", car je pense que c'est important de le trouver seul)

Pourquoi je prends bien soin de ne pas utiliser ** . Et bien la réponse est simple: je veux queles gens prennent conscience qu'ils savent déjà les choses. Ce n'est donc pas en filant une def artificielle provenant d'un exercice d'art du formel qu'on va les aider à en prendre conscience.

La définition de $+$ que tout le monde utilise et a au fond de lui dès l'âge de 5ans, je dis bien CINQ ans, est celle qui suit. La seule chose qu'on fait c'est de l'exprimer formellement.

Définition de $(n+m=r)$:
$(n+m=r)$ abrège $<<$ il existe des ensembles $A,B,C$ avec $A\cap B=\emptyset$ et $A\cup B=C$ tels que $card(A)=n$ et $card(B)=m$ et $card(C)=r>>$.


Evidemment, on devrait plutôt écrire $R((n,m),r)$, puis prouver $R$ est fonction, mais ce n'est pas le sujet. Je faisais cette remarque car il me semble que tu seras très heureux de l'avoir croisé un jour (mais j'ai la flemme de retrouver l'extrait où on voit que ça te tracasse, ce n'est pas aujourd'hui que je l'ai vue, mais dans une fenètre popup il y a quelques jours).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/07/2018 23:04 par christophe c.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
05 juillet 2018, 01:49
Ta définition est très intéressante et je la retiendrai, mais j'ai quand même une préférence pour une définition purement formelle. C'est ma façon de concevoir les mathématiques, au fond. Mais je pense que c'est bien d'avoir les deux en tête.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
06 juillet 2018, 00:59
Maxtimax :

J'ai avancé un peu... J'ai fait ton premier exercice et quelques autres vérifications qui me manquient.

A ce stade, je suis convaincu qu'il existe bien un plus petit ensemble qui vérifie $\text{Cl}$ et un seul, celui qu'on a appelé $E$. Là où je ne suis pas sûr, c'est comment me convaincre que cet ensemble $E$ est bel et bien exactement l'ensemble qui contient $\varnothing$, ses successeurs et personne d'autre.

Je sais que définir $\mathbb{N}$ comme $\{ \varnothing, \{\varnothing\} , \{\varnothing, \{\varnothing\} \} ... \}$ est très moche car "..." ne constitue pas une définition mathématiquement propre, donc comment fait-on pour montrer que $E$ est bien exactement cet ensemble-là ?

EDIT : En gros, ce que je voudrais, c'est définir $\mathbb{N}$ comme un ensemble qui vérifie qu'un de ses éléments est soit le successeur d'un autre de ses éléments, soit $\varnothing$. Donc pour définir $\mathbb{N}$ comme étant l'ensemble $E$ dont on parle depuis avant, j'ai besoin de comprendre comment on montre que les éléments de $E$ sont soit des successeurs d'autres éléments de $E$, soit $\varnothing$. Je vais voir si j'y arrive tout seul, mais je ne suis pas contre l'une ou l'autre piste smiling smiley

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 06/07/2018 03:06 par Homo Topi.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
06 juillet 2018, 01:03
La mienne edt purement formelle. Attention: ce n'est pas ça que tu voulais dire je pense.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
06 juillet 2018, 01:28
Je voulais dire que tu n'as pas défini l'addition comme une application donnée par une formule

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
06 juillet 2018, 10:31
avatar
Tu peux très bien définir formellement l'addition de deux ensembles $A$ et $B$ comme étant l'union disjointe de $A$ et $B$. (Ou plutôt le cardinal de cet ensemble.)

Après selon ta définition de $\N$, tu dois encore prouver que si $A,B \in \N$ alors $A \coprod B \in\N.$



Modifié 1 fois. Dernière modification le 06/07/2018 10:33 par Cyrano.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
06 juillet 2018, 11:18
Eh bien c'est là qu'intervient le principe de récurrence ! Regarde mon exercice 2) et applique le à la formule $P(x)$: "$x=\emptyset \lor \exists y\in E, x=s(y)$"

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
06 juillet 2018, 18:17
Oui Maxtimax, j'ai compris que c'était ça qu'il faut faire. J'étais fatigué mais ça m'est venu après smiling smiley

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
06 juillet 2018, 19:39
Citation

Je voulais dire que tu n'as pas défini l'addition comme une application donnée par une formule

Je ne vais pas t'embêter, mais si si***. Mais n'hésite pas à ne pas répondre si tu te concentres sur autre chose.

*** Après je ne sais pas ce que tu entends par le mot "formule", faut bien le dire. Par ailleurs, la définition** que je donne ne nécessite aucun axiome

$R(a,b,c):=(\exists ... blabla)$ n'est qu'un simple abréviation. Si tu veux ensuite prouver que $\forall a,b\exists ! c: R(a,b,c)$ il y a besoin d'axiomes. Moins bien moins forts que la récurrence.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
06 juillet 2018, 23:09
@christophe : tu sais montrer que les ordinaux finis sont des cardinaux sans récurrence ?

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 10:05
@max de mon téléphone : je ne comprends pas ta question car je ne comprends pas l'expression "cardinal sans récurrence"

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 10:26
Le "sans récurrence" fait référence à "prouver", pas à "cardinaux"

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 10:38
Mon apnée du sommeil rend mon réveil très étalé dans le temps matinal grinning smiley J'aurais voulu faire cette blague exprès que je n'y aurais pas pensé : j'en rigole encore.

Alors je suis un peu gêné car il n'y a pas de récurrence dans ZF ni même dans Z, la "récurrence est un lemme pas un axiome. Etre "un ordinal fini "contient par avance tout ce dont tu rêves.

Donc la réponse est trivialement oui (ne pas être un cardinal fini étant stable par passage au prédécesseur c'est même probablement assez.court à écrire)

Alors peut être sue ton partenaire et toi avez fixé un cadre dans le fil qui detrivialiserait cette question? Mais je n'ai pas lu le fil. Je le ferai mais pas de mon téléphone.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 07/07/2018 10:41 par christophe c.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 11:00
Non, mais dans ce cas je ne comprends pas ton objection confused smiley puisqu'ici non plus la récurrence n'est pas pris comme axiome mais est démontrée (tu dis "Si tu veux ensuite prouver que blabla il y a besoin d'axiomes. Moins bien moins forts que la récurrence.")

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 11:39
Toujours de mon téléphone 3 cafés plus tard: je ne me rappelle pas avoir "objecté" dans ce fil mais je pense comprendre ton tracas: en fait lorsque j'ai répondu à X (modif à faire) sur les différences entre définition j'ai juste eu en tête que <<a+s(b) := s(a+b) >> N'EST PAS grammaticalement une définition. Alors que la mienne l'est (ce qu'on n'a pas c'est que c'est une fonction). Ça ne va pas plus loin. N'ayant pas lu tout le fil peut être était-ce inapproprié de poster ça, je verrai en le lisant.

De toute fa con ma motivation essentielle n'était pas "technique" mais juste de rappeler que la TDE n'est pas "un codage" (toute proportion gardée) et que les définitions de somme et produits sont celles des enfants.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 11:42
Ah oui je comprends "bien moins forts que la récurrence" est FAUX j'aurais du écrire "bien moi s artificiels" car ils sont .... "bien plus forts grinning smiley Pardon pour la.coquille.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 13:36
Bon, j'ai lu le fil, je pense que tout est clair. N'hésite pas si tu vois d'autres zones d'ombre. Vous travaillez sur un poil autre chose, donc je ne vais pas vous déranger.

Je pense qu'il a été bien compris que quand je définis $+$ et $\times$ (comme je l'avais par exemple dans le fil "forcing pour matheux ordinaires") dans un contexte où je raconte comment construire les maths à "partir de rien" (en exagérant), je n'utilise JAMAIS la définition $a+s(b):=s(a+b)$ ni la définition $a\times s(b):=(a\times b)+a$, parce que je ne les trouve pas naturalistes, c'était la seule information que je souhaitais insérer dans le fil.

J'utilise $card(a+b):=card(a)+_{card} card(b)$ et $card(a\times b):=card(a)\times_{card} card(b)$, qui sont ce que tous les êtres humains de la planète pensent (ce qui a de mon point de vue comme utilité de montrer un exemple que les maths sont un langage et rien d'autre).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 18:10
Maxtimax : En fait j'ai vraiment du mal avec ton exercice sur le principe de récurrence. Je ne sais pas trop par où commencer en fait...

Supposons que $P(\varnothing)$ est vrai et que pour tout ensemble $x$, si $P(x)$ et $\text{Ent}(x)$ sont vrais alors $P(x \cup \{x\})$ est vrai. On veut montrer que pour tout $x$ dans $E$, sous ces hypothèses $P(x)$ est vrai. Si $x \in E$, alors on a déjà $\text{Ent}(x)$. Donc on a : $\forall x \in E, P(x) \Longrightarrow P(x \cup \{x\})$ (et on n'oublie pas qu'on a supposé que $P(\varnothing)$ est vrai). Après, je fais quoi ?

christophe c : je veux faire les choses "dans l'ordre" alors d'abord je me concentre sur la définition de $\mathbb{N}$ jusqu'à ce que tout soit clair pour moi, pour les autres choses dont je parlais dans mon premier post (ordre, successeur/prédécesseur, addition, soustraction, multiplication) je verrai ça après.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 18:19
Que peux-tu dire de $\{x\in E\mid P(x)\}$ ? (c'est sur ce genre d'idée que toutes ces constructions reposent )

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
07 juillet 2018, 18:26
Je sais bien que c'est cet ensemble-là qu'il faut regarder... Je ne suis juste pas sûr de ce que je cherche à démontrer.

Tu vois, quand je me plaignais de mon niveau il y a quelques messages en arrière : la différence entre "Montrer que XYZ" et "que peut-on dire sur machin ?" c'est que je dois non seulement trouver ce que je veux montrer, mais aussi comment le montrer, et je suis nul pour trouver le "quoi" quand on ne me le donne pas. Mais bon, essayons. Si j'ai vraiment besoin d'un coup de main, je te demanderai smiling smiley

EDIT : c'est bon. On montre en 2 lignes que $F = \{x \in E \quad | \quad P(x)\}$ vérifie $\text{Cl}(F)$, donc comme $E$ est le plus petit ensemble qui vérifie $\text{Cl}$, on a $E \subset F$. Comme $F \subset E$ par définition de $F$, on a $E=F$, autrement dit $P(x)$ est vrai pour tout $x$ dans $E$ et $E$ vérifie bien le principe de récurrence. Youpi.

Bon, maintenant que j'ai ça, faut que je voie en quoi ça m'aide à voir que $E = \{ \varnothing, \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\} ... \}$

RE-EDIT : en fait tu m'avais déjà donné la réponse.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !



Modifié 3 fois. Dernière modification le 07/07/2018 19:28 par Homo Topi.
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
10 juillet 2018, 18:51
Maxtimax : je bloque sur ton dernier exercice.

Tout d'abord, j'ai l'impression que tu te sers assez libéralement du mot "fonction" alors que les fonctions et les applications ne sont pas la même chose, je pense qu'il faut que $f$ soit une application sur $F$ car sinon $f(u(n))$ peut ne pas être définie. Bref, cette subtilité mise à part, l'unicité c'est fait en 2 lignes mais comme je ne sais pas trop à quoi cet exercice est censé mener, je ne sais pas trop par où commencer pour l'existence.

Je vous jure que je saurai faire de l'analyse réelle un jour !
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
10 juillet 2018, 20:26
grinning smiley que ce soit clair une fois pour toutes (mon prof de géométrie différentielle m'a assez énervé à ce sujet): il n'y a pas de consensus établi sur la différence entre fonction et application. De mon côté, je m'en sers comme synonymes sauf quand je précise autrement; certains disent qu'une fonction c'est "une application à valeurs dans $\R$" ; certains disent que c'est une application définie sur un sous-ensemble de l'ensemble de départ; d'aucuns auront encore sûrement une autre interprétation.

Donc il n'y a pas de consensus: ici par fonction $f:A\to B$ j'entends "sous-ensemble $f$ de $A\times B$ tel que pour tout $x\in A$ il existe un unique $y$ tel que $(x,y)\in f$. Pour $x\in A$ on note $f(x)$ cet unique $y$".

Cet exercice est censé mener à une généralisation de ce que j'avais proposé en tout début du post comme définition de $add$; retourne y jeter un oeil.

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
10 juillet 2018, 22:30
Citation
max
certains disent qu'une fonction c'est "une application à valeurs dans IR

Mouais enfin ceux-là devraient retourner à l'école. Il est vrai qu'il n'y a pas de convention pour départager entre :

1/ $(A,B,f)$

et

2/ $f$ tout court.

Mais le reste est assez bien conventionné tout de même.

Moi je préfère 2. Les catégoriciens préfèrent "évidemment" (1), puisque leur flèche sont les triplets.

Mais $\R$ n'a rien à voir dans cette histoire grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Axiome de l'infini et entiers naturels
10 juillet 2018, 23:02
@christophe : tu serais surpris du nombre de personnes qui sont persuadées que leur convention est la bonne, et qu'elle est universelle et que je suis un idiot parce que je ne la connais pas grinning smiley

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