Déterminant en dimension infinie

D'après la définition d'un déterminant page 305 livre de Algèbre Lelong -Ferrand &Arnaudiès

non mais en lisant sa définition on peut très bien avoir une suite convergente faisant le même type de calcul avec son endomorphisme et un déterminant mis en facteur qu'elle donne dans sa définition

et du coup il y a peut être d'autre définitions d'un déterminant

J'aimerais que tu me donnes une définition précise de ce que tu appelles la propriété universelle du déterminant. Peut-être que ça m'aidera à réfléchir un peu...

@moduloP: si, maintenant que tu le dis il y a peut-être des problèmes avec les petits corps/petites dimensions.. Mhm c'est un groupe de cardinal $6$, non abélien, donc $\mathfrak{S}_3$ dont l'abélianisé est au moins $\mathbb{Z/2Z}$, donc pas $\mathbb{F}_2^\times \simeq 1$ -> il y a effectivement un problème.
Mais $GL_n(K)^{ab} \simeq K^\times$ pour la plupart des $K,n$ disons :-D

@Max : Je pense que c'est le seul problème (m'enfin on est un peu loin de l'infini :-D). L'abélianisé c'est le groupe à deux éléments ... bon du coup il y a un morphisme $\text{GL}_2(\mathbb{F}_2) \to (\mathbb{F}_2, +)$, ça correspond à la signature, je n'ai pas trouvé de " jolie expression interne " (hum, c'est vague) ???

C'est en effet le seul cas qui pose problème. Pour $(n,K)\ne(2,\mathbf{F}_2)$, $ \ D(GL(E))=SL(E)$ (page $101$ du Perrin).
(Je répondais à moduloP et Maxtimax).

$\newcommand{\SZ}{\mathfrak S _{\Z}}$On peut montrer que $\SZ$ (l'ensemble des bijections de $\Z$ dans lui-même) est égal à son groupe dérivé avec des concepts basiques (j'ai préféré $\Z$ au lieu de $\N$ pour des raisons pratiques) de la manière suivante.
NB: la preuve est pénible à écrire en raison des nombreuses notations à employer mais les idées sont élémentaires: il s'agit de décomposer des éléments en cycle qu'on étudie séparément.

définitions: le support d'un élément $\sigma\in \SZ$ (on le notera $supp(\sigma)$)est l'ensemble des $x\in \Z$ tels que $\sigma(x) \neq x$. On a évidemment $\sigma \left( supp (\sigma)\right) = supp(\sigma)$ pour tout $\sigma \in \SZ$ (par bijectivité). Un élément $\tau\in \SZ$ est appelé cycle fini (resp infini) s'il existe $p:\{1,...,n\}\to \Z$ (resp $p:\Z \to \Z $) injective telle que $supp(\sigma)$ est l'image de $p$ et $\sigma (p_i) = p_{i+1}$ pour tout $i\leq n-1$ et $\sigma(p_n)=p_1$ (resp $\sigma(p_k)=p_{k+1}$ pour tout $k \in \Z$).

Si $G$ est un groupe, on appelle commutateur de $G$ tout élément de la forme $aba^{-1}b{-1}$.
Si $A \subseteq \Z$, soit $E_1(A) := \{xyx^{-1}y^{-1} \mid x,y \in A\}$.
Soit $E_n(A):=\left \{ \prod_{k=1}^n x_k \mid x \in E_1(A)^n \right \}$. Il est clair que $\bigcup_{n \in \N} E_n(\Z)$ est le groupe dérivé de $\SZ$.



Si $(\sigma_i)_{i \in I}$ est une famille d'éléments de $\SZ$ dont les supports sont deux à deux disjoints, on notera dans ce post, $\displaystyle{\prod_{i \in I} \sigma_i}$ l'applicaton qui à $x \in \Z$ fait correspondre $\sigma_i(x)$ si $x \in supp(\sigma_i)$ ($x$ sinon). Il est clair que pour tout $\varphi \in \SZ$, il existe une famille de cycles (finis ou non) $(\varphi_j)_{j \in J}$ à supports disjoints, telle que $\varphi = \prod_{j \in J} \varphi_j$.(cela se voit en décomposant $\Z$ en orbites disjointes sous l'action du sous-groupe de $\SZ$ engendré par $\varphi$).


Le résultat qu'on veut montrer découle de ce que:
En fait il existe $N \in \N$ tel que $E_N(\Z) = \SZ$.. On va démontrer cette phrase en rouge ci-dessous.

0°) Soit $A\subseteq \Z$. Pour tous $p,q\in \N$ et tous $(\mu,\nu) \in E_p(A) \times E_q(A)$, $\mu\nu \in E_{p+q}(A)$.
Pour tous $m,n \in \N$ tels que $m\leq n$, $E_m(A) \subseteq E_n(A)$.
Pour tous $B,C \subseteq \Z$ tels que $B\subseteq C$ et tout $k \in \N$, $E_k(B) \subseteq E_k(C)$
Les première et troisième affirmations sont évidentes et la deuxième aussi (compte tenu du fait que le neutre est un commutateur dans n'importe quel groupe).

1°) Soient $n \in \N$, $(A_k)_{k \in K}$ parties disjointes de $\Z$ et $\tau_k$ un élément de $E_n(A_k)$ pour tout $k$. Alors $\prod_{k \in K} \tau_k \in E_n\left ( \bigcup_{k \in K} A_k\right)$.
C'est évident. Compte tenu de la remarque en bleu en préambule, il suffit donc de montrer qu'il existe un entier $N$ tel que pour tout cycle $\sigma$ (fini ou non), $\sigma \in E_N(supp \sigma)$.

Lorsque $p:\{1,...,m\}\to \Z$ est injective, on notera (comme pour les groupes de permutations finis) $(p_1,...,p_m)$ l'unique cycle envoyant $p_m$ sur $p_0$ et $p_i$ sur $p_{i+1}$ quand $i \leq m-1$.

2°) $(0,1) \in E_1(\Z)$.
Soient $f:n \mapsto n+2$ et $g:= \prod_{n \in \N} (-2n-2, -2n-1)$ (cf notations plus haut).
Alors $gfg^{-1}f^{-1}=(0,1)$. Par conjugaison, toute transpostition est dans $E_1(\Z)$.

3°) $(1,4)(2,3)\in E_1(\{1,2,3,4\})$.
$(1,2)(3,4)= (1,2,3)(2,3,4)(1,2,3)^{-1}(2,3,4)^{-1}$. Par conjugaison, il est clair que pour tous $a,b,c,d\in \Z$ distincts, $(a,b)(c,d) \in E_1(\{a,b,c,d\})$.

4°) Soit $(\tau_i)_{i \in I}$ une famille de transpositions à supports deux à deux disjoints. Si $I$ est infini, ou si $I$ est fini et pair, $\prod_{i \in I} \tau_i \in E_1\left ( \bigcup_{i \in I} supp(\tau_i)\right )$.
Découle immédiatement de 1°) et de 3°).

5°) Soit $n$ un entier impair; soit $p_1,...,p_n$ des entiers relatifs distincts. Alors $(p_1,...,p_n) \in E_3(\{p_1,...,p_n\})$.
Il suffit (conjugaison) de le faire dans le cas particulier où $p_i=i$ pour tout $i$. On assimile $\{1,...,n\}$ à $\Z/n\Z$.
On écrit $n=2m$.
-Si $m$ est pair: soient $u(k)$:= $n-k$ et $v(k):= n+1-k \mod n)$. Alors $vu = k \mapsto k+1\mod n$, i.e. $vu$ n'est autre que le cycle $(1,...,n)$. Or si $m$ est pair, $u$ et $v$ sont des produits d'un nombre pair de transpositions à suport disjoints et donc sont dans $E_1(\{1,...,n\})$ comme on l'a vu au 3°). Donc $(1,...,n) \in E_2(\{1,...,n\}) \subseteq E_3(\{1,...,n\})$.
Si $m$ est impair, $m = m'+1$ avec $m'$ pair et $(1,...,n)= (1,2,...2m',2m'+1)(2m'+1,2m'+2,2m'+3)$. Or pour tous $a,b,c$ distincts, le 3-cycle $(a,b,c)$ est dans $E_1(\{a,b,c\})$ (car il est égal à $(a,c)(c,b)(a,c)(c,b)$). Par la question précédente, $(1,2,....,2m'+1) \in E_2(\{1,...,2m'+1\})$, le résultat découle du cas précédent et des remarques de 0°).

6°) Tout cycle infini à support dans $A\subseteq \Z$, appartient à $E_2(A)$.
Soit $p:\Z \to \Z$ injective telle que $\sigma(p_k)= p_{k+1}$ pour tout $k$ et $supp(\sigma)=\{p_n\mid n \in \Z\}$.
Si $x\notin \{p_n\mid n \in \Z\}$, on pose $f(x)=g(x)=x$. Si $m \in \Z$ on pose $f(p_m)= p_{1-m}$ et $g(m)= p_{-m}$. Alors $fg=\sigma$ et $f$ et $g$ sont des produits d'une infinité de transpositions à supports dans $\{p_n\mid n \in \Z\}$. Donc d'après 4°), $f,g\in E_1\left( \{p_n\mid n \in \Z\}\right)$ d'où le résultat.

7°) Pour tout $\sigma \in \SZ$, il existe une famille de cycles à supports disjoints infinis ou de longueur impaire $(\psi_j)_{j \in J}$, une famille de transpositions $(\tau_k)_{k \in K}$ ,et une transposition $(a,b)$ tels que $\sigma = \prod_{j \in J} \psi_j \circ \prod_{k \in K} \tau_k$, ou $\sigma = \prod_{j \in J} \psi_j \circ \prod_{k \in K} \tau_k \circ (a,b)$.
Evident en prenant une décomposition en cycles de $\sigma$
et en séparant les cycles pairs des autres (rappelons que pour tout cycle $(a_1,...,a_n)$ est égal à $(a_1,...,a_{n-1})(a_{n-1},a_n)$).

Toutes ces considérations entraînent que $\SZ \subseteq E_5(\Z)$ d'où le résultat souhaité.