En dimension finie, la réciproque est toujours continue. Soit $f : U \to \R^n$ continue injective avec $U \subseteq R^n$ ouvert. Soit $x \in U$ et soit $B$ une boule fermée centrée en $x$ comprise dans $U$. Alors $f$ réalise un homéomorphisme de $B$ vers $f(B)$. Il reste à montrer que $f(x)$ est dans l'intérieur de $f(B)$, ce qui est vrai par le théorème de Jordan en dimension $n$. L'image de $S^{n-1}$ par $f$ sépare l'espace en deux, et $f(B)$ est égal à la partie intérieure, qui est ouverte… Je ne sais pas comment formuler ça proprement car je ne connais que l'énoncé du théorème de Jordan mais c'est vrai.
Merci pour vos réponses, même si je n'ai pas bien compris la démonstration de Champ-Pot-Lion en dimension finie (quid du théorème de Jordan ?), il me semble que des contre-exemples existent en dimension finie ...
En dimension infinie, je t'en ai donné un évident dans le sens qu'on le trouve sans inspiration ni tâtonnement. Par contre, j'ai fait du SMS en fil délocalisé, donc si tu veux vraiment une description complète, redemande-le moi, car on a la tradition de laisser chercher sur le forum.
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Certes Poirot mais le résultat que tu invoques n'est pas si facile à démontrer!
Comme j'ai raconté des dizaines de fois comment faire, et contrairement à ce que dit BobbyJoe, ce n'est pas non plus ce qu'on peut appeler "pas si facile" ** je n'ajoute rien, mais n'hésite pas si tu as oublié (à retrouver seul ça peut prendre du temps, donc soit on l'a pour le plaisir, soit on va chercher une doc).
** il ne faut pas oublier qu'une gars qui vient sur le forum parler de boréliens n'a pas a priori le même niveau que celui qui vient demander si toutes les matrices sur IQ sont diagonalisable :-D (BobbyJoe a l'air de l'oublier :-D )
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Je ne sais pas si Georges va me lire , de mon téléphone , il n'existe pas (sans axiome du choix) forcément de bijection entre IR et l'ensemble de ses boreliens. Par contre il y a une surjection de IR dessus.
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Pour les gens que ça intéresse, tous ces trucs sont très classiques, ont été décoverts il y a longtemps et appartiennent à une spécialité de recherche appelée "théorie descriptive des ensembles". Elle se travaille dans ZF+CD (axiome du choix dépendant)
Je détaille un peu, mais ne suis pas très dispo (et surtout fatigué).
1/ Si tout ensemble est Lebesgue mesurable alors il n'existe pas de bijection b entre une partie de IR et l'ensemble des parties dénombrables de IR.
Preuve: le filtre des parties de $\R/\Q$ induit par celui des parties conégligeables est un ultrafiltre stable par intersections dénombrables. Si $b$ existait, l'image par $b^{-1}$ de cet ultrafiltre serait un ultrafiltre principal
2/ Il existe une surjection de $\R$ sur $B$.
Preuve: le petit programme récursif $\phi$ qui suit envoie toute suite $u$ sur un borélien (quand il termine), et c'est surjectif.
2.1/ si $u$ commence par $0$ retourner l'intervalle codé par $n\mapsto u(n+1)$
2.2/ si $u$ commence par $1$ retourner le complémentaire de l'image par $\phi$ de $n\mapsto u(n+1)$
2.3/ sinon, retourner la réunion des $\phi(v_n), n\in \N$ où $v_n:p\mapsto u(2^p3^n)$
3/ Il existe une injection de $\R$ dans $B$. Preuve: $x\mapsto \{x\}$
4/ Je réponds à ta question, Georges, oui, CD est utilisé pour prouver que $2.\phi$ marche. Précisément, on a besoin qu'un arbre bien fondé ait une hauteur qui soit un ordinal défini comme la borne supérieure des hauteurs partielles des sous-arbres stricts.
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Je suis un béotien complet dans ces affaires-là donc j'essaie de boucher les trous.
$\mathbb{R}$ a la propriété remarquable suivante : il existe un ensemble $B$ dénombrable de parties de $\mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\{x\}$ est l'intersection des éléments de $B$ qui contiennent $x$ comme élément. Je vais donc dire que $\mathbb{R}$ est dénombrablement séparé (j'ai déjà vu une terminologie similaire, mais je ne sais pas si cela cause une collision de vocabulaire).
En particulier, tout ultrafiltre sur $\mathbb{R}$ qui est stable par intersections dénombrables est principal. En effet, soit $U$ un tel ultrafiltre, et soit un tel $B$. Soit alors $B'$ l'ensemble des parties de $\mathbb{R}$ qui :
sont des éléments de $U$ et (sont éléments de $B$ ou sont le complémentaire d'un élément de $B$). $B'$ est dénombrable, et l'intersection $a$ de ses éléments est encore dans $U$ par hypothèse. Montrons que $a$ est un singleton (c'est ce qu'on veut !) : soient $x,y \in a$, supposés différents. Alors comme $\{x\}$ est intersection des éléments de $B$ qui le contiennent, il existe $b \in B$ tel que $x \in b$ et $y \not \in b$. Si $b \in U$, alors $y \not \in a$ et c'est bon. Sinon, c'est que $b \not \in U$, et alors $^c b \in U$, et donc $^c b \in B'$, et donc $x \not \in a$, et c'est bon.
J'imagine que nous sommes d'accord que "dénombrablement séparé" est une propriété stable par bijection ?
Christophe, dans ce que tu as écrit, affirmes-tu implicitement que l'ultrafiltre stable par intersections dénombrables que tu construis sur $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ n'est pas principal ?
En particulier, d'après tout ceci, est-ce que ça n'implique pas que si toutes les parties de $\mathbb{R}$ sont mesurables, alors $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ ne sont pas en bijection ?
Je ne serai pas dispo tout de suite, mais je me fais un devoir de témoigner à propos d'un truc que très probablement personne ne peut remarquer, parce que je trouve que c'est assez terrible:
il y a un débat politique sur la réforme et Ramon Mercader a mis un lien vers des programmes (en projet je crois).
Pour quelqu'un d'expérimenté à la fois dans ce métier et dans l'art de le la flemme, ll y a des choses qui ne peuvent pas abuser:
1/ Le rédacteur "n'avait pas le temps" ou "pas le courage" de fignoler la version qu'on voit. Il a donc laissé d'anciens passages ubuesques mélangés avec les nouveaux. Mais il a fait pire.....
2/ Si on ne dispose pas de latex, l'accès à $\leq; \geq$ est pénible et long. Je trouve vraiment cavalier que sur un truc qui va être vu par des milliers de professionnels, même s'il n'est pas un "programme officiel publié sur un BO" de se permettre (juste par flemme d'accéder auxdits symboles typographiques), de remplacer un le théorème de convexité/concavité de racine carrée par celui de stricte C/C. Tout ça pour pouvoir utiliser le clavier avec $<$; $>$.
Je connais ça, mais je ne le ferais pas pour un texte en débat public (je demande de prouver que Machin + 3 > -2 au lieu de Machin$\geq 0$ dans des DST parce que ça apporte doublement des avantages).
Là, franchement, sur un projet de programme, je ne vois pas quelle excuse évoquer. Soyons moins paresseux (ou sélectionnons quand nous le sommes), ce sera déjà un petit progrès.
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Comme il a été remarqué par paf ainsi que d'une autre manière par Blueberry, une mode actuelle (enfin actuelle hum hum) chez les "bobos" consiste non pas à répondre par des arguments mais par des "je me pince le nez" ou encore "ça picote", etc. Et pas que sur le forum: certains de mes élèves sont venus me voir, très en colère pour me signaler 2 collègues d'HG ne cessent plus de pratiquer ça à chaque cours.
Cette technique rhétorique formelle a été développée principalement par le journal quotidien national "Libération". J'avais donné plusieurs exemples dans le passé dont un en particulier assez spectaculaire où le journal utilisait son audience pour écrire en première page un message vide condamnant une célébrité des milieux intellos: Michel Onfray.
Ce dernier (Michel O) avait écrit je ne sais plus quelle tribune (et quoi qu'on lui reproche, il avait argumenté), je ne sais plus où, et pour seule réponse Libé l'avait accusé de faire le jeu de Le Pen en caractères gras TAILLE 200 (essayez avec un traitement de texte pour voir) en guise de seule réponse. En intérieur du journal, un article factice faisait semblant de contre-argumenter et était vide.
On avait eu une autre astuce formelle, intéressante en soi, l'an dernier lors des contestations contre parcours sup. Libé avait pondu un article de plusieurs centaines de lignes qui se voulait (et elle était somme toute réussie, selon les critères de tolérance scientifique face à ces sujets de société) une preuve que le pouvoir souhaitait ré-introduire.... un peu de sélection (bien sûr Libé oubliait le "un peu"). Autrement, Libé prenait un air scandalisé pour écrire "nous allons vous prouver que 2=2" en 300 lignes, comprenez que nous avons raison (avec un sous-entendu "donc révoltez-vous"))"
Je ne veux pas en poster trop long, mais il y a comme ça entre 15 et 20 grandes familles d'astuces logiques servant à hypnotiser les lecteurs à à nuire à l'adversaire sans JAMAIS répondre à ce qu'il signale. La période que nous vivons invite pourtant sérieusement les gens de bonne volonté à ne plus les utiliser à vide, car on voit bien que ça ne marche plus tellement (le PS a fait 6%, JLM et LP sont en train de négocier une alliance, etc, bref c'est très instable), mais surtout si on continue, on aggrave une capacité à débattre sainement dans une période où on risque gros.
Bref, du coup, je suis un peu tristounet que JLT se soit abaissé à répondre à Thule qui n'est rien d'autre qu'un intervenant qui tente de censurer par la force un intervenant auquel il ne sait pas répondre par des arguments.
Je rappelle que Ramon émet deux grandes idées, dont l'une est bien vraie et l'autre inopérante:
1/ dénonce de manière en fait trop "gentille" une situation bien réelle (et bien plus grave qu'il ne la décrit). Il n'y a qu'à voir (et ce n'est qu'une toute petite fumée inoffensive) ce que le hashtag "pas de vague" vient de déclencher.
2/ Il propose une solution qui ne marche pas: un retour à un système qui en réalité était déjà le système d'aujourd'hui (les BOEN n'ont pas tellement changé, donner punitions était déjà interdit, etc), et n'a fait que juste prendre un peu de temps pour révéler qu'il ne marche pas. Réparer l'école ce n'est pas retourner (donc ne rien changer) aux règles d'une époque, mais simplement prendre conscience qu'il faut professionnaliser le métier et construire sainement les RAPPORTS DE FORCE entre les acteurs (puisque l'époque où les uns faisaient sans y être contraints par la force des courbettes aux autres est terminée (et elle AVAIT VOCATION à ÉCHOUER!!! un jour de toute façon)
Donc même si dans la partie (2), on voit un Ramon qui se trompe, je ne vois pas en quoi on devrait s'abaisser à perdre des minutes de sa vie à répondre à un gars (thule) qui n'a en aucune manière répondu à Ramon
Ce n'est que mon avis bien sûr!
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J'en profite pour donner quelques précisions sur le post qui se trouve avant celui qui est avant le présent post. La réforme des programmes.
1/ Ne postant plus que dans L et F, j'ai plus de temps pour intervenir sur d'autres canaux. En particulier, je me suis forcé à me spécialiser dans la dénonciation du "corrigé donné avant l'épreuve (CDAL)". Et j'ai fait ce que j'ai pu pour aider les acteurs concernés (ça fait du monde: les enseignants de science à tous les niveaux à partie du lycée) à verbaliser la chose et s'auto-dégouter.
2/ Les progammes "exigeant" envoyés sur les réseaux sociaux pour prendre le poul sont assez effrayant en ce qu'ils révèlent une coupure totale des personnes qui ont oeuvré à leur production d'avec le terrain et le réel.
3/ Je ne suis bien sûr pas contre l'exigence, mais on ne réintroduira pas les maths dans l'enseignement secondaire avec des yaka
4/ Le fléau CDAL est naturel et est devenu une "arme de poche" pour CHACUN des acteurs du système. Donc quand un acteur, QUEL QU IL SOIT se retrouve pressé par des contraintes, il le dégaine SUR LE CHAMP
5/ En conséquence de quoi, infliger à des enseignants qui peinent, en secret, quand ils ne sont pas en train d'informer leur classe du corrigé de la prochaine interro, à réapprendre le CM1 à leur classe dans une ambiance coupable, mais sereine, l'exigence de réciter les preuves de la formule de Stokes ou du grand théorème de fermat ne pourra que SCELLER encore plus leur utilisation de CDAL. Donc aggravera CDAL (alors qu'il faudrait un jour l'éradiquer avec UNE LOI PENALE).
6/ Bref, l'intelligence au sommet du pouvoir n'a pas l'air d'être une denrée facile à trouver.
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De mon téléphone d'un bar ça ne me coûte que 8 clic et 22 secondes de partager. (La présente parenthèse est retirée du décompte : à la suite d'un changement de direction , l'ancien voulant savonner la planche de la nouvelle , tout le monde a pu passer en S (sauf ceux qui ont refusé). Je dois donc tenter de "sauver le bac" de ces élèves initialement "stmg-like")
Pour mon CDT (blog) tu peux taper "mathcommun" en un seul mot sur google de toute façon. C'est ensuite facile de se balader (ily a une liste de rubriques à droite)
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L'argument n'est pas "plus simple" et depuis le début de son fil, il ne semble pas du tout enclin à déplier les abréviations (par exemple les lecteurs ignorant ce que signifie "système fondamental de" en seront pour leur frais).
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De mon téléphone: à propos de mon post précédent il y a un nom pour désigner les espaces vérifiant le lemme de l'auteur du post en lien mais je ne sais plus lequel (un peu moins que "normal" peut être "complètement régulier". Suis sur l'autoroute je ne vais pas googler :-D )
Et quand bien même (les espaces compacts et séparés sont normaux) l'auteur aurait juste oublié l'hypothèse dans son lemme de toute façon la preuve (du lemme) prend autant de place que son résultat désiré tout entier.
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je trouve que Yves est un peu froid dans sa réponse. Oui il n'y a pas de fonction analytique générale mais 1) c'est mieux de le prouver et 2) la racine carrée du carré d'un nombre n'est pas analytique et pourtant on peut appeler ça une formule "cool" pour désigner la valeur absolue.
Donc si quelqu'un s'ennuie il peut enrichir le fil concerné :-D
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Je documente deux fils à propos des points de vue rédactionnels, car on y voit les auteurs en demande, peiner avec la rédaction à des titres divers. J'essaie de ne pas faire redite avec les réponses apportées par d'autres experts.
il y a déjà la convention anglaise "WLOG" qui en français s'écrit "sans perte de généralité, on peut" qui serait utile à l'auteur. Il aurait pu commencer par dire (en le justifiant), $<<$ on peut supposer que $m([0,1]) = 1>>$.
Après quoi, il y a la prise de recul c'est à dire le fait de prouver un truc légèrement plus général en moins de lignes. L'auteur aurait pu dire:
$<<$
1/ je vais prouver que $m([a,b[) = max(0,b-a)$, pour tous nombre $a,b$
2/ je vais prouver (ou utiliser que) deux mesures qui coincident sur $S$ coincident sur la tribu engendrée par $S>>$
1/ l'auteur ne précise jamais formellement ce qu'il souhaite prouver, on est tout en sous-entendu. Il souhaite prouver que si tout point a un voisinage compact alors tout point a un système fondamental de voisinages compacts, mais saurait-il énoncer formellement ce que cette dernière phrase en français veut dire.
2/ L'auteur "saute sur" le fait que les espaces compacts sont $T_3$. Oui mais, ... il est mieux de le prouver. Wiki donne de nombreux contre-exemples concernant les propriétés de séparation.
Remarque: on peut le prouver sans axiome du choix, et c'est même plus sain car ça désintoxique les étudiants de la manie des indices de la forme $<<$ pour chaque $x$, je choisis $Machin_x$ tel que$>>$
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L'intuition provenant de la notion de limite est pertinente, mais la rédaction exprimant une notion de limite est redondante.
Il suffirait à l'auteur de dire : $$m([a,b])\leq m([c,d])\leq m([e,u])$$ dès lors que $$[a,b]\subset [c,d]\subset [e,u]$$ En l'exploitant avec $a,b,e,u$ dans $\Q$.
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je vais refaire une remarque qui me semble être faite assez régulièrement. Pour autant que je me souvienne de gens qui ralaient il y a quelques années, il semble que le programme des prépas donne une définition fausse de la compacité (en parlant de suites).
Je rappelle (comme plein d'autres l'ont fait 2035643 fois avant moi) qu'un espace est compact quand tous ses recouvrements ouverts admettent des sous-recouvrements finis et (à la française) il est séparé.
Dans le fil en lien il n'y a quasiment rien à prouver, et le fait que ce soit $\R$ ou un ensemble totalement ordonné quelconque ne change rien à l'affaire à cause du recouvrement $a\mapsto [X_a:=\{x\in K\mid f(x)<a\}]$.
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Il est vrai dans ZF que B non mesurable et mesure(A)>0 entraine l'existence d'un translaté de B dont l'intersection avec A n'est pas mesurable (Lebesguement).
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Il est bien connu et très classique qu'on peut écrire la totalité des maths dans divers langages de connecteurs qui ne contiennent pas l'implication: en voici une liste.
$\{et; non; \forall \}$
$\{ou; non; \forall \}$
$\{et; +; \forall \}$
$\{ou; +; \forall \}$
$\{et; =; \lambda \}$
$\{ou; =; \lambda \}$
$\{nand; =; \lambda \}$
$\{nand; \forall \}$
etc, etc, ce n'est pas exhaustif.
Je rappelle aussi que dans le secondaire l'implication n'est quasiment jamais utilisée car interdite par le pédagogisme d'une part et non maîtrisée par les enseignants d'autre part [small](j'ai même été attrapé par le colbac devant tout le monde par un monsieur, pourtant gentil, qui s'est pluss qu'excusé et amendé ensuite, et même jusqu'à réclamer qu'on me remercie ensuite (je ne peux que le dire que comme ça, devoir de réserve, il a fait pluss, qui était prof de math et parent d'élève: motif, il pensait que j'avais donné à prouver un truc faux, alors qu'il était vrai)[/small]
Il ne faut pas confondre l'implication et la déduction (la confusion est un peu faite dans le fil de samok). De plus même la déduction peut être retirée des maths pour des raison un peu similaires, mais quand-même assez différentes, en se plaçant dans des systèmes, là aussi naturels et simple, où c'est l'équivalent déductif du signe $=$ qui prendrait place. Mais à la différence de substituts à l'implication qui ne coutent rien en nombres de symboles, les substituts à la déduction coûtent cher.
Tout repose sur :
$$ (a\to b) = ((a\wedge b)=a) = ((a\vee b) = b) $$
qui, quand on remplace " A donc B" par un calcul qui s'écrit "A séparation ((A et =A)" oblige à écrire A deux fois.
Il y a aussi une autre raison, bien plus profonde, qui est que ce que je viens de dire, ne passe pas à la logique intuitionniste, où le signe implique est congénitalement nécessaire à cette logique (en fait, cette logique n'existe que parce qu'elle gère presque à minima ce signe)
Je rappelle que tout théorème de maths $P$ s'obtient avec une preuve de la forme
"......; donc A; donc A ou B; donc....; Faux ou C; donc C; ...... ; donc P"
autrement dit, est un cas particulier d'évidence. En théorie il n'y a rien dans les maths que des "A donc (A ou ". Par contre, en pratique, il y a un petit ésotérisme, tantôt utile à la concision, tantôt par snobisme, qui "fait rêver" à du transcendantal les gens au début de leurs études, avec des mots savants comme "raisonnement par l'absurde", "raisonnement par contraposée", etc, ce qui conduit, d'une part:
1/ Le secondaire à s'être crashé en croyant qu'insister sur "le fond" allait séduire (avec comme crash qu'on est sorti des maths en sortant du déductif)
2/ Le supérieur à démarrer en "faisant peur" aux élèves de mpsi qui pensent qu'il y aura beaucoup à travailler
Mais c'est autre chose.
Bref: la présence forte de l'implication n'est que la présence forte de la notion d'ordre, ie, même si non dits, les choses pourraient être mot à mot réécrites en :
$$a\leq b\leq c\leq \dots \leq z$$
quand on prouve $a\leq z$, et le fait qu'on note $\Rightarrow$ plutôt que $\leq$, mais surtout qu'on utilise "donc" plutôt qu'une écriture sous la forme $A\Rightarrow B\Rightarrow C \Rightarrow \dots$ sont en fait, assez contingentes (mais utiles).
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De mon téléphone en écho à un fil d'algèbre je signale une remarque: si un anneau n'est pas intégre l'élément singulier a fournit le polynôme de degré 1 aX (indéterminée X) comme ayant 2 racines. Et l'anneau n'a pas besoin d'être commutatif pour dire ça.
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Et l'anneau n'a pas besoin d'être commutatif pour dire ça.
Il y a un certain nombre de gens qui ont des réticences à parler de polynômes dans le cadre non commutatif. Il y a des différences notables entre une algèbre non commutative libre sur un anneau (même commutatif) et une algèbre de polynômes.
Quel est le degré de $XaXX+X^3+X(aX+X^2)$ où $X$ est une indéterminée et $a,b$ dans l'anneau?
Si $\bf H$ est le corps des quaternions connaît-on une base naturelle de "$\mathbf H[X]$"?
Noter que l'ensemble des zéros de la fonction $x \in \mathbf H \mapsto x^2-1$ est infini (EDIT: non, ce polynôme n'a que 1 et -1 comme racines. On peut le voir en assimilant $\bf H$ à un ensemble de matrices $2\times 2$, en diagonalisant une solution et en étudiant son déterminant). En revanche, $X^2+1$ a bel et bien une infinité de racines), invalidant l'équivalence entre les énoncés "tout polynôme à coefficients dans $A$ de degré $d$ a au plus $d$ racines" et "$A$ est sans diviseurs de $0$" lorsque $A$ n'est pas commutatif.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Je fais écho à ce fil en répétant de mon téléphone une chose que j'ai radote 4752928 fois :-D car ça semble être un ma que INVOLONTAIRE dans le premier cycle.
On utilise l'inversibilite des éléments d'un corps non nuls devant les étudiants pour établir ce qui est discuté dans le fil
Ce qui donne une "mauvaise preuve" donnant une impression que l'hypothèse d'intégrité est nécessaire.
Je rappelle donc que pour tout anneau commutatif une matrice ayant plus de lignes que de colonnes à ses lignes liées et qu'on peut le prouver et en moins de lignes que l'habituel argument (Steinitz) pour les corps
Il suffit de réaliser que si c'était faux il y aurait des matrices ayant leurs lignes libres alors même que le nombre de lignes serait GIGANTESQUE comparé au nombre de colonnes. De mon téléphone.
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Je copie-colle ici un MP que j'envoie à "apprenti" (enfin j'envoie le lien).
Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $K$, $(e_1,..,e_n)$ une famille génératrice et $(u_1,..,u_p)$ une famille libre.
Pour chaque $i$, il existe $a_i\in K^n$ tel que $u_i = \sum_j a_i(j)e_j$. Tu obtiens une matrice $M$ dont le coefficient $(i,j)$ est la j ième coordonnée du uplet $a_i$, c'est à dire $a_i(j)$.
Un théorème très général que je t'invite à étudier de très près donne qu'alors forcément :
$$ p\leq n$$
Ce théorème dit que si une matrice a strictement plus de lignes que de colonnes alors ses lignes forment une famille liée d'éléments $K^{NombreDeColonnes}$
Son avantage pour tes neurones est que pour le prouver on n'a besoin ni de l'hypothèse qu'on est dans un corps (ie que tout élément non nul est inversible), ni de celle qui dit que si $uv=0$ alors $(u=0$ ou $v=0)$.
C'est un avantage écologique et sain.
J'attends de voir si tu as envie d'en voir une preuve, car j'estime que tu es libre de vouloir t'en tenir à Steinitz and co si bon te semble. Economiser des hypothèses n'est pas qu'une affaire d'élégance (sinon je ne perdrais pas mon temps à écrire ce post) mais je pense une affaire d'oxygénation des neurones, certes inconsciente chez les jeunes étudiants.
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Avec plaisir mais dis moi à quel niveau d'études tu es et si tu es dans une fac cool ou dans une mpsi "big exigences" pour que j'adapte la rédaction. De mon téléphone
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En effet Christophe, c’est amusant de dire que la preuve ne prend que quelques lignes s’il faut sortir des outils et notions dont les définitions et les théorèmes sont longs à dérouler (toutes proportions gardées).
Je parle « en général », bien entendu.
Mais je me souviens des fils « le mystère du déterminant ».
De mon téléphone. Je parle de "longueur formelle". Autrement dit si l'étudiant est un "parfait inspecteur de deductions" ça va mais humainement si l'étudiant par exemple ne connait pas (c'est hélas devenu terriblement fréquent) la notation {x | ...} ou les quantificateurs on tombe dans des obstructions purement affectives.
Moyennant pratique du langage la preuve (que j'ai déjà postée) fait 5 à 10 lignes mais l'énoncé est avec des {x| ..}.
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Je peux de mon téléphone de toute façon te proposer (à toi dom mais peut être à apprenti) deux exos "routiniers" qui sont suffisant.
1/ prouve par récurrence sur n qu'une matrice ayant 2^n lignes et n colonnes possède ses lignes liées.
2/ prouve que s'il existe un matrice avec ses lignes libres de dim n+1 lignes et n colonnes alors il en existe une avec p lignes et n colonnes pour n'importe quel p.
La seule finesse est qu'il faut (et seulement pour 1/) remplacer {0} par un idéal pour éviter de parler de quotient. Mais ça dépend de l'étudiant.
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Remarque: et si tu restes dans un corps en plus cette preuve est bien plus digeste que l'usine à gaz Steinitzienne (et pas besoin d'idéaux). Il suffit de lire l'énoncé pour quasiment le trouver évident puisque ce n'est que la réplique de la dimension 2 croix 1
Dans ce cas c'est l'exo 2/ qui provient de la "puissance linguistique". (Il est aussi évident au langage près).
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Réponses
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1718276,1718594#msg-1718594
un étudiant se prive de l'accès à la documentation classique en semblant ne pas se rendre compte que sa question est:
soit $E$ métrique ( connexe ) et $f$ bijection continue $E\to E$. La réciproque de $f$ est-elle forcément continue?
Je poste et lui envoie l'info par MP.
Édit: la connexité ne change rien j'ai donc mis des parenthèses
La dim infinie donne u |
> (n|
> u(n)/(n+1)) avec norme uniforme mais qu'en est-il en dimension finie?
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1720662,1720676#msg-1720676
Il existe une foule d'ensembles explicites et non boreliens. Borélien et mesurable n'ont pas grand chose à voir
Comme j'ai raconté des dizaines de fois comment faire, et contrairement à ce que dit BobbyJoe, ce n'est pas non plus ce qu'on peut appeler "pas si facile" ** je n'ajoute rien, mais n'hésite pas si tu as oublié (à retrouver seul ça peut prendre du temps, donc soit on l'a pour le plaisir, soit on va chercher une doc).
** il ne faut pas oublier qu'une gars qui vient sur le forum parler de boréliens n'a pas a priori le même niveau que celui qui vient demander si toutes les matrices sur IQ sont diagonalisable :-D (BobbyJoe a l'air de l'oublier :-D )
En l'absence de AC, IL EST FAUX DE DIRE QUE CARD(IR) = CARD(B). On a seulement :
card(IR)< card(B)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1720662,1721310#msg-1721310
À noter que l'axiome pas très fort "all is Lebesgue mesurable IMPLIQUE PROUVABLEMENT cette inégalité stricte.
Pour les gens que ça intéresse, tous ces trucs sont très classiques, ont été décoverts il y a longtemps et appartiennent à une spécialité de recherche appelée "théorie descriptive des ensembles". Elle se travaille dans ZF+CD (axiome du choix dépendant)
Je détaille un peu, mais ne suis pas très dispo (et surtout fatigué).
1/ Si tout ensemble est Lebesgue mesurable alors il n'existe pas de bijection b entre une partie de IR et l'ensemble des parties dénombrables de IR.
Preuve: le filtre des parties de $\R/\Q$ induit par celui des parties conégligeables est un ultrafiltre stable par intersections dénombrables. Si $b$ existait, l'image par $b^{-1}$ de cet ultrafiltre serait un ultrafiltre principal
2/ Il existe une surjection de $\R$ sur $B$.
Preuve: le petit programme récursif $\phi$ qui suit envoie toute suite $u$ sur un borélien (quand il termine), et c'est surjectif.
2.1/ si $u$ commence par $0$ retourner l'intervalle codé par $n\mapsto u(n+1)$
2.2/ si $u$ commence par $1$ retourner le complémentaire de l'image par $\phi$ de $n\mapsto u(n+1)$
2.3/ sinon, retourner la réunion des $\phi(v_n), n\in \N$ où $v_n:p\mapsto u(2^p3^n)$
3/ Il existe une injection de $\R$ dans $B$.
Preuve: $x\mapsto \{x\}$
4/ Je réponds à ta question, Georges, oui, CD est utilisé pour prouver que $2.\phi$ marche. Précisément, on a besoin qu'un arbre bien fondé ait une hauteur qui soit un ordinal défini comme la borne supérieure des hauteurs partielles des sous-arbres stricts.
$\mathbb{R}$ a la propriété remarquable suivante : il existe un ensemble $B$ dénombrable de parties de $\mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\{x\}$ est l'intersection des éléments de $B$ qui contiennent $x$ comme élément. Je vais donc dire que $\mathbb{R}$ est dénombrablement séparé (j'ai déjà vu une terminologie similaire, mais je ne sais pas si cela cause une collision de vocabulaire).
En particulier, tout ultrafiltre sur $\mathbb{R}$ qui est stable par intersections dénombrables est principal. En effet, soit $U$ un tel ultrafiltre, et soit un tel $B$. Soit alors $B'$ l'ensemble des parties de $\mathbb{R}$ qui :
sont des éléments de $U$ et (sont éléments de $B$ ou sont le complémentaire d'un élément de $B$). $B'$ est dénombrable, et l'intersection $a$ de ses éléments est encore dans $U$ par hypothèse. Montrons que $a$ est un singleton (c'est ce qu'on veut !) : soient $x,y \in a$, supposés différents. Alors comme $\{x\}$ est intersection des éléments de $B$ qui le contiennent, il existe $b \in B$ tel que $x \in b$ et $y \not \in b$. Si $b \in U$, alors $y \not \in a$ et c'est bon. Sinon, c'est que $b \not \in U$, et alors $^c b \in U$, et donc $^c b \in B'$, et donc $x \not \in a$, et c'est bon.
J'imagine que nous sommes d'accord que "dénombrablement séparé" est une propriété stable par bijection ?
Christophe, dans ce que tu as écrit, affirmes-tu implicitement que l'ultrafiltre stable par intersections dénombrables que tu construis sur $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ n'est pas principal ?
En particulier, d'après tout ceci, est-ce que ça n'implique pas que si toutes les parties de $\mathbb{R}$ sont mesurables, alors $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ ne sont pas en bijection ?
La suite se trouve à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1721314,1721314#msg-1721314
Dans ce fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1721302,1724660#msg-1724660
il y a un débat politique sur la réforme et Ramon Mercader a mis un lien vers des programmes (en projet je crois).
Pour quelqu'un d'expérimenté à la fois dans ce métier et dans l'art de le la flemme, ll y a des choses qui ne peuvent pas abuser:
1/ Le rédacteur "n'avait pas le temps" ou "pas le courage" de fignoler la version qu'on voit. Il a donc laissé d'anciens passages ubuesques mélangés avec les nouveaux. Mais il a fait pire.....
2/ Si on ne dispose pas de latex, l'accès à $\leq; \geq$ est pénible et long. Je trouve vraiment cavalier que sur un truc qui va être vu par des milliers de professionnels, même s'il n'est pas un "programme officiel publié sur un BO" de se permettre (juste par flemme d'accéder auxdits symboles typographiques), de remplacer un le théorème de convexité/concavité de racine carrée par celui de stricte C/C. Tout ça pour pouvoir utiliser le clavier avec $<$; $>$.
Je connais ça, mais je ne le ferais pas pour un texte en débat public (je demande de prouver que Machin + 3 > -2 au lieu de Machin$\geq 0$ dans des DST parce que ça apporte doublement des avantages).
Là, franchement, sur un projet de programme, je ne vois pas quelle excuse évoquer. Soyons moins paresseux (ou sélectionnons quand nous le sommes), ce sera déjà un petit progrès.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1721302,1726254#msg-1726254
Comme il a été remarqué par paf ainsi que d'une autre manière par Blueberry, une mode actuelle (enfin actuelle hum hum) chez les "bobos" consiste non pas à répondre par des arguments mais par des "je me pince le nez" ou encore "ça picote", etc. Et pas que sur le forum: certains de mes élèves sont venus me voir, très en colère pour me signaler 2 collègues d'HG ne cessent plus de pratiquer ça à chaque cours.
Cette technique rhétorique formelle a été développée principalement par le journal quotidien national "Libération". J'avais donné plusieurs exemples dans le passé dont un en particulier assez spectaculaire où le journal utilisait son audience pour écrire en première page un message vide condamnant une célébrité des milieux intellos: Michel Onfray.
Ce dernier (Michel O) avait écrit je ne sais plus quelle tribune (et quoi qu'on lui reproche, il avait argumenté), je ne sais plus où, et pour seule réponse Libé l'avait accusé de faire le jeu de Le Pen en caractères gras TAILLE 200 (essayez avec un traitement de texte pour voir) en guise de seule réponse. En intérieur du journal, un article factice faisait semblant de contre-argumenter et était vide.
On avait eu une autre astuce formelle, intéressante en soi, l'an dernier lors des contestations contre parcours sup. Libé avait pondu un article de plusieurs centaines de lignes qui se voulait (et elle était somme toute réussie, selon les critères de tolérance scientifique face à ces sujets de société) une preuve que le pouvoir souhaitait ré-introduire.... un peu de sélection (bien sûr Libé oubliait le "un peu"). Autrement, Libé prenait un air scandalisé pour écrire "nous allons vous prouver que 2=2" en 300 lignes, comprenez que nous avons raison (avec un sous-entendu "donc révoltez-vous"))"
Je ne veux pas en poster trop long, mais il y a comme ça entre 15 et 20 grandes familles d'astuces logiques servant à hypnotiser les lecteurs à à nuire à l'adversaire sans JAMAIS répondre à ce qu'il signale. La période que nous vivons invite pourtant sérieusement les gens de bonne volonté à ne plus les utiliser à vide, car on voit bien que ça ne marche plus tellement (le PS a fait 6%, JLM et LP sont en train de négocier une alliance, etc, bref c'est très instable), mais surtout si on continue, on aggrave une capacité à débattre sainement dans une période où on risque gros.
Bref, du coup, je suis un peu tristounet que JLT se soit abaissé à répondre à Thule qui n'est rien d'autre qu'un intervenant qui tente de censurer par la force un intervenant auquel il ne sait pas répondre par des arguments.
Je rappelle que Ramon émet deux grandes idées, dont l'une est bien vraie et l'autre inopérante:
1/ dénonce de manière en fait trop "gentille" une situation bien réelle (et bien plus grave qu'il ne la décrit). Il n'y a qu'à voir (et ce n'est qu'une toute petite fumée inoffensive) ce que le hashtag "pas de vague" vient de déclencher.
2/ Il propose une solution qui ne marche pas: un retour à un système qui en réalité était déjà le système d'aujourd'hui (les BOEN n'ont pas tellement changé, donner punitions était déjà interdit, etc), et n'a fait que juste prendre un peu de temps pour révéler qu'il ne marche pas. Réparer l'école ce n'est pas retourner (donc ne rien changer) aux règles d'une époque, mais simplement prendre conscience qu'il faut professionnaliser le métier et construire sainement les RAPPORTS DE FORCE entre les acteurs (puisque l'époque où les uns faisaient sans y être contraints par la force des courbettes aux autres est terminée (et elle AVAIT VOCATION à ÉCHOUER!!! un jour de toute façon)
Donc même si dans la partie (2), on voit un Ramon qui se trompe, je ne vois pas en quoi on devrait s'abaisser à perdre des minutes de sa vie à répondre à un gars (thule) qui n'a en aucune manière répondu à Ramon
Ce n'est que mon avis bien sûr!
1/ Ne postant plus que dans L et F, j'ai plus de temps pour intervenir sur d'autres canaux. En particulier, je me suis forcé à me spécialiser dans la dénonciation du "corrigé donné avant l'épreuve (CDAL)". Et j'ai fait ce que j'ai pu pour aider les acteurs concernés (ça fait du monde: les enseignants de science à tous les niveaux à partie du lycée) à verbaliser la chose et s'auto-dégouter.
2/ Les progammes "exigeant" envoyés sur les réseaux sociaux pour prendre le poul sont assez effrayant en ce qu'ils révèlent une coupure totale des personnes qui ont oeuvré à leur production d'avec le terrain et le réel.
3/ Je ne suis bien sûr pas contre l'exigence, mais on ne réintroduira pas les maths dans l'enseignement secondaire avec des yaka
4/ Le fléau CDAL est naturel et est devenu une "arme de poche" pour CHACUN des acteurs du système. Donc quand un acteur, QUEL QU IL SOIT se retrouve pressé par des contraintes, il le dégaine SUR LE CHAMP
5/ En conséquence de quoi, infliger à des enseignants qui peinent, en secret, quand ils ne sont pas en train d'informer leur classe du corrigé de la prochaine interro, à réapprendre le CM1 à leur classe dans une ambiance coupable, mais sereine, l'exigence de réciter les preuves de la formule de Stokes ou du grand théorème de fermat ne pourra que SCELLER encore plus leur utilisation de CDAL. Donc aggravera CDAL (alors qu'il faudrait un jour l'éradiquer avec UNE LOI PENALE).
6/ Bref, l'intelligence au sommet du pouvoir n'a pas l'air d'être une denrée facile à trouver.
http://blog.ac-versailles.fr/mathcommun/public/Devoir_de_vacances_pour_la_1S2.docx
Une mise en abyme, quoi ;-)
L'argument n'est pas "plus simple" et depuis le début de son fil, il ne semble pas du tout enclin à déplier les abréviations (par exemple les lecteurs ignorant ce que signifie "système fondamental de" en seront pour leur frais).
Et quand bien même (les espaces compacts et séparés sont normaux) l'auteur aurait juste oublié l'hypothèse dans son lemme de toute façon la preuve (du lemme) prend autant de place que son résultat désiré tout entier.
La propriété évoquée s'appelle T3.
Dans le fil
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1731092,1731092#msg-1731092
je trouve que Yves est un peu froid dans sa réponse. Oui il n'y a pas de fonction analytique générale mais 1) c'est mieux de le prouver et 2) la racine carrée du carré d'un nombre n'est pas analytique et pourtant on peut appeler ça une formule "cool" pour désigner la valeur absolue.
Donc si quelqu'un s'ennuie il peut enrichir le fil concerné :-D
$\sqrt{x^2} = |x|$
$|x| + x = \max(0,2x)$
$ |x|/x = (\text{if}\ x>0\ \text{then}\ 1\ \text{else}\ (-1))$
Pour tout $x\in \{0;1\}$ on peut ré-écrire
$<<$ if $x$ then $a$ else $b>>$
en
$ax+b(1-x)$
Etc, etc.
Bref, il y a de quoi compléter et enrichir la réponse de Yves.
Dans ce fil: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1731334
il y a déjà la convention anglaise "WLOG" qui en français s'écrit "sans perte de généralité, on peut" qui serait utile à l'auteur. Il aurait pu commencer par dire (en le justifiant), $<<$ on peut supposer que $m([0,1]) = 1>>$.
Après quoi, il y a la prise de recul c'est à dire le fait de prouver un truc légèrement plus général en moins de lignes. L'auteur aurait pu dire:
$<<$
1/ je vais prouver que $m([a,b[) = max(0,b-a)$, pour tous nombre $a,b$
2/ je vais prouver (ou utiliser que) deux mesures qui coincident sur $S$ coincident sur la tribu engendrée par $S>>$
Dans ce fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1728624,1730556#msg-1730556
que j'ai déjà évoqué,
1/ l'auteur ne précise jamais formellement ce qu'il souhaite prouver, on est tout en sous-entendu. Il souhaite prouver que si tout point a un voisinage compact alors tout point a un système fondamental de voisinages compacts, mais saurait-il énoncer formellement ce que cette dernière phrase en français veut dire.
2/ L'auteur "saute sur" le fait que les espaces compacts sont $T_3$. Oui mais, ... il est mieux de le prouver. Wiki donne de nombreux contre-exemples concernant les propriétés de séparation.
Remarque: on peut le prouver sans axiome du choix, et c'est même plus sain car ça désintoxique les étudiants de la manie des indices de la forme $<<$ pour chaque $x$, je choisis $Machin_x$ tel que$>>$
après avoir lu son fil : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1732250,1732250#msg-1732250
L'intuition provenant de la notion de limite est pertinente, mais la rédaction exprimant une notion de limite est redondante.
Il suffirait à l'auteur de dire : $$m([a,b])\leq m([c,d])\leq m([e,u])$$ dès lors que $$[a,b]\subset [c,d]\subset [e,u]$$ En l'exploitant avec $a,b,e,u$ dans $\Q$.
je vais refaire une remarque qui me semble être faite assez régulièrement. Pour autant que je me souvienne de gens qui ralaient il y a quelques années, il semble que le programme des prépas donne une définition fausse de la compacité (en parlant de suites).
Je rappelle (comme plein d'autres l'ont fait 2035643 fois avant moi) qu'un espace est compact quand tous ses recouvrements ouverts admettent des sous-recouvrements finis et (à la française) il est séparé.
Dans le fil en lien il n'y a quasiment rien à prouver, et le fait que ce soit $\R$ ou un ensemble totalement ordonné quelconque ne change rien à l'affaire à cause du recouvrement $a\mapsto [X_a:=\{x\in K\mid f(x)<a\}]$.
Il est vrai dans ZF que B non mesurable et mesure(A)>0 entraine l'existence d'un translaté de B dont l'intersection avec A n'est pas mesurable (Lebesguement).
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1744158,1744158#msg-1744158
Il est bien connu et très classique qu'on peut écrire la totalité des maths dans divers langages de connecteurs qui ne contiennent pas l'implication: en voici une liste.
$\{et; non; \forall \}$
$\{ou; non; \forall \}$
$\{et; +; \forall \}$
$\{ou; +; \forall \}$
$\{et; =; \lambda \}$
$\{ou; =; \lambda \}$
$\{nand; =; \lambda \}$
$\{nand; \forall \}$
etc, etc, ce n'est pas exhaustif.
Je rappelle aussi que dans le secondaire l'implication n'est quasiment jamais utilisée car interdite par le pédagogisme d'une part et non maîtrisée par les enseignants d'autre part [small](j'ai même été attrapé par le colbac devant tout le monde par un monsieur, pourtant gentil, qui s'est pluss qu'excusé et amendé ensuite, et même jusqu'à réclamer qu'on me remercie ensuite (je ne peux que le dire que comme ça, devoir de réserve, il a fait pluss, qui était prof de math et parent d'élève: motif, il pensait que j'avais donné à prouver un truc faux, alors qu'il était vrai)[/small]
Il ne faut pas confondre l'implication et la déduction (la confusion est un peu faite dans le fil de samok). De plus même la déduction peut être retirée des maths pour des raison un peu similaires, mais quand-même assez différentes, en se plaçant dans des systèmes, là aussi naturels et simple, où c'est l'équivalent déductif du signe $=$ qui prendrait place. Mais à la différence de substituts à l'implication qui ne coutent rien en nombres de symboles, les substituts à la déduction coûtent cher.
Tout repose sur :
$$ (a\to b) = ((a\wedge b)=a) = ((a\vee b) = b) $$
qui, quand on remplace " A donc B" par un calcul qui s'écrit "A séparation ((A et
Il y a aussi une autre raison, bien plus profonde, qui est que ce que je viens de dire, ne passe pas à la logique intuitionniste, où le signe implique est congénitalement nécessaire à cette logique (en fait, cette logique n'existe que parce qu'elle gère presque à minima ce signe)
Je rappelle que tout théorème de maths $P$ s'obtient avec une preuve de la forme
autrement dit, est un cas particulier d'évidence. En théorie il n'y a rien dans les maths que des "A donc (A ou
1/ Le secondaire à s'être crashé en croyant qu'insister sur "le fond" allait séduire (avec comme crash qu'on est sorti des maths en sortant du déductif)
2/ Le supérieur à démarrer en "faisant peur" aux élèves de mpsi qui pensent qu'il y aura beaucoup à travailler
Mais c'est autre chose.
Bref: la présence forte de l'implication n'est que la présence forte de la notion d'ordre, ie, même si non dits, les choses pourraient être mot à mot réécrites en :
$$a\leq b\leq c\leq \dots \leq z$$
quand on prouve $a\leq z$, et le fait qu'on note $\Rightarrow$ plutôt que $\leq$, mais surtout qu'on utilise "donc" plutôt qu'une écriture sous la forme $A\Rightarrow B\Rightarrow C \Rightarrow \dots$ sont en fait, assez contingentes (mais utiles).
$$ [\forall xR(x)]: = [(x\mapsto R(x)) = Constante(vrai)]$$
De plus, $\{\to ;\forall\} $ produit $=$ via:
$$ := [\forall x: (x(u)\to x(v))] $$
Il y a un certain nombre de gens qui ont des réticences à parler de polynômes dans le cadre non commutatif. Il y a des différences notables entre une algèbre non commutative libre sur un anneau (même commutatif) et une algèbre de polynômes.
Quel est le degré de $XaXX+X^3+X(aX+X^2)$ où $X$ est une indéterminée et $a,b$ dans l'anneau?
Si $\bf H$ est le corps des quaternions connaît-on une base naturelle de "$\mathbf H[X]$"?
Noter que l'ensemble des zéros de la fonction $x \in \mathbf H \mapsto x^2-1$ est infini (EDIT: non, ce polynôme n'a que 1 et -1 comme racines. On peut le voir en assimilant $\bf H$ à un ensemble de matrices $2\times 2$, en diagonalisant une solution et en étudiant son déterminant). En revanche, $X^2+1$ a bel et bien une infinité de racines), invalidant l'équivalence entre les énoncés "tout polynôme à coefficients dans $A$ de degré $d$ a au plus $d$ racines" et "$A$ est sans diviseurs de $0$" lorsque $A$ n'est pas commutatif.
C'est vraiment dommage que le smiley "chope de bière" ait disparu du forum... B-)-
On utilise l'inversibilite des éléments d'un corps non nuls devant les étudiants pour établir ce qui est discuté dans le fil
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1768900,1768900#msg-1768900
Ce qui donne une "mauvaise preuve" donnant une impression que l'hypothèse d'intégrité est nécessaire.
Je rappelle donc que pour tout anneau commutatif une matrice ayant plus de lignes que de colonnes à ses lignes liées et qu'on peut le prouver et en moins de lignes que l'habituel argument (Steinitz) pour les corps
Il suffit de réaliser que si c'était faux il y aurait des matrices ayant leurs lignes libres alors même que le nombre de lignes serait GIGANTESQUE comparé au nombre de colonnes. De mon téléphone.
Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $K$, $(e_1,..,e_n)$ une famille génératrice et $(u_1,..,u_p)$ une famille libre.
Pour chaque $i$, il existe $a_i\in K^n$ tel que $u_i = \sum_j a_i(j)e_j$. Tu obtiens une matrice $M$ dont le coefficient $(i,j)$ est la j ième coordonnée du uplet $a_i$, c'est à dire $a_i(j)$.
Un théorème très général que je t'invite à étudier de très près donne qu'alors forcément :
$$ p\leq n$$
Ce théorème dit que si une matrice a strictement plus de lignes que de colonnes alors ses lignes forment une famille liée d'éléments $K^{NombreDeColonnes}$
Son avantage pour tes neurones est que pour le prouver on n'a besoin ni de l'hypothèse qu'on est dans un corps (ie que tout élément non nul est inversible), ni de celle qui dit que si $uv=0$ alors $(u=0$ ou $v=0)$.
C'est un avantage écologique et sain.
J'attends de voir si tu as envie d'en voir une preuve, car j'estime que tu es libre de vouloir t'en tenir à Steinitz and co si bon te semble. Economiser des hypothèses n'est pas qu'une affaire d'élégance (sinon je ne perdrais pas mon temps à écrire ce post) mais je pense une affaire d'oxygénation des neurones, certes inconsciente chez les jeunes étudiants.
Je parle « en général », bien entendu.
Mais je me souviens des fils « le mystère du déterminant ».
Moyennant pratique du langage la preuve (que j'ai déjà postée) fait 5 à 10 lignes mais l'énoncé est avec des {x| ..}.
1/ prouve par récurrence sur n qu'une matrice ayant 2^n lignes et n colonnes possède ses lignes liées.
2/ prouve que s'il existe un matrice avec ses lignes libres de dim n+1 lignes et n colonnes alors il en existe une avec p lignes et n colonnes pour n'importe quel p.
La seule finesse est qu'il faut (et seulement pour 1/) remplacer {0} par un idéal pour éviter de parler de quotient. Mais ça dépend de l'étudiant.
Dans ce cas c'est l'exo 2/ qui provient de la "puissance linguistique". (Il est aussi évident au langage près).