Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
195 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Classiques L1-L2 trop oubliés

Envoyé par christophe c 
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
23 octobre 2018, 12:07
Je réagis "logiquement" à une intervention de JLT qui fait suite à 2 interventions d'un pseudoté thule, dont la deuxième est au lien suivant:

[www.les-mathematiques.net]

Comme il a été remarqué par paf ainsi que d'une autre manière par Blueberry, une mode actuelle (enfin actuelle hum hum) chez les "bobos" consiste non pas à répondre par des arguments mais par des "je me pince le nez" ou encore "ça picote", etc. Et pas que sur le forum: certains de mes élèves sont venus me voir, très en colère pour me signaler 2 collègues d'HG ne cessent plus de pratiquer ça à chaque cours.

Cette technique rhétorique formelle a été développée principalement par le journal quotidien national "Libération". J'avais donné plusieurs exemples dans le passé dont un en particulier assez spectaculaire où le journal utilisait son audience pour écrire en première page un message vide condamnant une célébrité des milieux intellos: Michel Onfray.

Ce dernier (Michel O) avait écrit je ne sais plus quelle tribune (et quoi qu'on lui reproche, il avait argumenté), je ne sais plus où, et pour seule réponse Libé l'avait accusé de faire le jeu de Le Pen en caractères gras TAILLE 200 (essayez avec un traitement de texte pour voir) en guise de seule réponse. En intérieur du journal, un article factice faisait semblant de contre-argumenter et était vide.

On avait eu une autre astuce formelle, intéressante en soi, l'an dernier lors des contestations contre parcours sup. Libé avait pondu un article de plusieurs centaines de lignes qui se voulait (et elle était somme toute réussie, selon les critères de tolérance scientifique face à ces sujets de société) une preuve que le pouvoir souhaitait ré-introduire.... un peu de sélection (bien sûr Libé oubliait le "un peu"). Autrement, Libé prenait un air scandalisé pour écrire "nous allons vous prouver que 2=2" en 300 lignes, comprenez que nous avons raison (avec un sous-entendu "donc révoltez-vous"))"

Je ne veux pas en poster trop long, mais il y a comme ça entre 15 et 20 grandes familles d'astuces logiques servant à hypnotiser les lecteurs à à nuire à l'adversaire sans JAMAIS répondre à ce qu'il signale. La période que nous vivons invite pourtant sérieusement les gens de bonne volonté à ne plus les utiliser à vide, car on voit bien que ça ne marche plus tellement (le PS a fait 6%, JLM et LP sont en train de négocier une alliance, etc, bref c'est très instable), mais surtout si on continue, on aggrave une capacité à débattre sainement dans une période où on risque gros.

Bref, du coup, je suis un peu tristounet que JLT se soit abaissé à répondre à Thule qui n'est rien d'autre qu'un intervenant qui tente de censurer par la force un intervenant auquel il ne sait pas répondre par des arguments.

Je rappelle que Ramon émet deux grandes idées, dont l'une est bien vraie et l'autre inopérante:

1/ dénonce de manière en fait trop "gentille" une situation bien réelle (et bien plus grave qu'il ne la décrit). Il n'y a qu'à voir (et ce n'est qu'une toute petite fumée inoffensive) ce que le hashtag "pas de vague" vient de déclencher.

2/ Il propose une solution qui ne marche pas: un retour à un système qui en réalité était déjà le système d'aujourd'hui (les BOEN n'ont pas tellement changé, donner punitions était déjà interdit, etc), et n'a fait que juste prendre un peu de temps pour révéler qu'il ne marche pas. Réparer l'école ce n'est pas retourner (donc ne rien changer) aux règles d'une époque, mais simplement prendre conscience qu'il faut professionnaliser le métier et construire sainement les RAPPORTS DE FORCE entre les acteurs (puisque l'époque où les uns faisaient sans y être contraints par la force des courbettes aux autres est terminée (et elle AVAIT VOCATION à ÉCHOUER!!! un jour de toute façon)

Donc même si dans la partie (2), on voit un Ramon qui se trompe, je ne vois pas en quoi on devrait s'abaisser à perdre des minutes de sa vie à répondre à un gars (thule) qui n'a en aucune manière répondu à Ramon

Ce n'est que mon avis bien sûr!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
23 octobre 2018, 12:18
J'en profite pour donner quelques précisions sur le post qui se trouve avant celui qui est avant le présent post. La réforme des programmes.

1/ Ne postant plus que dans L et F, j'ai plus de temps pour intervenir sur d'autres canaux. En particulier, je me suis forcé à me spécialiser dans la dénonciation du "corrigé donné avant l'épreuve (CDAL)". Et j'ai fait ce que j'ai pu pour aider les acteurs concernés (ça fait du monde: les enseignants de science à tous les niveaux à partie du lycée) à verbaliser la chose et s'auto-dégouter.

2/ Les progammes "exigeant" envoyés sur les réseaux sociaux pour prendre le poul sont assez effrayant en ce qu'ils révèlent une coupure totale des personnes qui ont oeuvré à leur production d'avec le terrain et le réel.

3/ Je ne suis bien sûr pas contre l'exigence, mais on ne réintroduira pas les maths dans l'enseignement secondaire avec des yaka

4/ Le fléau CDAL est naturel et est devenu une "arme de poche" pour CHACUN des acteurs du système. Donc quand un acteur, QUEL QU IL SOIT se retrouve pressé par des contraintes, il le dégaine SUR LE CHAMP

5/ En conséquence de quoi, infliger à des enseignants qui peinent, en secret, quand ils ne sont pas en train d'informer leur classe du corrigé de la prochaine interro, à réapprendre le CM1 à leur classe dans une ambiance coupable, mais sereine, l'exigence de réciter les preuves de la formule de Stokes ou du grand théorème de fermat ne pourra que SCELLER encore plus leur utilisation de CDAL. Donc aggravera CDAL (alors qu'il faudrait un jour l'éradiquer avec UNE LOI PENALE).

6/ Bref, l'intelligence au sommet du pouvoir n'a pas l'air d'être une denrée facile à trouver.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 octobre 2018, 14:28
De mon téléphone d'un bar ça ne me coûte que 8 clic et 22 secondes de partager. (La présente parenthèse est retirée du décompte : à la suite d'un changement de direction , l'ancien voulant savonner la planche de la nouvelle , tout le monde a pu passer en S (sauf ceux qui ont refusé). Je dois donc tenter de "sauver le bac" de ces élèves initialement "stmg-like")

[blog.ac-versailles.fr]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 octobre 2018, 14:29
Comme quoi on s'amuse dans la fonction publique grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 octobre 2018, 15:27
Flûte ! Ton lien pointe sur ton message qui point sur ce lien...
Une mise en abyme, quoi winking smiley
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 octobre 2018, 19:04
Non, non, vérifie ton dossier "téléchargement". J'ai juste pointé directement vers le fichier au lieu d'envoyer vers le blog.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 octobre 2018, 19:41
Au temps pour moi, un pop-up bloqué etc.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 octobre 2018, 19:45
Pour mon CDT (blog) tu peux taper "mathcommun" en un seul mot sur google de toute façon. C'est ensuite facile de se balader (ily a une liste de rubriques à droite)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
01 novembre 2018, 14:10
Pour info, l'auteur de ce post [www.les-mathematiques.net] y commet pas mal de maladresses pour ne pas dire de fautes. Il n'a pas l'air de s'apercevoir de ça et prétend produire un "argument simple".

L'argument n'est pas "plus simple" et depuis le début de son fil, il ne semble pas du tout enclin à déplier les abréviations (par exemple les lecteurs ignorant ce que signifie "système fondamental de" en seront pour leur frais).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
01 novembre 2018, 20:25
De mon téléphone: à propos de mon post précédent il y a un nom pour désigner les espaces vérifiant le lemme de l'auteur du post en lien mais je ne sais plus lequel (un peu moins que "normal" peut être "complètement régulier". Suis sur l'autoroute je ne vais pas googler grinning smiley )

Et quand bien même (les espaces compacts et séparés sont normaux) l'auteur aurait juste oublié l'hypothèse dans son lemme de toute façon la preuve (du lemme) prend autant de place que son résultat désiré tout entier.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
03 novembre 2018, 10:02
Je viens de faire wikipédia: [fr.m.wikipedia.org])

La propriété évoquée s'appelle T3.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
04 novembre 2018, 12:13
De mon téléphone

Dans le fil
[www.les-mathematiques.net]

je trouve que Yves est un peu froid dans sa réponse. Oui il n'y a pas de fonction analytique générale mais 1) c'est mieux de le prouver et 2) la racine carrée du carré d'un nombre n'est pas analytique et pourtant on peut appeler ça une formule "cool" pour désigner la valeur absolue.

Donc si quelqu'un s'ennuie il peut enrichir le fil concerné grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 04/11/2018 12:14 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
04 novembre 2018, 13:10
Je rappelle quelques curiosités (valables sur de gros domaines) en relation avec mon post précédent :
$\sqrt{x^2} = |x|$
$|x| + x = \max(0,2x)$

$ |x|/x = (\text{if}\ x>0\ \text{then}\ 1\ \text{else}\ (-1))$

Pour tout $x\in \{0;1\}$ on peut ré-écrire
$<<$ if $x$ then $a$ else $b>>$
en
$ax+b(1-x)$

Etc, etc.
Bref, il y a de quoi compléter et enrichir la réponse de Yves.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 2 fois. Dernière modification le 04/11/2018 14:23 par AD.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
04 novembre 2018, 13:23
Je documente deux fils à propos des points de vue rédactionnels, car on y voit les auteurs en demande, peiner avec la rédaction à des titres divers. J'essaie de ne pas faire redite avec les réponses apportées par d'autres experts.

Dans ce fil: [www.les-mathematiques.net]

il y a déjà la convention anglaise "WLOG" qui en français s'écrit "sans perte de généralité, on peut" qui serait utile à l'auteur. Il aurait pu commencer par dire (en le justifiant), $<<$ on peut supposer que $m([0,1]) = 1>>$.

Après quoi, il y a la prise de recul c'est à dire le fait de prouver un truc légèrement plus général en moins de lignes. L'auteur aurait pu dire:

$<<$

1/ je vais prouver que $m([a,b[) = max(0,b-a)$, pour tous nombre $a,b$

2/ je vais prouver (ou utiliser que) deux mesures qui coincident sur $S$ coincident sur la tribu engendrée par $S>>$



Dans ce fil : [www.les-mathematiques.net]
que j'ai déjà évoqué,

1/ l'auteur ne précise jamais formellement ce qu'il souhaite prouver, on est tout en sous-entendu. Il souhaite prouver que si tout point a un voisinage compact alors tout point a un système fondamental de voisinages compacts, mais saurait-il énoncer formellement ce que cette dernière phrase en français veut dire.

2/ L'auteur "saute sur" le fait que les espaces compacts sont $T_3$. Oui mais, ... il est mieux de le prouver. Wiki donne de nombreux contre-exemples concernant les propriétés de séparation.

Remarque: on peut le prouver sans axiome du choix, et c'est même plus sain car ça désintoxique les étudiants de la manie des indices de la forme $<<$ pour chaque $x$, je choisis $Machin_x$ tel que$>>$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
04 novembre 2018, 13:31
Je publie le MP que j'ai envoyé à ArnaudG:

Citation
moi-même
Je te réponds sur mon système de notation à propos de ta question:

1/ Je mets tous mes exercices sur 3, ce qui ne veut pas dire que je m'interdis de mettre 4, voire 5 à une réponse exceptionnellement bien prouvée.

2/ La solution que tu recopies, je lui mets 3 points si elle tombe sur une copie que je corrige, face à la question

3/ L'exigence d'une réponse formelle serait ici peu cohérente, puisque la question elle-même est vague et informelle (que veut dire route, etc)

après avoir lu son fil : [www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
05 novembre 2018, 10:39
Je re-commente [www.les-mathematiques.net] fil global déjà commenté.

L'intuition provenant de la notion de limite est pertinente, mais la rédaction exprimant une notion de limite est redondante.

Il suffirait à l'auteur de dire : $$m([a,b])\leq m([c,d])\leq m([e,u])$$ dès lors que $$[a,b]\subset [c,d]\subset [e,u]$$ En l'exploitant avec $a,b,e,u$ dans $\Q$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 05/11/2018 14:29 par AD.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
06 novembre 2018, 22:10
A propos de ce fil: [www.les-mathematiques.net]

je vais refaire une remarque qui me semble être faite assez régulièrement. Pour autant que je me souvienne de gens qui ralaient il y a quelques années, il semble que le programme des prépas donne une définition fausse de la compacité (en parlant de suites).

Je rappelle (comme plein d'autres l'ont fait 2035643 fois avant moi) qu'un espace est compact quand tous ses recouvrements ouverts admettent des sous-recouvrements finis et (à la française) il est séparé.

Dans le fil en lien il n'y a quasiment rien à prouver, et le fait que ce soit $\R$ ou un ensemble totalement ordonné quelconque ne change rien à l'affaire à cause du recouvrement $a\mapsto [X_a:=\{x\in K\mid f(x)<a\}]$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
12 novembre 2018, 22:28
En complément de ce que dit Poirot dans [www.les-mathematiques.net]

Il est vrai dans ZF que B non mesurable et mesure(A)>0 entraine l'existence d'un translaté de B dont l'intersection avec A n'est pas mesurable (Lebesguement).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
08 dcembre 2018, 15:09
Je fais écho à la question de samok, qui a posté exprès son fil en dehors de L et F et ironise là dessus.

[www.les-mathematiques.net]

Il est bien connu et très classique qu'on peut écrire la totalité des maths dans divers langages de connecteurs qui ne contiennent pas l'implication: en voici une liste.

$\{et; non; \forall \}$

$\{ou; non; \forall \}$

$\{et; +; \forall \}$

$\{ou; +; \forall \}$

$\{et; =; \lambda \}$

$\{ou; =; \lambda \}$

$\{nand; =; \lambda \}$

$\{nand; \forall \}$

etc, etc, ce n'est pas exhaustif.

Je rappelle aussi que dans le secondaire l'implication n'est quasiment jamais utilisée car interdite par le pédagogisme d'une part et non maîtrisée par les enseignants d'autre part (j'ai même été attrapé par le colbac devant tout le monde par un monsieur, pourtant gentil, qui s'est pluss qu'excusé et amendé ensuite, et même jusqu'à réclamer qu'on me remercie ensuite (je ne peux que le dire que comme ça, devoir de réserve, il a fait pluss, qui était prof de math et parent d'élève: motif, il pensait que j'avais donné à prouver un truc faux, alors qu'il était vrai)

Il ne faut pas confondre l'implication et la déduction (la confusion est un peu faite dans le fil de samok). De plus même la déduction peut être retirée des maths pour des raison un peu similaires, mais quand-même assez différentes, en se plaçant dans des systèmes, là aussi naturels et simple, où c'est l'équivalent déductif du signe $=$ qui prendrait place. Mais à la différence de substituts à l'implication qui ne coutent rien en nombres de symboles, les substituts à la déduction coûtent cher.

Tout repose sur :

$$ (a\to b) = ((a\wedge b)=a) = ((a\vee b) = b) $$

qui, quand on remplace " A donc B" par un calcul qui s'écrit "A séparation ((A et B)=A)" oblige à écrire A deux fois.

Il y a aussi une autre raison, bien plus profonde, qui est que ce que je viens de dire, ne passe pas à la logique intuitionniste, où le signe implique est congénitalement nécessaire à cette logique (en fait, cette logique n'existe que parce qu'elle gère presque à minima ce signe)

Je rappelle que tout théorème de maths $P$ s'obtient avec une preuve de la forme

"......; donc A; donc A ou B; donc....; Faux ou C; donc C; ...... ; donc P"


autrement dit, est un cas particulier d'évidence. En théorie il n'y a rien dans les maths que des "A donc (A ou B)". Par contre, en pratique, il y a un petit ésotérisme, tantôt utile à la concision, tantôt par snobisme, qui "fait rêver" à du transcendantal les gens au début de leurs études, avec des mots savants comme "raisonnement par l'absurde", "raisonnement par contraposée", etc, ce qui conduit, d'une part:

1/ Le secondaire à s'être crashé en croyant qu'insister sur "le fond" allait séduire (avec comme crash qu'on est sorti des maths en sortant du déductif)

2/ Le supérieur à démarrer en "faisant peur" aux élèves de mpsi qui pensent qu'il y aura beaucoup à travailler

Mais c'est autre chose.

Bref: la présence forte de l'implication n'est que la présence forte de la notion d'ordre, ie, même si non dits, les choses pourraient être mot à mot réécrites en :

$$a\leq b\leq c\leq \dots \leq z$$

quand on prouve $a\leq z$, et le fait qu'on note $\Rightarrow$ plutôt que $\leq$, mais surtout qu'on utilise "donc" plutôt qu'une écriture sous la forme $A\Rightarrow B\Rightarrow C \Rightarrow \dots$ sont en fait, assez contingentes (mais utiles).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 08/12/2018 15:09 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
08 dcembre 2018, 15:13
Précision-rappel: $\{=; \lambda\}$ et $\{=; \forall ; \lambda\}$ sont equiexpressifs, via:


$$ [\forall xR(x)]: = [(x\mapsto R(x)) = Constante(vrai)]$$

De plus, $\{\to ;\forall\} $ produit $=$ via:

$$ [u=v] := [\forall x: (x(u)\to x(v))] $$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
15 janvier 2019, 11:00
De mon téléphone en écho à un fil d'algèbre je signale une remarque: si un anneau n'est pas intégre l'élément singulier a fournit le polynôme de degré 1 aX (indéterminée X) comme ayant 2 racines. Et l'anneau n'a pas besoin d'être commutatif pour dire ça.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
15 janvier 2019, 15:13
Citation
christophe c
1 aX (indéterminée X) comme ayant 2 racines.
Bien vu. Bon mon exemple est unitaire :D

Citation
christophe c
Et l'anneau n'a pas besoin d'être commutatif pour dire ça.
Il y a un certain nombre de gens qui ont des réticences à parler de polynômes dans le cadre non commutatif. Il y a des différences notables entre une algèbre non commutative libre sur un anneau (même commutatif) et une algèbre de polynômes.
Quel est le degré de $XaXX+X^3+X(aX+X^2)$ où $X$ est une indéterminée et $a,b$ dans l'anneau?
Si $\bf H$ est le corps des quaternions connaît-on une base naturelle de "$\mathbf H[X]$"?
Noter que l'ensemble des zéros de la fonction $x \in \mathbf H \mapsto x^2-1$ est infini (EDIT: non, ce polynôme n'a que 1 et -1 comme racines. On peut le voir en assimilant $\bf H$ à un ensemble de matrices $2\times 2$, en diagonalisant une solution et en étudiant son déterminant). En revanche, $X^2+1$ a bel et bien une infinité de racines), invalidant l'équivalence entre les énoncés "tout polynôme à coefficients dans $A$ de degré $d$ a au plus $d$ racines" et "$A$ est sans diviseurs de $0$" lorsque $A$ n'est pas commutatif.



Modifié 3 fois. Dernière modification le 16/01/2019 07:46 par Foys.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
15 janvier 2019, 23:07
Citation
foys
Bon mon exemple est unitaire :D

C'est vraiment dommage que le smiley "chope de bière" ait disparu du forum... smoking smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
09 fvrier 2019, 10:34
Je fais écho à ce fil en répétant de mon téléphone une chose que j'ai radote 4752928 fois grinning smiley car ça semble être un ma que INVOLONTAIRE dans le premier cycle.

On utilise l'inversibilite des éléments d'un corps non nuls devant les étudiants pour établir ce qui est discuté dans le fil

[www.les-mathematiques.net]

Ce qui donne une "mauvaise preuve" donnant une impression que l'hypothèse d'intégrité est nécessaire.

Je rappelle donc que pour tout anneau commutatif une matrice ayant plus de lignes que de colonnes à ses lignes liées et qu'on peut le prouver et en moins de lignes que l'habituel argument (Steinitz) pour les corps

Il suffit de réaliser que si c'était faux il y aurait des matrices ayant leurs lignes libres alors même que le nombre de lignes serait GIGANTESQUE comparé au nombre de colonnes. De mon téléphone.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 09/02/2019 10:35 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
09 fvrier 2019, 11:38
Je copie-colle ici un MP que j'envoie à "apprenti" (enfin j'envoie le lien).

Soit $E$ un espace vectoriel sur le corps $K$, $(e_1,..,e_n)$ une famille génératrice et $(u_1,..,u_p)$ une famille libre.

Pour chaque $i$, il existe $a_i\in K^n$ tel que $u_i = \sum_j a_i(j)e_j$. Tu obtiens une matrice $M$ dont le coefficient $(i,j)$ est la j ième coordonnée du uplet $a_i$, c'est à dire $a_i(j)$.

Un théorème très général que je t'invite à étudier de très près donne qu'alors forcément :

$$ p\leq n$$

Ce théorème dit que si une matrice a strictement plus de lignes que de colonnes alors ses lignes forment une famille liée d'éléments $K^{NombreDeColonnes}$

Son avantage pour tes neurones est que pour le prouver on n'a besoin ni de l'hypothèse qu'on est dans un corps (ie que tout élément non nul est inversible), ni de celle qui dit que si $uv=0$ alors $(u=0$ ou $v=0)$.

C'est un avantage écologique et sain.

J'attends de voir si tu as envie d'en voir une preuve, car j'estime que tu es libre de vouloir t'en tenir à Steinitz and co si bon te semble. Economiser des hypothèses n'est pas qu'une affaire d'élégance (sinon je ne perdrais pas mon temps à écrire ce post) mais je pense une affaire d'oxygénation des neurones, certes inconsciente chez les jeunes étudiants.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 09/02/2019 11:41 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
09 fvrier 2019, 14:54
Oui merci, je suis bien intéressé par une preuve de ce théorème.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
09 fvrier 2019, 20:32
Avec plaisir mais dis moi à quel niveau d'études tu es et si tu es dans une fac cool ou dans une mpsi "big exigences" pour que j'adapte la rédaction. De mon téléphone

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
09 fvrier 2019, 20:38
En effet Christophe, c’est amusant de dire que la preuve ne prend que quelques lignes s’il faut sortir des outils et notions dont les définitions et les théorèmes sont longs à dérouler (toutes proportions gardées).

Je parle « en général », bien entendu.

Mais je me souviens des fils « le mystère du déterminant ».
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
09 fvrier 2019, 21:40
De mon téléphone. Je parle de "longueur formelle". Autrement dit si l'étudiant est un "parfait inspecteur de deductions" ça va mais humainement si l'étudiant par exemple ne connait pas (c'est hélas devenu terriblement fréquent) la notation {x | ...} ou les quantificateurs on tombe dans des obstructions purement affectives.

Moyennant pratique du langage la preuve (que j'ai déjà postée) fait 5 à 10 lignes mais l'énoncé est avec des {x| ..}.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
09 fvrier 2019, 21:54
Je peux de mon téléphone de toute façon te proposer (à toi dom mais peut être à apprenti) deux exos "routiniers" qui sont suffisant.

1/ prouve par récurrence sur n qu'une matrice ayant 2^n lignes et n colonnes possède ses lignes liées.

2/ prouve que s'il existe un matrice avec ses lignes libres de dim n+1 lignes et n colonnes alors il en existe une avec p lignes et n colonnes pour n'importe quel p.

La seule finesse est qu'il faut (et seulement pour 1/) remplacer {0} par un idéal pour éviter de parler de quotient. Mais ça dépend de l'étudiant.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
09 fvrier 2019, 22:00
Remarque: et si tu restes dans un corps en plus cette preuve est bien plus digeste que l'usine à gaz Steinitzienne (et pas besoin d'idéaux). Il suffit de lire l'énoncé pour quasiment le trouver évident puisque ce n'est que la réplique de la dimension 2 croix 1

Dans ce cas c'est l'exo 2/ qui provient de la "puissance linguistique". (Il est aussi évident au langage près).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
10 fvrier 2019, 13:31
Etant sur un pc, je te (apprenti) donne une preuve qui parle d'applications linéaires. J'attends de voir ta réaction pour compléter. Je reste dans un corps (la preuve que je donne se modifie d'un epsilon pour être valable dans tout anneau, mais je ne sais même pas encore si tu connais ce mot).

Soit $K$ un corps; $n$ un entier naturel non nul. Je considère que tu connais les opérations suivantes:

$+: K^n\to K^n$ et
$. : K\times K^n\to K^n$

J'abrège $E:=K^n$. Tu n'as besoin d'envisager, quand j'écrirai $F$ qu'il s'agit d'autre chose que de $K^p$ avec éventellement un autre entier que $n$, mais c'est tout.

$<<f$ est une application linéaire de $E\to F>>$ abrège $<<f$ est une application de $E\to F$ telle que pour tous $x\in K, u,v$ dans $E: f(xu+v) = xf(u) + f(v)>>$.

1/ Pour t'éviter de lire des choses trop abstraites, je vais de prouver que s'il n'y a pas d'injection linéaire de $K^n$ dans $K^6$ alors il n'y en a pas non plus de $K^{2n}$ dans $K^7$.

Bien évidemment, tu comprendras (enfin j'espère) à lecture de l'argument que ça vaut pour tous $n,p,n+1, 2p$ venant remplacer $6,n,7,2n$.

2/ La preuve: soit $f$ une injection linéaire de $K^{2n}$ dans $K^7$. Soit $u$ non nul de $K^n$ et $r\in K$ tel que $f(u_1,...,u_n,0,0,..,0) = (0,0,0,0,0,r)$. Soit $v$ non nul de $K^n$ tel que $f(0,0,....,0,v_1,...,v_n) = (0,0,0,0,0,s)$. Alors $f(w)$ est le vecteur nul de $K^7$, où $w : = (su_1,..,su_n,-rv_1,..,-rv_n)$

3/ Maintenant je te prouve que s'il y a une injection linéaire de $K^9$ dans $K^8$ alors il y en a aussi une de $K^{10}$ dans $K^8$. Je te laisse (c'est trivial) voir pourquoi ça entrainera alors qu'il y en a une de $K^p$ dans $K^8$ pour tout $p\geq 9$.

Soit $f$ une injection linéaire de $K^9$ dans $K^8$. Voici la définition d'une injection linéaire $g$ de $K^{10}$ dans $K^8$: partant de $(x_1,..,x_{10})$, on utilise $f$ pour obtenir $(y_1,..,y_8):=f(x_1,..,x_9)$, puis on prend $g(x_1,..,x_{10}) := f(u_1,..,y_8,x_{10})$.

4/ Je te laisse comme exercice de voir que ces arguments établissent que pour tous entiers $n,p$ s'il y a une injection linéaire de $K^n$ dans $K^p$ alors $n\leq p$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
10 fvrier 2019, 14:28
Soit $K$ un corps (non nécessairement commutatif), $E$ un espace vectoriel (à gauche) sur $K$, $m,n\in \N$, $f_1,...,f_n, e_1,...e_m \in E$. On suppose que $(e_1,...,e_m)$ est libre et que pour tout $k$, $e_k$ est dans le sous-espace engendré par $f_1,...,f_n$ (autrement dit pour tout $k\in \{1,...,n\}$, il existe $\alpha_{k,1},...,\alpha_{k,n}\in K$ tels que $e_k = \sum_{i=1}^n \alpha_{k,i} f_i$).
Alors $m \leq n$.

On va le prouver par récurrence sur $m$. On considère donc $(\alpha_{i,j})_{1 \leq i \leq m,1 \leq j \leq n}$ comme dans l'énoncé.

Si $m=0$ le résultat est évident (toute famille vide est libre).
Si $m \geq 1$:
On ne peut avoir $n=0$ sinon les $e_1$ serait nul (impossible pour une famille libre). On distingue deux cas:

1° $\alpha_{k,n}=0$ pour tout $k \in \{1,...,m\}$. Alors $e_1,...,e_m$ (et donc a fortiori $e_1,...,e_{m-1}$) est dans l'espace engendré par $f_1,...,f_{n-1}$. Comme $e_1,...,e_{m-1}$ est libre, on a (hypothèse de récurrence) $m-1 \leq n-1$ et donc $m \leq n$

2° Il existe $k$ tel que $\alpha_{k,n} \neq 0$. Quitte à permuter les termes de $e_1,...,e_m$, on peut supposer que $k=m$. Alors (cf détails plus bas)$\displaystyle{\left (e_p - \frac{\alpha_{p,n}}{\alpha_{m,n}} e_m\right )_{1 \leq p \leq m-1}}$ est une famille libre(i) dont les termes (ii) appartiennent à l'espace engendré par $f_1,...,f_{n-1}$; et à nouveau on a $m-1 \leq n-1$ par hypothèse de récurrence et donc $m \leq n$.

Preuve de (i): soient $\lambda_1,...,\lambda_{m-1}$ tels que $\displaystyle{\sum_{p=1}^{n-1} \lambda_p\left (e_p - \frac{\alpha_{p,n}}{\alpha_{m,n}} e_m \right ) = 0}$. Alors
$$ \sum_{p=1}^{m-1} \lambda_p e_p + \left( - \sum_{i=1}^{m-1} \lambda_p \frac{\alpha_{p,m}}{\alpha_{m,n}}\right ) e_m = 0$$
ce qui entraîne (liberté de $(e_1,...,e_m)$) $\lambda_1 = ... = \lambda_{m-1}$.

Preuve de (ii): Pour tout $p\in \{1,...,m-1\}$, on a $$\begin{align}
e_p - \frac{\alpha_{p,n}}{\alpha_{m,n}} e_m & = \sum_{i=1}^n \alpha_{p,i} f_i - \frac{\alpha_{p,n}}{\alpha_{m,n}}\sum_{i=1}
^n \alpha_{m,i}f_i \\
& = \sum_{i=1}^{n-1} \left (\alpha_{p,i}-\frac{\alpha_{p,n}}{\alpha_{m,n}} \alpha_{m,i}\right ) f_i + \left (\alpha_{p,n}-\frac{\alpha_{p,n}}{\alpha_{m,n}} \alpha_{m,n} \right ) f_n \\
& = \sum_{i=1}^{n-1} \left (\alpha_{p,i}-\frac{\alpha_{p,n}}{\alpha_{m,n}} \alpha_{m,i}\right ) f_i
\end{align} $$

D'où le résultat.


*********************

Commentaires à suivre (je suis occupé) mais
-Cette preuve n'est rien d'autre que l'application du pivot de Gauss
-(de mémoire, ça doit se trouver dans Bourbaki algèbre chap I à III en exo) il existe un anneau non commutatif $A$, et un $A$-module ayant des bases finies de cardinal différent.
Donc le fait qu'on peut diviser compte (ou alors il faut la commutativité)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/02/2019 15:07 par Foys.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
10 fvrier 2019, 14:35
Merci pour ta contribution foys, on voit la différence entre les deux arguments (même en corrigeant un peu les différences de complétude), heureusement que tu es passé, j'ai failli la poster pour justement montrer les quantités de symboles. Tu m'économises pas mal de minutes de ma vie là, je te dois un gros bisous!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
10 fvrier 2019, 14:40
J'en profite pour expliquer à apprenti l'autre raison pour laquelle la preuve verte est mieux. Elle s'étend à tout anneau commutatif sans quasiment aucun changement.

Je te donne les changements à faire:

Au lieu de parler de triplet $(A^n,A^p,f)$ où $f$ est injective de de $A^n$ dans $A^p$, tu parles de quintuplet

$$(A^n,A^p,f,J,S)$$

où $J,S$ sont des idéaux de $A$ ne contenant pas $1_A$ et tu remplaces injective par:

$$ \forall u\in A^n: (f(u)\in J \Rightarrow \forall i: u_i\in S )$$

A l'intérieur de l'argument, après avoir obtenu $u$ tel que $f(u_1,..,u_n,0,0,....,0)=(\varepsilon_1,..,\varepsilon_{n-1}, r)$ avec les $\varepsilon_i$ dans $S$ et au moins un des $u_i$ pas dans $S$, le $v$ que tu cherches doit vérifier qu'au moins un des $v_i$ ne soit pas dans l'idéal $\{x\mid rx\in J\}$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/02/2019 14:44 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
10 fvrier 2019, 14:44
Mais faudrait (apprenti) que tu dises où tu en es (je ne sais pas si les mots anneau et idéal te parlent).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
10 fvrier 2019, 20:10
De mon téléphone ayant visité

[www.les-mathematiques.net]

sans donner la réponse à l'étudiante je trouve dommage de partager toute la puissante culture inspirante en lui répondant (ce que font les intervenants). Je note r la fonction racine carrée.

CE N'EST PAS RAISONNER PAR L'ABSURDE que de l'inviter à regarder ce qui se passe si pour tout x (positif) r(x) est majoré par kx= k fois r(x) fois r(x).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 10/02/2019 20:12 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
16 fvrier 2019, 13:22
En réaction et à toutes fins utiles à :

[www.les-mathematiques.net]

je rappelle que la "dérivée honnête" de $f$ est

$$D_f:= (x\mapsto (h\mapsto (f(x+h)-f(x))))$$

Hélas, l'Histoire l'a écrabouillée à des fins de "toujours plus vite"

en parlant directement de $x\mapsto \phi (D_f(x))$ à l'aide d'une $\phi$ extrêmement intelligente et politique, mais qui, avec en plus l'approximation supplémentaire en dim1 pratiquée dans le secondaire de plutôt parler du coef dir de $D_f(x)$, induit bien des attentes-impasses.

L'oubli de "ce rappel" semble être à l'origine de nombreuses questions sur le forum.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 3 fois. Dernière modification le 16/02/2019 13:24 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
16 fvrier 2019, 13:35
Je n'ai pas tout lu du fil [www.les-mathematiques.net]

Mais comme le forum est grand, je remets un classique en post récent:

Si un polynôme unitaire à coefficients entiers $P$ a une racine rationnelle alors il a une racine entière.

"Preuve": soit $up+vq=1$ avec $u,v,p,q$ dans $\Z$ et $r: =\frac{p}{q}$ tel que $r^7 = a_6r^6+..+a_1r+a_0$. Alors :

$$ \frac{p ^7}{q} = a_6p^6 + \dots a_1pq^5+a_0q^6$$

Donc ... exo ... $r\in \Z$.




EDIT:
Je complète un peu. Si $ua+vb = 1$ alors (collège) $(u^2a + 2uvb)a + v^2b^2 = 1^2 =1$ dont découle que si je note $Bez(a,b):=(\exists x,y: xa+yb=1)$, on a $Bez(a,b)\to Bez(a,b^2)$ et ainsi de proche en proche, ayant supposé $Bez(p,q)$, on obtiendra $Bez(p^6,q)$ donc existence d'entiers $x,y$ tels que $xp^6+yq=1$ donc tels que $xkq+yq=1$ avec $k:=p^6/q$ déduit entier dans l'argumentation précédente de sorte que $(xk+y)q=1$ donc $q\in \{1;-1\}$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/02/2019 11:42 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
16 fvrier 2019, 13:41
grinning smiley

Dans ce fil, [www.les-mathematiques.net] ,

une turpitude numéro 234566345 de l'enseignement secondaire. Je redonne donc un exo que je donne souvent, qui prouve irréfutablement le caractère "turpitude" de l'évènement.

Prouver que l'énoncé à prouver dans le lien EST EQUIVALENT à l'axiome de récurrence

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 151 841, Messages: 1 545 273, Utilisateurs: 28 380.
Notre dernier utilisateur inscrit soumiamaths.


Ce forum
Discussions: 2 631, Messages: 53 678.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page