Classiques L1-L2 trop oubliés

Merci à vous 2, oui j'étais au courant pour ce que tu dis Poirot et à dom, tu m'apprends peut-être un truc, je connaissais l'expression, mais la voyais comme juste un mot vide qualifiant certaines formes de récurrence.

Ce qui me parait vraiment primordial, ici, n'est pas tant le profil global de la preuve, mais le fait qu'elle EVITE les propriétés arithmétiques de $\Z$. A vue de nez, ça ne "devrait même pas être possible d'exister" pour une telle preuve. En y regardant de plus près, elle utilise 2 fois l'archimédianité de $\R$, donc installe une récurrence partielle qui ne se voit pas.

A noter que la récurrence*** (enfin archimédianité déléguée) pour ramener un entier algébrique à un nombre dans $]0,1[$ est beaucoup plus forte que celle qui fait tendre $x^n$ vers $0$ avec $n$, puisque cette limite s'en va exponentiellement.



*** j'en profite pour "finir" pour les lecteurs "débutants" éventuels: Soit $x$ solution d'une équation algébrique $[P(z)=0$ ; inconnue $z]$ UNITAIRE à coefficients entiers. Alors il existe $k$ entier tel que $x+k\in ]0,1[$ et comme $y:= x-k$ est solution de $[P(z+k) = 0 $ ; inconnue $z]$, il est aussi algébrique.

Je partage un ptdr: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1914030,1914336#msg-1914336

citation de xax: "homo tapi" :-D

Merci pour ce moment de rigolade.

Rien à voir dans un fil récent je signalais 2 preuves vues sur le forum très différentes, d'un même résultat, et ai écrit à A.Prouté qui défend l'idée d'au plus une preuve sémantique par énoncé. Il m'a répondu et j'ai fouillé sa page et trouvé ce très intéressant pdf de 32 pages écrit par lui. Je suis bien entendu en désaccord partiel avec ce qu'il dit, mais je pense que la lecture de son pdf est très instructive pour les gens qui ne font pas de logique.

J'en donne une preuve: soit $S$ un ensemble commutatif de fonctions croissantes. Soit $a$ la borne inférieure de l'ensemble $L$ des $x$ tels que $\forall f\in S: f(x)\leq x$. Soit $f\in S$.

Soit $f\in S$.

$a$ minore $L$. Soit $x\in L$. Alors $a\leq x$, donc $f(a) \leq f(x) \leq x$. Donc $f(a)$ minore $L$ donc $a\geq f(a)$.

Ceci vaut pour toute $f\in S$, donc $a\in L$ et est son plus petit élément.

Pour prouver que $f(a) \geq a$, il suffit de prouver que $f(a)\in L$. Soit $g\in S$.

$f(a) \geq f(g(a))$ car $a\geq g(a)$. Donc $f(a)\geq f(g(a)) = g(f(a))$, CQFD car ça vaut pour toute $g$. Ainsi $a\leq f(a)$, et finalement $a=f(a)$.

Le lien qui suit est amusant,

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?32,1881388,1919546#msg-1919546

mais hélas il faut être familier du forum. X y dit que les médias ne mentent pas tout le temps. Ce qui est bien avec X, ce sont ses gros sabots: les médias ne mentent pas quand ils disent un truc pour quoi milite X et sinon, ils mentent.

Et j'insiste bien que c'est absolument "parfait" comme concordance depuis que je le vois sur le forum.

Anecdote: une fois grâce à cette perfection, il nous avait mis un lien vers une fausse étude publiée par le point, je crois, ou le nouvel obs, disant que la suppression des notes n'a que des effets positifs. Et en commentaire, il disait "tiens, tiens".

J'aurais dû le remercier, mais je ne sais plus où j'étais car après investigations, il s'est avéré que c'était un gros fake et même pas une escroquerie subtile, mais une arnaque bien lourdingue où d'ailleurs, je ne sais pas, des noms ont failli y laisser leurs plumes de chercheurs (ou les y ont laissé).

1 ans encore plus tard, une élue parentale de mon bahut, si je me rappelle bien, vantait ce truc ou un truc du même genre et j'ai dû mettre une page "attention arnaque" sur mon blog et expliquer que les escroqueries ne sont pas toujours sur des pages internet avec des fonds étoilés et des musiques de sophrologue. Donc quand j'ai lu la remarque de X, juste avant que le fil ne ferme, qu'est-ce que j'ai ri. Merci pour ce moment qui m'a rappelé ces souvenirs.

Evidemment qu'une entité ne ment pas tout le temps, puisque sinon, il suffirait d'inverser son message pour avoir une machine omnisciente (exercice classique). Mais bon, le rappeler quand on a juste envie de soutien lol.

Je réagis au fil suivant par deux questions.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1921622,1922094#msg-1922094

1/ Pappus évoque un énoncé purement affine qui généralise le sujet du fil. Ce serait bien supercool s'il me le donnait :-D (éventuellement en MP, s'li ne veut pas spoiler)

2/ Pourquoi l'argument qui suit, dont j'imagine que tout le monde y a pensé dans le fil n'est-il pas "très légèrement améliorable" pour donner une preuve:

2.1/ Les triangles sont semblables

2.2/ Il existe une bijection affine qui les transforme TOUS LES DEUX en triangles équilatéraux

2.3/ Donc CQFD par suivi continu du film qui emmène le petit sur le gros

J'avoue "piteusement" que 2.2 est peut-être une grandissime fausseté vélléitaire :-S (même si vectoriellement c'est vrai, ça peut tout à fait être affinement faux, je n'en sais rien).

Tiens Martial, tu devrais déjà te régaler avec ça et en plus c'est bien écrit.

http://www.numdam.org/article/SB_1983-1984__26__325_0.pdf

Hélas, je n'ai pas trouvé de confirmation "article officiel" que si toute partie bien ordonnable de IR est dénombrable alors toute partie de IR est mesurable. Mais tu as la réciproque prouvée en détails dans le lien, ce qui suffit pour ton exemple et je suis en cours, donc pas commode de faire des recherches documentaires

Martial, je t'ai dit une bêtise un peu plus haut (bien que ça ne gênait pas vu que tu allais polairement dans l'autre sens). Il se peut tout à fait que omega1 ne s'injecte pas dans IR, bien qu'il y ait des parties non mesurables de IR.

C'est Mattar qui a trouvé la référence: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1923212,1923520#msg-1923520

@Martial: menfin, c'est Anatole! On se fait une bouffe ensemble dès que possible. Et je viens de transférer un msg d'A.Connes à Georges Abitbol qui m'avait signalé un article prétendant invalider sa conjecture***, et Anatole insiste pour que Georges vienne bouffer avec nous (je précise ça en blanc à cause de ma boite MP qui fonctionne pas).

*** qu'AC insiste pour qu'on l'appelle "question de AC" et non pas "conjecture de".

De mon téléphone http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1922684,1923066#msg-1923066

Une remarque faite par Yves semble ne pas avoir été comprise je l'explicite. IL N EXISTE AUCUN THÉORÈME QI DIT QUE L'ENTROPI AUGEMENTE AVEC LE TEMPS.

La physique est symétrique.

Ce qui fait qu'on prétend que le DEUXIEME principe de la thermodynamique est "vrai" (et qu'on le constate chaque jour) vient DE CE QUE NOJS SOMMES DANS UN MONDE TRES ORDONNÉ. Et qu'il se désordonne petit à petit. Nos concepts pragmatiques s'y sont adaptés et émergent "en pratique". C'edt cet ordre "ANORMAL" qui est évoqué sous le sigle "conditions initiales" par Yves. Sauf erreur.

De mon téléphone : oui tu as conscience de ta condition initiale? :-D

Les théorèmes de maths parlent juste d'instabilité de l'ordre quand il est soumis à des modifications aléatoires. Je ne voulais pas nier ça évidemment.

En fait l'entropie est une notion souvent volontairement cachée derrière des apparences très savantes, un peu comme si on avait honte de sa simplicité en quelque sorte naive.

La physique s'en est emparée à la suite de CARNOT et non pas Boltzmann, malgré le grand génie de ce dernier, j'aime bien le rappeler. La "vraie découverte" est celle de Carnot, et la "tentative de rendre ça non étonnant" est l"oeuvre de Boltzmann.

Mais pas mal de choses passent à la trappe, enter autre dans la vulgarisation car, autant en physique classique cette notion n'est qu'un "en pratique" non fondamental, autant en théorie quantique, elle devient fondamentale. Mais hélas, pour beacoup de gens, la théorie quantique c'est juste "le vrai hasard" (au mieux) et le chat de Schrödinger, autrement dit 2 choses qui ont en fait peu à voir avec la vérité puisque l'indétermination quantique est irréductible JUSTEMENT parce qu'elle NE SUIT PAS les lois du hasard et le chat ne donne rien comme présentation (à part une sorte, pour les gens, de paraphrase de la vraie imprévisibilité déjà contenue dans la notion de vrai hasard).

Je rappelle ce qu'est l'entropie (qui est une formalisation d'une notion subjective et assume cette subjectivité: un ensemble $E$ gros peut être partitionné en un petit nombre de morceaux $M_1,..,M_9$. Certains sont gros d'autres non. Cette partition exprime la volonté de ne pas distinguer, pour ce qu'on fait, sur le moment, ou tout bêtement parce qu'il serait couteux de les distinguer des éléments différents (autrement dit, c'est bêtement une relation d'équivalence). L'entropie d'un morceau est par définition le logarithme de son cardinal.

On pourrait tout simplement prendre le cardinal, mais ça feraiit moins stylé. Du coup, le produit de deux ensembles partitionnés va conduire à une additivité et non pas un produit des entropies à cause du log.

Les théorèmes de maths derrière l'augmentation de l'entropie sont triviaux, ils disent que (les éléments de $E$ sont conçus comme se déplaçant dans le temps) qu'un élément pris au hasard aura une plus grosse proba d'aller l'heure d'après dans un gros morceau.

Pour finir, je n'ai pas le temps de plus détailler, les axiomes de la physique sont symétriques par rapport au temps et l'histoire de l'univers racontée à l'envers VERIFIE ces axiomes. Il n'y a donc pas de liaison entropie-temps SANS remarquer que c'est parce qu'on est dans un petit morceau des possibles (ie que notre univers est ordonné anormalement) et que le temps, dans ce paradigme est conçu comme le "ressenti" qu'on "passe" à chaque instant dans de plus gros morceaux.

@xax, ok, je le féliciterai

Rien à voir, je signale, à propos du fil http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1933926,1933926#msg-1933926

que l'énoncé est faux quand on remplace "cercle" par "ellipse" (autrement dit, c'est un phénomène métrique).