Classiques L1-L2 trop oubliés

pldx1 · February 2020

Ah les vieilles badernes.

Tout fiers, 150 ans après, de s'être débandé
au moment fameux.
Fontainebleau pour les fontaine blaireaux,
quelle promotion !

Chanson:
Le Sire de Fisch-Ton-Kan

Il avait un' moustache énorme,
Un grand sabre et des croix partout,
Partout, partout !
Mais tout ça c'était pour la forme,
Et ça n'servait à rien du tout,
Rien du tout,
C'était un fameux capitaine
Qui t'nait avant tout à sa peau,
A sa peau !
Un jour il voit qu'son sabre l'gêne,
Aux ennemis, il en fait cadeau,
Quel beau cadeau !

Refrain
V'la le sir' de Fisch-ton-Kan
Qui s'en va-t-en guerre,
En deux temps et trois mouv'ments,
Badinguet, fisch'ton camp,

Les arguments justes à la sauce Foys,
cela ressemble à "vaut mieux ne pas prendre d'exemples,
cela risque de décrédibiliser... "

Cordialement, Pierre.

xax · February 2020

@Charien le calot existait à la fin des années 80 ça a bien survécu à 1968, un de mes bons amis de lycée s'était fait taupin et m'avait montré des photos.

À l'Université nous avions des faluches et un paillardier plus épais que les œuvres complètes de Grothendieck.

L'épaisseur tient au fait qu'il s'agit de recueils de chants très anciens - par exemple celui difficilement trouvable fait à partir de "Pedicabo et irrumabo" de Catulle dont "le poème, écrit dans un mètre hendecasyllabic, a été jugé tellement explicite qu’une traduction anglaise complète n’a pas été publiée avant la fin du XXe siècle" (selon wikipédia) jusqu'à beaucoup d’œuvres contemporaines qui reprennent les thématiques traditionnelles. Lorsque j'étais en école (où la faluche se porte toujours dans certaines associations) j'avais moi-même écrit un chant mineur "Le Parc" qui a eu un certain succès local mais que la pudeur et le peu d'attrait pour la prison m'obligent à ne pas divulguer.

Le pastiche de chants militaires et coloniaux est effectivement fréquent : "c'est nous les Africains ... " -> "c'est nous les pharmaciens ..." "les paras partent pour l'aventure " -> "les alcoolos partent pour la biture" etc.

P.S. pldx1 je sais pas ce que t'a fait Foys, mais Grothendieck non plus n'était pas connu pour donner beaucoup d'exemples :-)

JLT · February 2020

<modérateur on>
Veuillez rester sur des discussions mathématiques.
<modérateur off>

christophe c · February 2020

Euuuuj c'est mon fil :-D donc je soutiens JLT même si je suis occupé à des activités plus dangereuses *** en ce moment

J'ai bien (de mon téléphone) tes explications GBZM sur ce qu'a fait pldx avec ses coniques PARTICULIÈRES c'est à dire telles que, je pretends le deviner sans preuve :-D , il existe un repère (et une droite à mettre à l'horizon) pour qu'elles deviennent 3 cercles et tu m'avais deja expliqué une simplification de "comment voir de l'euclidien" directement dans le projectif, mais j'ai oublié.

J'en viens à une question: quelle hypothèse FORMELLE ET ESTUDIANTINE ajouter pour obtenir cette particularité (sans parler de cubiques)?

http://blog.ac-versailles.fr/mathcommun/index.php/archive/2020/02

GaBuZoMeu · February 2020

L'histoire des trois cercles est un cas particulier de l'histoire de trois coniques ayant deux points en commun (dans le cas des cercles ces points communs sont les points cycliques). Sous des aspects métriques, c'est donc en fait une propriété des coniques projectives.

christophe c · February 2020

Merci, mais je ne comprends pas, n'ayant pas reçu de formation à la géométrie à l'ancienne (même si j'adore en tant qu'amateur, la géométrie projective).

Ce que je comprends et qui est évident c'est qu'il existe "bien plus de triplets de coniques" qui marchent que les triplets de cercles seuls. Ca d'accord. D'où ton utilisation de l'expression "cas particulier".

Deuxième truc qu'il me semble comprendre (mais pas sûr) est que tu dis qu'une fois "prolongés" (mais comment prolonge-t-on un cercle?) il existe une ensemble de cardinal 2 inclus dans les 3 coniques implique que ça marche (ie la concourance des 3 droites). Cmme tu vois, je suis peut-être hors sol là.

Je ne comprends pas comment le "sous des aspects métriques" suivi d'un virgule s'associe à ce qu'il y a après.

tu peux prendre ton temps pour me prendre par la main. Je ne suis pas très pressé ni très en forme.

GaBuZoMeu · February 2020

Ce que tu ne comprends pas, c'est qu'un cercle est une conique réelle dont l'intersection avec la droite de l'infini est formée des deux points cycliques. Comme je l'ai déjà écrit, les points cycliques sont les points à l'infini dans les directions de pente $i$ et $-i$. Ça revient à dire qua la partie homogène de degré $2$ dans l'équation d'un cercle est $x^2+y^2=(y-ix)(y+ix)$.

Les trois cercles de l'histoire sont donc bien des coniques ayant deux points en commun : les points cycliques.

christophe c · February 2020

Merci !!!!! PASSAGE AUX COMPLEXES. Je m'étais bien demandé qui était $i$ d'ailleurs quand j'avais vu le truc de mon téléphone.

GaBuZoMeu · February 2020

Je reviens sur Cayley Bacharach pour les cubiques.

L'équation d'une cubique a 10 coefficients (dimension de l'espace vectoriel des polynômes en deux variables de degré $\leq 3$). L'espace des cubiques est donc un espace projectif de dimension 9. Par conséquent, une cubique est déterminée par neuf points, sauf accident : la condition de passer par un point se traduit par une équation linéaire homogène en les coefficients.

Monsieur Bezout nous dit que deux cubiques ce coupent en $9=3\times 3$ points. Par ces neuf points il passe deux cubiques, pas une seule. Contradiction avec le paragraphe précédent ? Non, on est dans le cas "accident" : le système des neuf équations linéaires homogènes est de rang $\leq 8$. Sauf nouvel accident, il est de rang 8 et chacune des équations est combinaison linéaire des huit autres. Autrement dit, toute cubique qui passe par huit des points d'intersection passe aussi par le neuvième.

Si on ne se satisfait pas de ce raisonnement (qui raconte tout de même l'essentiel de l'histoire), on peut voir par exemple ici.

christophe c · February 2020

Merci pour ce pdf très important me semble-t-il puisque faisant vivre le théorème de Bezout dans la géométrie "innocente" qu'aiment bien les gens comme moi, à la recherche d'arguments "évidents" pour déduire Desargue, Pappus, Pascal, etc.

On y voit deux choses illustrées (je n'ai pas lu le pdf, mais ai regard" l'introduction) que j'explicite pour les passants sur ce fil qui ne sont pas les amateurs de géométrie experte qu'on trouve à lire les échanges Pappus-pldx-Bouzar and co sur le forum :

1/ La double dextérité intéressante qu'il y a maitriser à la fois les COORDONNEES et le dessin.

2/ La SKOLEMISATION EFFICACE qui a été mise à l'affiche pour les courbes algébriques. Je détaille un peu ce dernier point:

2.1/ Le "tau" de Bourbaki, qui est juste une notation et un axiome, dit que $\tau(A)\notin A \to A=\emptyset$. C'est un "skolémisation sémantique" mise directement dans les axiomes.

2.2/ Plus simplement et purement, Skolémiser veut juste dire remplacer $\forall xR(x)$ par $R(Skolem(R))$ (en notant les choses un peu autrement), avec l'axiome (le schéma d'axiomes) qui va avec :

$$R(Skolem(R)) \to R(t)$$

pour tout terme du langage.

2.3/ Jusqu'ici, c'est du yaka matheux (des hypothèses rajoutées, même si en s'enfonçant dans la spécialité logique on en prouve la conservativité, c'est à dire le fait que ce qu'on prouvera en admettant ça peut l'être sans l'admettre).

2.4/ Le champ polynomial OFFRE QUANT A LUI une skolémisation DIRECTEMENT DEMONTRABLE: je prends un exemple simple. Soit $P$ un polynôme de degré 2, à une variable sur un corp, et bien pour prouver

$$\forall x: P(x)=0$$

il vous suffit de prouver que $P(0)=0$ et $P(1)=0$ et $P(-1)=0$ par exemple (à condition que $-1\neq 1$ of course).

2.5/ Et d'une manière générale, le pdf de GBZM illustre la puissance de cette skolémisation DEMONTREE, avec des applications à la GEOMETRIE DESSINEE.

2.6/ Autrement dit, dans l'idéal, un gars ou une fille qui se retrouve face à un exo mis dans la rubrique experte animée par Pappus-Bouzar et qui veut jouer à réussir des coups flamboyant n'a qu'à s'habituer à trouver les témoins de Skolem des énoncés de ces savants messieurs et poster "regardez, c'est vrai pour ce triangle, mais aussi pour ce triangle, mais aussi pour celui-là, celui-ci, etc, donc ................. donc c'est vrai pour tous". En effet, la géométrie est polynomiale. Moi, je ne suis pas entrainé, et je pense qu'il faut au moins 4 à 5 mois pour s'entrainer, mais s'li y a des jeunes qui veulent jouer (après tout, j'ai un élève de seconde qui est devenu implacable au rubic cube, jusqu'à en amener un 13×13×13 en classe), ce jeu me parait tout à fait rentable.

gai requin · February 2020

@GBZM : Si je comprends bien, on part de deux cubiques sans composante commune.
Elles se coupent donc en exactement $9$ points si le corps de base est algébriquement clos.
Alors l'ensemble des cubiques passant pas ces $9$ points contient une droite de l'espace projectif des cubiques parce que toute cubique passant par $8$ de ces $9$ points passe aussi par le neuvième.

GaBuZoMeu · February 2020

Il y a tout de même un sérieux bémol à ce que tu racontes, Christophe. Tu prends exemple d'un polynôme à UNE variable ; s'il a plus de zéros que son degré a priori, c'est le polynôme nul. Fort bien, mais quand on exprime une propriété géométrique sous forme d'une identité polynomiale, il y a en général PLUSIEURS variables. Il ne suffit alors pas d'avoir "suffisamment" de zéros pour conclure à la nullité du polynôme, il faut aussi s'assurer qu'ils sont suffisamment bien disposés. En principe, on peut. En pratique ...

GaBuZoMeu · February 2020

Alors l'ensemble des cubiques passant pas ces 9 points contient une droite de l'espace projectif des cubiques parce que toute cubique passant par 8 de ces 9 points passe aussi par le neuvième.

Non, je ne suis absolument pas d'accord avec ton "parce que". L'ensemble des cubiques passant par ces 9 points contient un faisceau linéaire de cubiques de façon triviale : le faisceau linéaire engendré par les deux cubiques qui s'intersectent.
Cayley Bacharach dit que l'ensemble des cubiques passant par 8 de ces points ne contient pas autre chose que ce faisceau linéaire de cubiques.

gai requin · February 2020

Merci.

Mais si le système des $9$ équations linéaires homogènes est de rang $7$ par exemple, l'ensemble dont tu parles contient autre chose que ce faisceau linéaire non ?

GaBuZoMeu · February 2020

Oui, et il faut donc vérifier que cet accident n'arrive pas à partir du moment où les deux cubiques n'ont pas de composante commune. Si tu lis le document mis en lien, tu verras que c'est ce qui est fait.
En fait, il convient de vérifier plus : à savoir, que le système formé par huit de ces équations est toujours de rang 8.

gai requin · February 2020

OK.

On barre n'importe laquelle des $9$ équations donc on ne retient que $8$ points d'intersections.
Si le rang du sous-système obtenu était $\leq 7$, on pourrait de même se débarrasser d'un point d'intersection $A$, et toute cubique passant par les $7$ points restants passerait aussi par $A$.
Mais, dans le document, on montre qu'il existe une cubique (produit droite-conique) passant par ces $7$ points et ne passant pas par $A$.
Donc tout sous-système formé par $8$ équations est de rang $8$.

christophe c · February 2020

@GBZM: oui je sais (je suis prétentieux mais c'edt vrai que je sais ça depuis longtemps). Je faisais DE LA PUB pour le principe et pour prendre les points évidemment je pensais à les tirer au sort (mais ne voulais pas m'engager la dedans pour ne pas trop déclencher de considérations nécessitant un fil à soi seul et un débat statutaire puissue les configurations tirées au sort n'ont d'intérêt qu'avec un oracle de type geogebra. Sans cet oracle prouver que LE triangle par exemple qu'on vient de tirer au sort est généralement de même difficulté que le prouver pour tous. Il y a donc introduction du "voir de ses yeux".

J'ouvrirai peut être un fil si j'ai plus de billes que ça un jour sur ce thème.

pldx1 · February 2020

Un exercice pour gai requin. Le folium de Descartes peut se paramétrer par $x=p/(1+p^3), y=p^2/(1+p^3)$. On le coupe par une autre cubique. Déterminer la 9ème intersection à partir des 8 autres.

Edit: ajout d'une figure. On veut $P$ connaissant $A,B,C,E,F,G,H,K$. 96324

GaBuZoMeu · February 2020

On peut voir ça comme : trouver la neuvième racine d'une équation de degré 9 dont on connaît les 8 autres

gai requin · February 2020

Bonjour GBZM,

J'ai téléchargé le fichier geogebra que tu as posté [ici].
On y voit (au sens propre) beaucoup de configurations qu'on trouve dans le document de MIchel Coste.
Je résume la situation pour les gens intéressés par ces intersections de cubiques tout à fait singulières (parce que, pour tout entier $n\geq 1$, $\dfrac{n(n+3)}2=n^2\Leftrightarrow n=3$).

Dans ce fichier, on intersecte deux cubiques dégénérées (produits conique-droite) $c\times h$ et $e\times g$ qui se coupent a priori en $8$ points $A,B,C,D,F,G,J,L$.
Il y a aussi une autre cubique dégénérée $d\times f$ qui passe par ces $8$ points.
Enfin, grâce au paramètre $\lambda$, on construit une cubique $i$ dans le faisceau linéaire engendré par $c\times h$ et $e\times g$.
Donc, d'après Cayley Bacharach, toutes ces cubiques passent par un neuvième point $M$ !
Et même que, pour les fans de points alignés, le fait d'avoir choisi trois cubiques dégénérées n'est pas innocent : $M$ est le point de concours des droites $FG$, $CD$ et $JL$ !

gai requin · February 2020

Bonjour Pierre,

Dans le projectif, le folium de Descartes a pour équation $X^3+Y^3=XYZ$ dont on obtient, grâce aux droites passant par $(0:0:1)$ une paramétrisation rationnelle $X=ab^2,Y=a^2b,Z=a^3+b^3$.

Mais, d'après l'indication de GBZM, il vaut peut-être mieux rester en affine avec le seul paramètre $p$ (pour pente hein) et trouver un polynôme de degré $9$ admettant pour racines les $9$ pentes.
A suivre...

gai requin · February 2020

@Pierre : Si l'autre cubique ne passe pas par $O$, le produit des $9$ pentes des droites $OA,OB,OC,OE,OF,OG,OH,OK,OP$ vaut $-1$.

christophe c · February 2020

Je change de sujet, en signalant un calcul que j'ai dû faire en lisant un autre fil.

$$2^{ab} - 1 = (2^a)^b - 1 = (2^a - 1) \times (...+...+..)$$

ce qui empêche $2^{ab} - 1$ d'être un nombre premier (sous les restrictions évidentes que je laisse aux lecteurs).

gai requin · February 2020

C'est plutôt niveau terminale.
Pour tout $n\in\mathbb N$, $n$ est premier ou $2^n-1$ est composé.

Martial · February 2020

@gai requin : oui je me souviens je le faisais en spé maths.
Ensuite j'expliquais que la réciproque est fausse, le premier contre-exemple étant $2^{11}-1=2047$, qui est divisible par $23$. Puis je leur expliquais que ceci avait donné naissance aux nombres premiers de Mersenne.
Et les très bonnes années (il a dû y en avoir deux ou trois), je leur montrais qu'un nombre pair est parfait ssi il est de la forme $2^{n-1}(2^n-1)$, avec $2^n-1$ premier.

gai requin · February 2020

On peut effectivement bien s'amuser en arithmétique, à tous niveaux !
A une question d'élève sur l'irrationalité de $\sqrt 2$, je lui avais proposé [ceci], à comparer avec la preuve classique...

christophe c · February 2020

Attention à l'officialité, oui, c'est "officiellement" raconté par les profs en terminale, mais ils pourraient tout aussi bien le raconter au café puisque la notion de "preuve" est devenue très mal perçue (mal au sens "imprécis + incorrect").

Dans les situations précédentes, par exemple, autant que dans le lien de GR, on déduit des choses d'autres choses, encore moins connues par les gamins. De sorte que si les raisonnements (ici calculatoires) sont corrects et littéraux, les intérêts eux n'apparaissent pas (à part aux yeux des gamins qui connaissent tout ça depuis déjà lgtps et qui ne sont plus à former là dessus).

Pour les lecteurs de passage (afin que ce présent post soit utile, et pas juste une modération), je redonne une preuve que $P(X)-P(Y)$ est divisible par $(X-Y)$ sans passer par des processus snobs ou inspirés, utilisés** par l'académisme.

Un changement de variable permet de ne s'intéresser qu'à $P(Z+Y) - P(Y) = Z\times Q(Z,Y)$ pour au moins un polynôme $Q$, évident à trouver (annulation des termes constants par la soustraction). Le remplacement de $Z$ par $(X-Y)$ donne:

$$ P(X) - P(Y) = (X-Y) \times Q(X-Y,Y)$$

** j'entends par là, la récurrence (certes plus rigoureuse que l'argument bleu) via:

$$ X^{n+1} - Y^{n+1} = X^{n+1} - X Y^n + X Y^n - Y Y^n = X(X^n-Y^n) + Y^n(X-Y) $$

gai requin · February 2020

Heu non, les propriétés du pgcd qui sont utilisées sont au programme avec preuves à l'appui !

Calli · February 2020

Bonjour,
Je n'appelle pas ça une preuve, mais plutôt une reformulation de l'énoncé (en plus compliqué). Tout est masqué derrière le "évident à trouver" ; c'est assez gonflé. Et quand tu remplaces Z par X-Y, tu obtiens $P(X)-P(\color{red}{X-Y})=(X-Y)Q(X-Y,Y)$ et pas $P(X)-P(Y)=(X-Y)Q(X-Y,Y)$.

Bon, je ne fais que passer. Je ne compte pas m'attarder sur ce fil.

Math Coss · February 2020

Il fallait lire $P(Y+Z)-P(Y)=ZQ(Z,Y)$ et pas $P(Y+Z)-P(Z)$.

Il s'agit de savoir si on préfère développer $(Y+Z)^k$ ou factoriser $X^k-Y^k$ (pour $k\ge1$). J'ai du mal à choisir entre ces deux techniques nécessaires.

christophe c · February 2020

Merci pour la coquille signalée et étant sur mon téléphone je l'ai directement corrigée sans laisser archive de don ancienne présence.

@Calli je suis conscient de ça (ce qui m'a fait prononcer le mot rigueur) . Je ne parlais pas vraiment de "une fois dans le calcul" mais plutôt de "avant d'avoir l'idée".

christophe c · February 2020

@MC: le choix (idéologique) que j'ai affiché applique l'adage :

Développer est automatique et sans échec alors que factoriser nécessite inspiration et est rarement possible.

gai requin · February 2020

Sans calculs, il est facile de montrer que, sur tout anneau, $X-Y$ divise $Q(X,Y)\Leftrightarrow Q(X,X)=0$.
Puis on applique ça à $Q(X,Y)=P(X)-P(Y)$.

pldx1 · February 2020

@gai requin: es-tu snob ou inspiré ?

Cordialement, Pierre.

christophe c · February 2020

@GR: "sans calculs" est une expression figurée.

Pour les mêmes raisons, $P(X,X+Y)$, vu comme polynôme $Q(Y)$ en $Y$ (anneau changé), n'a pas de terme constant, donc est de la forme $Y(R(Y))$, autrement dit, $P(X,Z)$ s'écrit $(Z-X)\times (\dots)$. Je ne sais pas si tu voulais dans le sens favorable au [chgt de variable + développement] que j'évoquais, mais ça y ressemble?

gai requin · February 2020

Non, je le fais sans calculs par division euclidienne.
Pour tout $Q(X,Y)$, il existe $S(X,Y),R(Y)$ tels que $Q(X,Y)=(X-Y)S(X,Y)+R(Y)$...

raoul.S · February 2020

C'est l'argument que je préfère, celui de la division euclidienne. Sans calculs en plus.

christophe c · February 2020

La division euclidienne, c'est du calcul chez moi :-D Et dommage d'utiliser un outil aussi élaboré pour si peu... ?

gai requin · February 2020

Encore une que tu pourras raconter au café !

raoul.S · February 2020

@christophe c je suis partisan du moindre effort et la division euclidienne dans l'anneau $A[X]$ permet de voir immédiatement que si $P(a) =0$ alors $P(X)$ est divisible par $X-a$. Pour le cas présent il suffit d'appliquer ceci à $A[X][Y]$ et je n'ai pas une ligne de calcul (:P).

christophe c · February 2020

Mais je ne comprends pas la revendication "pas une ligne de calcul" ?? :-S

Je rate un épisode ou c'edt juste "une façon de parler"?

De mon téléphone

Dom · February 2020

A quoi servent les démonstration en deux lignes si seul l'auteur (j'exagère) les comprend ?
Qu'est-ce qu'une démonstration si le lecteur doit vérifier chaque ligne pour dire "ha oui, ça c'est vrai", "ha...heu...ha...en effet, c'est juste", etc. ?

GaBuZoMeu · February 2020

Personne ne te demande de FAIRE la division. Ça oui, ça serait du calcul.
On te demande juste de RÉALISER QU'ON PEUT FAIRE la division par $X-a$. Et à moins d'être complètement neuneu, tu peux réaliser que si tu as un polynôme de terme de plus haut degré $cX^n$ avec $n>0$, on fait baisser le degré de ce polynôme en lui retirant $(X-a) cX^{n-1}$.

christophe c · February 2020

@GBZM oui je suis d'accord. Merci. J'imaginais un sous entendu allant dans ce sens. Mais je trouve ça pas plus "canonique" que les changements de variables que j'ai évoqués (et même nettement moins même si on ne fait que diviser par un "X+k") et j'avais peur qu'il y ait une évidence "encore plus brutale" à côté de laquelle je passais.

christophe c · February 2020

Pour les lecteurs: il me semble que la rapidité avec laquelle GBZM a réagi est reliée au fait qu'il doit souvent signaler sur le forum qu'on peut diviser euclidiennement DANS N'IMPORTE QUEL ANNEAU commutatif par n'importe quel polynôme UNITAIRE.

C'est un phénomène intéressant en soi indépendamment du présent sujet mais j'ignore s'a des liens forts avec la spécificité des polynômes unitaires dans un autre thème (celui est "entiers sur").

Il est aussi "un peu" méconnu car "unitaire" est nécessaire.

GaBuZoMeu · February 2020

Il ne fait aucun doute qu'utiliser le fait qu'on sait faire la division euclidienne par $X-a$ pour montrer que quelque chose est divisible par $X-a$, c'est un "processus snob ou inspiré, utilisé par l'académisme".
Christophe, tu devrais réfléchir à deux fois avant d'écrire ce genre de bêtises qui te décrédibilise complètement et laisse penser que tu te crois plus malin que tout le monde.

christophe c · February 2020

Je pense que c'est une bonne chose de ne pas être crédible et taxé de prétention car ainsi on est privé d'argument d'autorité. Après il peut y avoir des inconvénients certes ..

b.b · February 2020

« Il est aussi "un peu" méconnu car "unitaire" est nécessaire. »

Il suffit que le coefficient dominant du polynôme soit inversible (être unitaire n'est pas une condition nécessaire sur le polynôme pour faire une division euclidienne).

Poirot · February 2020

@b.b. : c'est la définition de polynôme unitaire à coefficients dans un anneau quelconque.

christophe c · February 2020

Je reviendrai plus tard sur ta remarque bb. Je ne sais plus si j'ai mis nécessaire entre guillemets.

J'en profite que je suis sur un pc pour me justifier à l'invite de GBZM, exprimée avec sa légendaire forme veloutée.

Le terme "académisme" n'est pas péjoratif dans ma bouche. Il traduit juste qu'un plan de formation a été suivi pour transmettre les découvertes dans un certain ordre et que cet ordre n'est pas brisé au moment où on affiche une information. Le mot "snob" l'est lui un petit peu, mais renvoie à l'idée de cases mémoires gaspillées, ou utilisation de mécanismes "appréciés", mais gachant.

Dans le cas présent, il était question de remarquer (sans preuve formelle, mais pour rendre "sûr" des gens sachant déjà certaines choses) que $X-Y$ divise $P(X)-P(Y)$.

3 arguments ont été évoqués, dont 2 par moi.

1/ Remarquer que $X^9-Y^9 = (X.X^8 - Y.X^8 + YX^8- Y.Y^8 ) = (X-Y)X^8 + Y(X^8-Y^8)$ qui affiche une récurrence évidente

2/ Faire le changement de variable

3/ Et, enfin, l'évocation de la notion de division euclidienne.

Je rappelle avant de continuer que sur le fond, la manipulation d'expressions de ce genre relève de la classe de 5e-4e, et fait l'objet d'un traitement systématique et formalisé à bac+2 (c'est à dire L2).

L'argument1 est esthétique, mais nécessite de l'inspiration. Il est dans la famille des grandioses et inspirés:

$$ab-xy = a(b-x) + (a-y)x$$

qui a permis d'énormes progrès dans tout plein de thématiques et dont j'ignore quel jus il donne en non commutatif. La thématique "dérivée du produit" est touchée. Toute ces thématiques sont totalement étrangères à l'élève (théorique) de 4e.

Je reviens sur l'argument3, car il illustre des choses amusantes dans l'enseignement qui se résume à ce que j'appellerai "la confusion pratique/platonicienne" et qui explique de nombreux déboires.

Cette confusion conduit souvent l'enseignement à "optimiser" en même temps qu'elle transmet. Autrement dit, à se soucier de diffuser des algorithmes efficaces sur des machines très limitées, en même temps qu'elle introduit les rêves platoniciens de machines théoriques.

Cela provient du fait que l'enseignant, qui est souvent aussi, un travailleur personnel, laisse déborder ses petits soucis personnels d'optimisation sur son exposé. On a d'ailleurs atteints des apogées ridicules et crashantes ces dernières décennies avec les "introductions fréquentistes" des probas, les "arrondis et ordres de grandeurs" enseignés AVANT le nombres, et comme je suis ici sur un sujet précis, l'enseignement de la division euclidienne programmée avant le principe élémentaire et trivial du fait que IN est bien ordonnée:

$ f(a,b) : =$ if trivial(a,b) then truc else $Amenage(f(a,b-a))$

qui est la définition récursive immédiate et évidente telle que $\forall a,b,u,v,d,k,m: $

$$ f(a,b) = (u,v,d,k,m)$$

entraîne que $kd=a$ et $md=b$ et $ua+vb=d$

est passée la plupart du temps à la trappe au profit de l'algorithme d'Euclide de la division euclidienne, basée EN PRATIQUE sur la capacité des ordinateur MATÉRIELS à donner directement un reste.

Cette division euclidienne, donc très célèbre, "adulée" (au secours, je perds ma crédibilité :-D ) , est persistante et généralisée avec les polynômes.

Et je suis psychanalytiquement assez convaincue qu'elle gagne en cote du fait de cette situation enseignementale.

C'était un peu tout ça le sens de mon "snob et académique", sachant que je visais AVANT TOUT l'argument1 et que c"est GR qui m'a le premier fait remarquer l'existence de l'argument3, dont il est un peu injuste à mon égard de m'attribuer que je le classerais AUSSI (alors que je n'y pensais pas) dans la catégorie snob.

Maintenant pourquoi je fais une opposition en faveur de l'argument2. Et bien je l'ai déjà dit à math coss: factoriser est NP-complet, voire souvent non récursif, alors que développer est automatique et n'échoue jamais. C'est avant tout ça le critère MATÉRIEL auquel je pensais.

Autrement dit, avant tout, je signalais pour tous les étudiants, peut-être pas aussi dyscalculiques que moi, mais non inspirés qu'il peuvent retrouver AUTOMATIQUEMENT un jour où il faudrait répondre à un terroriste surprise qui vous échange votre vie contre la formule qui marche, le Q du $(X-Y) Q = P(X)-P(Y)$. Et ce, SANS AUTRE ACQUIS DE FOND que ceux de la classe de 5e-4e.

Si "en pratique" le fait d'écrire un polynôme $P$ de degré 9 sous la forme

$$aX^2Q + bXQ + cQ + TantPourCompenser$$

où $Q$ est imposé, unitaire et de degré 7, donnant $P = (aX^2+aX+b) Q + Reste$, ne demande pas beaucoup plus de compétences, il n'en reste pas moins qu'il y a un peu plus de "$-$" à gérer et surtout le passage du mot "division euclidienne" à digérer pour les néophytes... pour qui j'ai ouvert ce fil.

Mais évidemment, .. je peux me tromper sur mes ressentis transmetteurs :-D

Classiques L1-L2 trop oubliés

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