je n'ai pas lu tout le fil, mais j'ai l'impression qu'à brule-pourpoing, les gens n'ont pas trop "en pratique" répondu à alesha (à part avec des exemples de principe).
Il est logicien, et je pense qu'il évoque et cherche des situations suivantes:
1/ Il est évident ou facile que $A\subset B$
2/ Il est évident ou facile que $A=\N$ se prouve par récurrence
3/ Il est EXTREMEMENT DIFFICILE de prouver $B=\N$ par récurrence (peu importe le type de récurrence), si on n'a pas l'idée "inspirée et venue de nulle part" d'envisager $A$.
Ces situations ABONDENT CONTINUELLEMENT dans les maths (c'est 99% des preuves par récurrence des maths pros). Et il ne s'agit JAMAIS dans ces cas-là de varier sur le type de récurrence.
Exemple bateau: la somme de deux nombres qui ne sont pas pairs est un nombre pair.
Du coup pour répondre il faut "brancher un écouteur" sur la vie des matheux et leur demander d'envoyer un sms à alesha quand ils sont, en pratique, confrontés à un exemple, car en trouver "à la demande" n'est pas très aisé.
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Mon exemple n'est pas très bon, car si $a-2 + b = n-2$ alors $a+b=n$.
Voici d'autres exemples:
1/ il existe une infinité de nombres premiers (au sens ou pour tout n, il existe p >n qui est premier)
2/ Tout graphe planaire contient un sommet de degré au plus 5
3/ Toute configuration de Sperner contient une étoile
Concernant (1), aucune chance sans inspiration de trouver la "bonne" propriété, même si c'est très familier aux gens pour d'autres raisons
Concernant (2) la propriété récurrente est la ... formule d'Euler (très très loin de la conclusion)
Concernant (3) le nombre d'étoile est impair donc Il en existe au moins une.
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Ça ne change évidemment rien cette histoire de vocabulaire. En multipliant par l'inverse du coefficient dominant on fera même usage du polynôme "vraiment unitaire" obtenu (je précise pour les futurs lecteurs).
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@gai-requin : là où tu commets une erreur grave c'est qu'on peut raconter des choses très intéressantes en mathématiques au bistrot du coin. J'en ai fait l'expérience il n'y a pas longtemps. Je buvais un coup avec un vieux pote, qui de base a un BEP mécanicien-monteur. Il sait que j'écris un bouquin de théorie des ensembles. Il me dit : "je ne sais pas ce que c'est la théorie des ensembles, à part les patates". Comme je ne savais pas par où commencer je lui ai expliqué le principe des tiroirs et des chemises :
a) Variantes finies (il a compris tout de suite).
b) Variantes finies / infinies (c'était un peu plus délicat, mais il a fini par piger).
c) Variante infinie / infinie : là il pensait bien sûr qu'on pouvait y arriver dans tous les cas. Je lui ai dit que justement non, parce qu'il y a plusieurs sortes d'infini, et que c'était ça la base de la théorie des ensembles.
Moralité : il ne sait toujours pas ce qu'est la théorie des ensembles (et je ne pense pas que ce soit ça qui l'empêche de dormir), mais au moins il a appris (et compris) quelque chose.
@gai-requin : ce n'était pas une critique, je voulais juste en profiter pour signaler qu'on pouvait faire des choses très intéressantes au bistrot.
Au passage j'en profite pour te dire que j'ai beaucoup aimé ta preuve du fait que $\sqrt{n}$ est irrationnel dès l'instant que $n$ n'est pas un carré parfait. J'avoue que je ne la connaissais pas...
mais qui utilisent tous la même propriété concernant les compacts, celle des bornes atteintes.
Je me doute bien que cette propriété est importante et je me vois bien lui réserver 3 voire 4 exos, mais j'aimerais quand même bien pouvoir mettre en avant une autre application des compacts (pas un truc de haute voltige si possible).
Auriez-vous des suggestions ?
Tu devrais tirer des initiatives de ton constat, non? Ne crois-tu pas qu'il y a une forme d'équivalence entre les deux (bornes toujours atteintes et compacité de l'espace)?
Essaie de mettre en place un énoncé et de le prouver, tu seras surement très content de toi à la fin.
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C'est un phénomène célèbre et ultra-connu (qui fait que par exemple, aucun ultrafiltre n'est mesurable, etc).
En fait, même toute partie mesurable de $[0,1]$ est bourrée de gros grumeaux et de "trous" :-D Elle n'est jamais homogène. Une façon très simple de le voir est de se rappeler la compacité.
Soient $A\subset [0,1]$ mesurable et $I_n, J_n$ des intervalles indicés par les entiers tels que : $$A \subset \cup_n\ I_n\qquad\text{ et }\qquad ([0,1] \setminus A) \subset \cup_n\ J_n$$ et $$ MesureLebesgue [(\cup_n\ I_n) \cap (\cup_n\ J_n)] < 0.00001.
$$ À eux tous, les $I_n, J_p$ recouvrent $[0,1]$. Tu en extrais un sous-recouvrement fini et tu imagines tout ça dessiné sur un écran (les points rouges sont ceux ayant une ordonnée dans $A$ et les verts ceux ayant une ordonnée $\notin A$. Et pis, bin, tu colories les intervalles $I_n$ en rouge (sur ton deuxième écran) et les $J_p$ en vert. Les non concordances occupant moins de $0.00001$ de volume, tu vois tes grumeaux en live.
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En dehors d'un plaisir** de soulagement une correction ne sert à rien. Autre règle d'or: si tu n'es pas sûr à 100% de ta solution c'est que tu n'as pas résolu l'exercice.
** De même genre que celui qu'on ressent devant un bon film.
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Moi je dis vive le Pascal (ou caml si seulement il y avait un environnement comme Lazarus ou Delphi proposé avec le caml tout le monde se jetterait dessus et plus ce genre de problème avec du typage artisanal).
:-D
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Je n'ai rien contre le Pascal; je l'ai même enseigné, mais il faut bien dire qu'il n'est pas utilisé dans l'industrie, pas plus que le caml.
Mais bon, des goûts et des couleurs ...................
Sans vouloir figer absolument la terminologie aux choix de Bourbaki, il est tout de même recommandé de faire assez attention dans la mesure où les preuves de maths sont purement syntaxiques. Si on floute trop, les gens auront du mal à communiquer. On a déjà pas mal d'homonymies un peu désastreuses (par exemple, pour un idéal $J$, l'expression $J^2$), pour ne pas faire du slogan "varions" un principe festif non plus.
Et concernant les corps non commuatifs (pardon ça va plus vite), donc forcément infinis, ce sont probablement des objets fascinants au sens que:
1/ Wedderburn est POUR L'HEURE un préambule NECESSAIRE dans la preuve de Jacobson, qui dit pourtant un truc beaucoup plus général, on ne peut donc pas décemment dire qu'avoir prouvé Jacobson SUFFIT à rendre obsolète celle de Wedderburn
2/ Aucune preuve "correcte à avaler" n'est pour l'heure connue à ce jour. Elles sont toutes techniques
3/ La géométrie qui semble snober les anneaux pas corps fait un gros usage de corps, et eux seuls. (Je considère évidemment toute géométrie comme projective, inutile de s'embarasser d'usines à gaz), et en l'occurrence Wedderburn dit que tout espace projectif de dimension au moins 3 et fini vérifie Pappus (c'est franchement pas rien) car dès que la dimension est $\geq 3$, c'est défini uniquement avec des axiomes d'incidence bêtes et méchants.
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où on peut constater une fois de plus les dégâts d'une certaine forme de pédagogisme orphelin d'objectif. L'important n'est pas la connaissance des formules indigentes (oubliées par plus de 90% des gamins l'année suivante en première), mais celle de l'abord de l'horrible convention langagière qui fait parler d'équations d'ensembles sans lier la variable $(x,y)$ et en plus en privilégiant des lettres de l'alphabet.
l'ensemble des points qui peuvent (pourraient) dire (sans mentir) la phrase obtenue en remplaçant la lettre $x$ par "mon abscisse" et la lettre $y$ par mon ordonnée dans phraseAveDesXYminuscules
Et ça n'a strictement aucune importance de savoir si machin est qualifié de paramétrique et truc de cartésien.
Par exemple $\emptyset$ est
l'ensemble d'équation $[x^2 + y^2 + 17 = 3]$
(ie l'ensemble des points pouvant dire mon abscisse au carré + mon ordonnée au carré + 17 =3 )
et ce n'est ni "paramétrique" ni "cartésien" et on s'en fiche totalement.
J'espère que dom va être content de ma beauferie de forme :-D (bon j'avoue je me force un peu, ça m'est devenu assez indifférent tout ça)
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De mon téléphone: je suis bien sûr d'accord, je voulais juste "aboyer" sur le fait qu'avant tout ça les statuts logiques de x,y sont souvent absolument pas traités en classe et donc les profs parlent totalement dans le vide.
On l'a d'ailleurs vu bie. Souvent sur le forum .. chez des étudiants (qui se demandaient combien vaut x etc)
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Il n'y a pas qu'en géométrie qu'on pratique un certain ésotérisme.
C'est pas mal aussi parfois en analyse, il suffit de considérer par exemple l'équation différentielle $x'-2x=t^2-\cos t$...
Je ne sais pas à quel moment les « lettres réservées » posent problème.
Tout le temps sauf chez les matheux confirmés.
Le symptôme, c'est quand les élèves se mettent à raconter n'importe quoi au grand dam des profs.
Ce que les pédagogistes dénoncent sous divers noms comme "problème de la lettre" ou autre (et qui n'est pas une incompréhension conceptuelle mais une incapacité à lire un texte mathematique dont le mode de lecture est non documenté) est provoqué par l'utilisation (non documentée) desdites lettres dans des énoncés où sont employés comme noms propres des marqueurs de place.
Ainsi, dans ce qui suit, les symboles $\overline {\forall}$, $\overline {\exists}$, $\overline{\mapsto}$, $\overline{\lim}$,
$\overline{EQ}$, $\overline{\sum}$ seront qualifiés de "symboles lieurs" et on considère les nombres encadrés qui apparaissent dans les formules ci-dessous comme étant des adresses de symboles lieurs dans une formule. [size=large]Pour retrouver le lieur correspondant à un nombre encadré $\fbox n$, on adopte (ici) comme convention que c'est le n-ième lieur à la gauche de $n$ dans ladite formule.[/size]
Exemples:
(i) $$\overline{\mapsto} a \fbox 1 + b \tag 0$$ est une expression (désignant habituellement une fonction affine) et dans laquelle seules les lettres $a,b$ apparaissent (et désignent des nombres).
$\newcommand{\o}[1]{\overline {#1}}$
(ii)dans cet exemple $f$ désigne une fonction de $\R$ dans $\R$ et $x$ désigne un nombre réel. Les quantifications portent implicitement sur des nombres réels. L'énoncé
$$\overline {\forall} \overline {\exists} \overline {\forall} \left ( |\fbox 1 - 0| \leq \fbox 2 \Rightarrow |f(\fbox 1) - f(0)| \leq \fbox 3 \right )\tag 1$$
signifie intuitivement que $f$ est continue en $0$ et ne parle que de $f$.
L'énoncé $$\o {\forall} f(x) \geq f(\fbox 1) \tag 2$$ dit intuitivement que $f$ possède un maximum en $x$ (et donc parle du réel $x$ en plus de $f$).
(iii) L'énoncé $$\o{\sum}_{1}^{+\infty} \frac{1}{\fbox 1 ^2} = \frac{\pi^2}{6} \tag 3$$ est un célèbre théorème de mathématiques qui ne contient aucune lettre à part $\pi$ (surtout pas un certain "$n$" ) et qui obtenu en étudiant la fonction définie par la formule $$\o{\mapsto} \o{\sum}_{1}^{+\infty} \frac{1}{\fbox 1 ^{\fbox 2}} \tag 4 $$ dite "fonction zeta de Riemann". Cette expression ne contient aucune lettre.
(iv) Soient $a,b,c$ des nombres réels, $a$ étant non nul. L'expression $$\o{EQ} \left ( a \fbox 1 ^2 +b \fbox 1 +c = 0\right ) \tag 5$$ est appelée "équation du second degré à une inconnue". Cette expression ne comporte comme lettres que $a,b$ et $c$ exclusivement. l'équation possède au moins une solution si et seulement si $b^2 - 4ac\geq 0$.
Les lettres $r,t$ désignent des réels, $r$ étant positif. L'expression suivante (dont les seules lettres sont $r$ et $t$) est appelée "équation du cercle de centre $(2,t)$ et de rayon $r$":$$
\o{EQ}\: \o{EQ} \left ( (\fbox 2 - 2)^2 + (\fbox 1 - t)^2 = r^2\right ) \tag 6
$$
(v) Dans le cours sur les limites, étant donné des réels $x$ et $y$ strictement positifs,on peut établir des résultats tels que
$$ \o{\lim} _{+\infty} \frac{\left (\log (\fbox 1) \right )^x }{ \fbox 1 ^ y} = 0 \tag 7$$
Cet énoncé ne parle que de $x$ et $y$ et pas d'une quelconque "variable" ou que sais-je. Il est l'application aux cas particuliers de $x$ et $y$, de l'énoncé général ci-dessous (ce dernier ne contient aucune lettre)
(vi) $P$ désigne une propriété; l'énoncé célèbre $$ \o{\forall} \left [ \fbox 1 \in \emptyset \Rightarrow P(\fbox 1) \right ]\tag 9$$ ne contient d'autres lettres que $P$ et en particulier ne parle pas du tout d'un quelconque "élément de l'ensemble vide". Il ne fait qu'énoncer une propriété conjointe de $\emptyset$ et de la propriété $P$ ("sur l'ensemble vide, $P$ est partout vraie": ceci par faute de contre-exemples).
(vii) La lettre $p$ désigne un nombre entier naturel (i.e. positif). Les quantifications portent sur des entiers naturels.
L'énoncé suivant se dit en prose "$p$ est un nombre premier":$$
p \geq 2 \text{ et } \o{\forall} \o{\forall} \fbox 2 \times \fbox 1 = p \Rightarrow \left (\fbox 2 = 1 \text{ ou } \fbox 1 = 1\right )\tag {10}$$ Par suite, en abrégeant par $\mathcal P(n)$ la phrase (parlant de $n$) "$n$ est un nombre premier", on a un célèbre énoncé ouvert ("conjecture de Goldbach"):
$$ \o{\forall} \left (\fbox 1 \geq 4 \text{ et } \o{\exists} 2\times \fbox 1 = \fbox 2 \right ) \Rightarrow \o{\exists} \o{\exists} \left (\mathcal P (\fbox 2) \text{ et } \mathcal P (\fbox 1) \text{ et } \fbox 2 + \fbox 1 = \fbox 4 \right )\tag{11}$$ qui dit intuitivement que tout entier pair plus grand que 4 est la somme de deux nombres premiers et qui ne contient comme lettre que l'abréviation $\mathcal P$ Noter qu'on peut retirer l'abréviation $\mathcal P$ mais qu'alors les nombres encadrés changent (vu la convention qui régit leur emploi). On obtient $$
\o{\forall} \left (\fbox 1 \geq 4 \text{ et } \o{\exists} 2\times \fbox 1 = \fbox 2 \right ) \Rightarrow \o{\exists} \o{\exists} \left (
\\ \fbox 2 \geq 2 \text{ et } \o{\forall} \o{\forall} \fbox 2 \times \fbox 1 = \fbox 4 \Rightarrow \left (\fbox 2 = 1 \text{ ou } \fbox 1 = 1\right )\text{ et } \\
\fbox 3 \geq 2 \text{ et } \o{\forall} \o{\forall} \fbox 2 \times \fbox 1 = \fbox 5 \Rightarrow \left (\fbox 2 = 1 \text{ ou } \fbox 1 = 1\right ) \text{ et } \\
\fbox 6 + \fbox 5 = \fbox 8 \right )\tag{12}
$$ Il va sans dire que l'énoncé complet $(12)$ de la conjecture de Goldbach ci-dessus ne contient aucune lettre.
[large]A suivre ...[/large] (des commentaires supplémentaires s'imposent mais il se fait tard).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
@dom, dans les vraies maths (non scolaires), les variables ne peuvent que jouer un rôle symétrique. Au lycée, il y a quelques exceptions où des abus de langage ont été créés comme suit:
$$\{A\mid R(x_A,y_A)\}$$
a été remplacé par
Ensemble d'équation $[R(x,y)]$
qui conduit à une lecture où $x,y$ sont privilégiées en tant que lettres. Mais viendra un monde (si on survit au corona où mon petit doigt me dit qu'on se mettra à l'écriture polonaise et aux combinateurs*** et où plus aucune vériable liée ne sera tolérée. Ce n'est qu'une question d'habitude, mais un tel gâchis dans la formation scientifique des enfants a été observé depuis la nuit de temps à cause de ce problème (en plus subissant un déni assez scandaleux des autorités pédagos au motif, peu avouable, qu'elles ne maitrise pas la liaison de variables), que l'économie combinatoriale, aussi austère qu'elle paraisse aujourd'hui, sera probablement adoptée un jour.
*** Avec $\forall a,b,c:$
Je rappelle ce que sont les maths: l'ensemble des preuves irréfutables formelles.
Il est donc idiot de dire (1) "débarrassons-nous des gens qui se sont spécialisés en recherche de preuves irréfutables formelles".
Les propos de Raoult sont non seulement dans un média grand public, et les lecteurs ne peuvent pas avoir d'avis honnête, faute de compétences, mais en plus dans un contexte particulièrement hystérique de drame mondial dont on ne se relèvera peut-être jamais.
Il vaudrait mieux dire (2) "ceux qui disent tout le temps "on veut une preuve avant d'agir" nous ralentissent et imposent un immobilisme non pertinent dans le contexte Truc-Bidule-Chouette". C'est en fait le sentiment EXACT qu'exprime la phrase (1), mais elle est mal dite et je viens de bien dire la pensée sans la modifier via (2).
Il n'est ni constamment faux, ni constamment vrai que dans la vraie vie des preuves doivent précéder des décisions. C'est d'une banalité tellement gigantesque de rappeler ça...
Quant aux débats sur la nocivité de la science, comme le dit foys, fait-on des procès aux couteaux ou aux gens qui poignardent. Pour préciser plus pourquoi la science donnent des outils puissants (alors que par exemple les religions ne servent à rien et sont des sectes,etc), c'est parce que les spécialistes en recherche de preuves irréfutables ont acquis une dextérité qui les amène à mieux exploiter ce que par ailleurs la Nature DONNE, et peuvent (la preuve le permet par son infaillibilité) DIFFUSER les outils en milliards d'exemplaires (on doit avoir plusieurs milliards d'ascenseur dans le monde par exemple, je pense, par exemple).
Ca a des inconvénients!! Mais ça ne vient pas des preuves (la science n'est que preuves), ça vient de la force supplémentaire donnée EN MOYENNE à chaque terrien, force qui lui permet de détruire comme de construire. Et parfois il détruit .. ses voisins.
Edit: @dom, mon poil te plait-il, repousse-t-il assez vite? :-D
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Les théorèmes de Hahn Banach font gros usage d'axiome du choix. Séparer deux singletons ne nécessite pas de séparer tous les convexes. La topologie faible est formée des réunions d'intersections de demi-espaces définis chacun par une forme linéaire continue. Il est donc, étant donnés $a,b$ dans un Banach, suffisant de trouver une forme linéaire $f$ telle que $f(a)\neq f(b)$.
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Le forum est évidemment très bien, mais il m'arrive souvent de constater que wikipedia aussi est très bien quand il donne des preuves.
Dans le cas du lien, un petit tour sur wikipedia offre une preuve dans les anneaux commutatifs quelconques. C'est tout de même dommage de ne pas y aller du coup.
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Je me permets (alors que ce n'est pas du tout mon rayon) de signaler une approche tout de même plus digeste.
Je vais dire une grosse de chez grosse banalité, mais il ne semble pas qu'elle ait été dite (je n'ai pas lu, j'ai juste cliqué et vu de loin tout plein de calculs):
Si le produit de polynômes $(aX^n+b)(cX^p+d)$ est nul, ça entraine que $ac=0$ ainsi que $bd$.
Varier là dessus, villégiaturer autour de ce que ça signifie en termes d'anneaux quotients redonne autant Eisenstein, que divers trucs proches.
Si on en croit wikipedia, qui donne une preuve courte, le lemme de Gauss pour les polynômes (qui tire des corollaires du fait que tout $uv$ où $u$ est un coef de $P$ et $v$ de $Q$ a une puissance dans l'idéal engendré par le polynôme $PQ$) + la grosse trivialité que j'ai dite ci-dessus suffise à se faire une petite liste de déductions de ça, les dimanches de pluie.
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la noethérianité fait qu'on peut suppose que cest vrai pour $A/(a)$ qui que soit $a\neq 0$. On peut alors prendre pour $a$ un élément du $I$ dans le conslusion. Ca ne semble pas rendre fausses les hypothèses de "tuer" $a$, et donc il y a bien un $n$ tel que $I_n\subset I$. La localité n'a pas servie.
Cela dit, ce genre d'hypothèses assez complexes et nombreuses, ce n'est pas ma tasse de thé. Mais à vérifier.
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je trouve l'énoncé "formel" assez fascinant. Bon évidemment ce ne sont que des calculs. Mais en "percevant" dans le texte de marco le mot "produit scalaire, j'ai ouvert monblocnote (ça doit être une des premières fois de ma vie où je ne réponds pas intempestivement sur le forum).
Bon comme ce que je vais écrire (enfin copier-coller du bloc-notes) est évident,j'ai surement fait une erreur (comme chaque fois que je me hasarde à lire un truc calculatoire):
<AB-BA | AB-BA> = 0 car
<AB|AB> + <BA|BA> - <BA|AB> - <AB|BA> = 0
hyp: <BA | BA> = <BA|AB> = <AB|BA>
Je ne montre qu'une chose, c'est qu'un produit scalaire est nul. Mais comme c'est $<X|X> = 0$, ça entraine $X=0$.
J'ai utilisé $\forall X,Y: tr(XY)=tr(YX)$ et $BA = transposee(AB)$.
Cependant (et sous l'hypothèse que je n'ai pas fait d'erreur), ça doit être vrai dans tout corps.... J'aimerai bien voir comment on "squizze" le PS sans mourir sous les calculs.
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Ok Christophe.
Dans tout ce qui suit je considère que a et b sont entiers naturels (à la limite on peut même contraindre à ce que a - b soit entier naturel encore – ou bien b-a – pour éviter les relatifs mais c’est très accessoire).
1) tu utilises la définition de a/b à droite et à gauche.
Il me semble que dans le fil c’est défini que d’un côté : (a/b)b= a.
En effet l’auteur définit la multiplication où au moins le deuxième nombre est entier et donc ne peut pas écrire b(a/b) faute de définition.
2) même chose : dans le rappel « sans commutativité... » tu utilises que « l’inverse » est considéré comme « inverse à gauche et à droite » où je me trompe ?
Ici c’est justement « la » question d’après moi. a/b n’est défini que comme (a/b) b = a mais on ne sait rien sur b (a/b).
3) Aussi, dans la fin :
Tu utilises la distributivité mais on a le droit car le nombre a est entier.
Sauf qu’on a les négatifs et qu’il faudrait justifier que la commutativité et distributivité s’étend aux relatifs (ou alors je m’embrouille tout seul ?).
Peut-être il y a encore de l’embrouille (pour ma part !) dans ax=b au lieu de xa=b.
Passons, j’écris selon l’auteur.
xa = b et ya = b (inverses à gauche)
xa-ya = 0
(x-y)a=0
et là il faut inverser à droite, toujours le même problème selon moi.
Mais sauf s’il m’a échappé qu’on disait « inverse » pour gauche et droite DANS CE CONTEXTE où l’on n’a pourtant PAS la multiplication définie dans les deux sens.
@christophe c: bravo ! C'est rapide comme ça. Mais, pour le corps $\C$, je ne sais pas, car $A$ et $B$ sont symétriques et pas auto-adjointes, et $Tr(^tX Y)$ n'est pas un produit scalaire sur $\C$. Par exemple si $X=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}$, $Tr(^tXX)=0$ et $X \neq 0$.
Je me suis laissé illusionner, mais c'est une situation où :
Hyp => Somme de carrés nulle
et c'est très typique de IR, que chaque terme soit nul.
Ca doit être très rare les cas "de ce genre" où sur un corps quelconque ça marche, à cause du théorème des zéros (ou de la dimension), une égalité de dimension 3 ou 4 qui donnerait une égalité de dimension n, quel spectacle.
A noter que je n'aurais pas fait mon calcul si je n'avais lu le mot "produit scalaire" dans ton post :-D
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@dom, surchauffe, je ne sais pas, mais tu vas loin dans la poésie, alors que je ne faisais que signaler des calculs strictement formels pour les destinataires sans y mettre de sens. Et ce que j'utilise se voit, c'est bien simple, quand je ne justifie pas un truc, c'est qu'il est supposé :-D
Pour raccorder ça à des choses concrètes:
- la monnaie 3 paquets de 4 pièces d'un tiers d'euro te donne 4 euros (Bon, en sixème bof)
- la géométrie projective (ou affine): en définissant la notion de coordonnées via eux axes et les projections parallèles, la question est de savoir si étant donné n'importe quelle droite $d$ non parallèle aux axes; l'ensemble des points $A$ tels que la droite qui passe par $(x_A,0)$ et $(0,y_A)$ est parallèle à $d$ est inclus dans une droite.
Cette définition qui semble "définir" l'alignement entre des points et le centre du repère "ne devrait pas" dépendre du repère à origine fixée. C'est probablement là qu'interviennent Désargue, Pappus, etc.
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Toujours à propos du sadisme taupinal (et je me suis fait avoir) évoqué quelques posts plus haut à propos d'un fil où marco avait répohdu au questionneur en premier, une remarque qui me semble intéressante est quand-même de signaler l'exercice soit-disant trivial, mais dont l'énoncé est "spectaculaire" en première lecture réflexe: Prouver que
1/ Pour tout ce qui est scientifique, j'essaie tout de même d'apporter des contributions de logiciens dyscalculiques. Autrement dit, je déborde peut-êrte un peu, mais surtout dans l'art de tenter de diffuser ce qu'on peut faire sans calculer ce qui n'est pas spécialement HS des fondements.
2/ Pour la partie non maths, mes interventions sont quand-même devenues très rares et essentiellement postées dans le présent fil. J'ouvre rarement un fil "polémique" (je me contente de poster ici dans ce déjà fourni fil)
3/ Pour ma restriction: personnellement, même si je l'ai trouvée injuste dans son fondement officiel***, je suis content que ça m'ait permis de me désaddictionner, comme d'autres le font régulièrement sans y être contraints. Il y a de longue périodes même récentes où je suis très peu venu. Ces derniers jours, le confinemen-COVID me fait venir plus (et je ne suis pas le seul).
4/ Si, d'ici 3 mois, j'avais posté des tonnes de choses dans L et F (abstraction des fils de logique), je comprendrais mieux, héhéhé. Mais là, je trouve ça rapide à la détente (et probablement déclenché par Syracuse et son côté "shtam"). Je ne trouve pas très délicat d'avoir évoqué le fil "viré" (qui est assez exceptionnel, aurait eu sa place dans VdF) dans ton intervention "forumique" puisqu'il s'agissait d'une nouvelle physique perosnnelle (qui n'arrive en général qu'une fois).
5/ Conclusion: parfois préciser son intention serait plus parlant, car je pense que tes lecteurs (et même ceux qui se forcent à répondre à ton post, plus qu'à tes intentions) se demandent ce qui t'a agacé. (Moi, je parie que c'est syracuse :-D ). Autre chose: je ne pense pas que les rubriques algèbre, arithmétique, analyse seraient envahies par moi (désaddiction effective assez sûre (je le ressens et il n'y a qu'à voir "topologie")). Les rubriques politiques (Maths et S, pédago, etc) il y a toujours un risque (quand je m'emballe à polémiquer). Voilà ce que je peux dire sur comment je sens que je suis en relation avec le forum.
*** mais elle a répondu à une demande officieuse plus naturelle que je comprends
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Au sujet des histoires de traces, avec la même ''astuce'' il y a aussi :
toute forme linéaire sur les matrices de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ est de la forme $A \mapsto Tr(AB)$ (où $B \in \mathcal M_n(\mathbb R)$).
D’accord avec à peu près tout, même s’il s’agit de factuel (donc pas de quoi être d’accord ou en désaccord).
Seule chose qui m’avait étonné au début de ce dispositif et je crois que je l’avais dit : tu piochais dans chaque discussion qui t’intéressais pour intervenir sans pouvoir intervenir « pour de vrai ».
Ça s’interprétait comme si il fallait que tu écrives quelque chose qui soit visible, pour ton bien, comme une thérapie.
Comme si la modération te permettait ça « quand même on ne peut pas l’empêcher d’écrire à propos d’un autre fil, le pauvre ».
En ce sens je ne comprenais pas la « fausse » interdiction.
Sur le côté addictif, chacun est plus ou moins accroché à des discussions, par période.
Je ne sais pas s’il est bien pertinent de s’ingérer dans l’état psychologique de chaque auteur (lui, il faut le laisser écrire, pour son bien, lui ça lui ferait pas de mal de le brider un peu).
La modération doit peut-être agir « comme un robot » même si parfois, comme dans certains débats (ou procès ?), il est difficile de trancher nettement en fonctions des éléments.
À plus tard.
Dom
PS: je n’aime absolument pas cependant qu’on ouvre des discussions dont le sujet, et parfois même l’intitulé lui-même, porte sur une personne/pseudo.
Que ce soit pour l’honorer ou la critiquer d’ailleurs. Je ne trouve pas ça très sain. Et même je ne le comprends pas.
Réponses
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1941124,1941124#msg-1941124
je n'ai pas lu tout le fil, mais j'ai l'impression qu'à brule-pourpoing, les gens n'ont pas trop "en pratique" répondu à alesha (à part avec des exemples de principe).
Il est logicien, et je pense qu'il évoque et cherche des situations suivantes:
1/ Il est évident ou facile que $A\subset B$
2/ Il est évident ou facile que $A=\N$ se prouve par récurrence
3/ Il est EXTREMEMENT DIFFICILE de prouver $B=\N$ par récurrence (peu importe le type de récurrence), si on n'a pas l'idée "inspirée et venue de nulle part" d'envisager $A$.
Ces situations ABONDENT CONTINUELLEMENT dans les maths (c'est 99% des preuves par récurrence des maths pros). Et il ne s'agit JAMAIS dans ces cas-là de varier sur le type de récurrence.
Exemple bateau: la somme de deux nombres qui ne sont pas pairs est un nombre pair.
Du coup pour répondre il faut "brancher un écouteur" sur la vie des matheux et leur demander d'envoyer un sms à alesha quand ils sont, en pratique, confrontés à un exemple, car en trouver "à la demande" n'est pas très aisé.
Voici d'autres exemples:
1/ il existe une infinité de nombres premiers (au sens ou pour tout n, il existe p >n qui est premier)
2/ Tout graphe planaire contient un sommet de degré au plus 5
3/ Toute configuration de Sperner contient une étoile
Concernant (1), aucune chance sans inspiration de trouver la "bonne" propriété, même si c'est très familier aux gens pour d'autres raisons
Concernant (2) la propriété récurrente est la ... formule d'Euler (très très loin de la conclusion)
Concernant (3) le nombre d'étoile est impair donc Il en existe au moins une.
Polynôme unitaire (monic polynomial), ça veut dire que le coefficient dominant est égal à 1. Je peux te donner une flopée de références.
Ça permet certainement d’être plus « déterministe ».
Désolé c’est un naïf néophyte béotien qui parle. 8-)
Pour l'instant, je reste sagement sur le forum :-D , ça me parait un peu calculatoire "de base" comme disent de + en + de gens.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1943014
a) Variantes finies (il a compris tout de suite).
b) Variantes finies / infinies (c'était un peu plus délicat, mais il a fini par piger).
c) Variante infinie / infinie : là il pensait bien sûr qu'on pouvait y arriver dans tous les cas. Je lui ai dit que justement non, parce qu'il y a plusieurs sortes d'infini, et que c'était ça la base de la théorie des ensembles.
Moralité : il ne sait toujours pas ce qu'est la théorie des ensembles (et je ne pense pas que ce soit ça qui l'empêche de dormir), mais au moins il a appris (et compris) quelque chose.
CQFD.
Au passage j'en profite pour te dire que j'ai beaucoup aimé ta preuve du fait que $\sqrt{n}$ est irrationnel dès l'instant que $n$ n'est pas un carré parfait. J'avoue que je ne la connaissais pas...
Voici le fil: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?6,1960160 et l'intervenant est "Romanesco".
Tu devrais tirer des initiatives de ton constat, non? Ne crois-tu pas qu'il y a une forme d'équivalence entre les deux (bornes toujours atteintes et compacité de l'espace)?
Essaie de mettre en place un énoncé et de le prouver, tu seras surement très content de toi à la fin.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1960422,1960422#msg-1960422
C'est un phénomène célèbre et ultra-connu (qui fait que par exemple, aucun ultrafiltre n'est mesurable, etc).
En fait, même toute partie mesurable de $[0,1]$ est bourrée de gros grumeaux et de "trous" :-D Elle n'est jamais homogène. Une façon très simple de le voir est de se rappeler la compacité.
Soient $A\subset [0,1]$ mesurable et $I_n, J_n$ des intervalles indicés par les entiers tels que : $$A \subset \cup_n\ I_n\qquad\text{ et }\qquad ([0,1] \setminus A) \subset \cup_n\ J_n$$ et $$ MesureLebesgue [(\cup_n\ I_n) \cap (\cup_n\ J_n)] < 0.00001.
$$ À eux tous, les $I_n, J_p$ recouvrent $[0,1]$. Tu en extrais un sous-recouvrement fini et tu imagines tout ça dessiné sur un écran (les points rouges sont ceux ayant une ordonnée dans $A$ et les verts ceux ayant une ordonnée $\notin A$. Et pis, bin, tu colories les intervalles $I_n$ en rouge (sur ton deuxième écran) et les $J_p$ en vert. Les non concordances occupant moins de $0.00001$ de volume, tu vois tes grumeaux en live.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1960026,1960026#msg-1960026
En dehors d'un plaisir** de soulagement une correction ne sert à rien. Autre règle d'or: si tu n'es pas sûr à 100% de ta solution c'est que tu n'as pas résolu l'exercice.
** De même genre que celui qu'on ressent devant un bon film.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?15,1958182,1961850#msg-1961850
Moi je dis vive le Pascal (ou caml si seulement il y avait un environnement comme Lazarus ou Delphi proposé avec le caml tout le monde se jetterait dessus et plus ce genre de problème avec du typage artisanal).
:-D
Je n'ai rien contre le Pascal; je l'ai même enseigné, mais il faut bien dire qu'il n'est pas utilisé dans l'industrie, pas plus que le caml.
Mais bon, des goûts et des couleurs ...................
Cordialement,
Rescassol
Haha, tu as repris du poil de la bête ;-)
À plus tard ;-)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1963638,1964044#msg-1964044
Sans vouloir figer absolument la terminologie aux choix de Bourbaki, il est tout de même recommandé de faire assez attention dans la mesure où les preuves de maths sont purement syntaxiques. Si on floute trop, les gens auront du mal à communiquer. On a déjà pas mal d'homonymies un peu désastreuses (par exemple, pour un idéal $J$, l'expression $J^2$), pour ne pas faire du slogan "varions" un principe festif non plus.
Et concernant les corps non commuatifs (pardon ça va plus vite), donc forcément infinis, ce sont probablement des objets fascinants au sens que:
1/ Wedderburn est POUR L'HEURE un préambule NECESSAIRE dans la preuve de Jacobson, qui dit pourtant un truc beaucoup plus général, on ne peut donc pas décemment dire qu'avoir prouvé Jacobson SUFFIT à rendre obsolète celle de Wedderburn
2/ Aucune preuve "correcte à avaler" n'est pour l'heure connue à ce jour. Elles sont toutes techniques
3/ La géométrie qui semble snober les anneaux pas corps fait un gros usage de corps, et eux seuls. (Je considère évidemment toute géométrie comme projective, inutile de s'embarasser d'usines à gaz), et en l'occurrence Wedderburn dit que tout espace projectif de dimension au moins 3 et fini vérifie Pappus (c'est franchement pas rien) car dès que la dimension est $\geq 3$, c'est défini uniquement avec des axiomes d'incidence bêtes et méchants.
Je réagis à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1964260,1964260#msg-1964260
où on peut constater une fois de plus les dégâts d'une certaine forme de pédagogisme orphelin d'objectif. L'important n'est pas la connaissance des formules indigentes (oubliées par plus de 90% des gamins l'année suivante en première), mais celle de l'abord de l'horrible convention langagière qui fait parler d'équations d'ensembles sans lier la variable $(x,y)$ et en plus en privilégiant des lettres de l'alphabet.
Je rappelle donc que :
l'ensemble d'équation [ phraseAveDesXYminuscules ]
désigne
l'ensemble des points qui peuvent (pourraient) dire (sans mentir) la phrase obtenue en remplaçant la lettre $x$ par "mon abscisse" et la lettre $y$ par mon ordonnée dans phraseAveDesXYminuscules
Et ça n'a strictement aucune importance de savoir si machin est qualifié de paramétrique et truc de cartésien.
Par exemple $\emptyset$ est
l'ensemble d'équation $[x^2 + y^2 + 17 = 3]$
(ie l'ensemble des points pouvant dire
mon abscisse au carré + mon ordonnée au carré + 17 =3 )
et ce n'est ni "paramétrique" ni "cartésien" et on s'en fiche totalement.
J'espère que dom va être content de ma beauferie de forme :-D (bon j'avoue je me force un peu, ça m'est devenu assez indifférent tout ça)
Une équation cartésienne de $A$ consiste en la description de $A$ comme l'ensemble des zéros d'une fonction de $\R^2$ dans $\R$.
Une équation paramétrique de $A$ consiste en la description de $A$ comme l'image d'une fonction d'un intervalle de $\R$ dans $\R^2$.
Quand tu dis "l'ensemble d'équation [ phraseAveDesXYminuscules ] ",
c'est une équation cartésienne.
Par contre, une équation paramétrique a l'avantage de permettre de tracer une courbe point par point.
On l'a d'ailleurs vu bie. Souvent sur le forum .. chez des étudiants (qui se demandaient combien vaut x etc)
C'est pas mal aussi parfois en analyse, il suffit de considérer par exemple l'équation différentielle $x'-2x=t^2-\cos t$...
On a tellement du $f$ de $x$ égal $y$ puis du $ax+b$ égal $y$ etc.
Mais c’est évident qu’il faut faire super gaffe avec ces implicites.
Par contre je m’oppose à faire parler les objets et à dire qu’ils disent la vérité ou je ne sais quoi d’autre.
Le symptôme, c'est quand les élèves se mettent à raconter n'importe quoi au grand dam des profs.
Ce que les pédagogistes dénoncent sous divers noms comme "problème de la lettre" ou autre (et qui n'est pas une incompréhension conceptuelle mais une incapacité à lire un texte mathematique dont le mode de lecture est non documenté) est provoqué par l'utilisation (non documentée) desdites lettres dans des énoncés où sont employés comme noms propres des marqueurs de place.
Ainsi, dans ce qui suit, les symboles $\overline {\forall}$, $\overline {\exists}$, $\overline{\mapsto}$, $\overline{\lim}$,
$\overline{EQ}$, $\overline{\sum}$ seront qualifiés de "symboles lieurs" et on considère les nombres encadrés qui apparaissent dans les formules ci-dessous comme étant des adresses de symboles lieurs dans une formule. [size=large]Pour retrouver le lieur correspondant à un nombre encadré $\fbox n$, on adopte (ici) comme convention que c'est le n-ième lieur à la gauche de $n$ dans ladite formule.[/size]
Exemples:
(i) $$\overline{\mapsto} a \fbox 1 + b \tag 0$$ est une expression (désignant habituellement une fonction affine) et dans laquelle seules les lettres $a,b$ apparaissent (et désignent des nombres).
$\newcommand{\o}[1]{\overline {#1}}$
(ii)dans cet exemple $f$ désigne une fonction de $\R$ dans $\R$ et $x$ désigne un nombre réel. Les quantifications portent implicitement sur des nombres réels. L'énoncé
$$\overline {\forall} \overline {\exists} \overline {\forall} \left ( |\fbox 1 - 0| \leq \fbox 2 \Rightarrow |f(\fbox 1) - f(0)| \leq \fbox 3 \right )\tag 1$$
signifie intuitivement que $f$ est continue en $0$ et ne parle que de $f$.
L'énoncé $$\o {\forall} f(x) \geq f(\fbox 1) \tag 2$$ dit intuitivement que $f$ possède un maximum en $x$ (et donc parle du réel $x$ en plus de $f$).
(iii) L'énoncé $$\o{\sum}_{1}^{+\infty} \frac{1}{\fbox 1 ^2} = \frac{\pi^2}{6} \tag 3$$ est un célèbre théorème de mathématiques qui ne contient aucune lettre à part $\pi$ (surtout pas un certain "$n$" ) et qui obtenu en étudiant la fonction définie par la formule $$\o{\mapsto} \o{\sum}_{1}^{+\infty} \frac{1}{\fbox 1 ^{\fbox 2}} \tag 4 $$ dite "fonction zeta de Riemann". Cette expression ne contient aucune lettre.
(iv) Soient $a,b,c$ des nombres réels, $a$ étant non nul. L'expression $$\o{EQ} \left ( a \fbox 1 ^2 +b \fbox 1 +c = 0\right ) \tag 5$$ est appelée "équation du second degré à une inconnue". Cette expression ne comporte comme lettres que $a,b$ et $c$ exclusivement. l'équation possède au moins une solution si et seulement si $b^2 - 4ac\geq 0$.
Les lettres $r,t$ désignent des réels, $r$ étant positif. L'expression suivante (dont les seules lettres sont $r$ et $t$) est appelée "équation du cercle de centre $(2,t)$ et de rayon $r$":$$
\o{EQ}\: \o{EQ} \left ( (\fbox 2 - 2)^2 + (\fbox 1 - t)^2 = r^2\right ) \tag 6
$$
(v) Dans le cours sur les limites, étant donné des réels $x$ et $y$ strictement positifs,on peut établir des résultats tels que
$$ \o{\lim} _{+\infty} \frac{\left (\log (\fbox 1) \right )^x }{ \fbox 1 ^ y} = 0 \tag 7$$
Cet énoncé ne parle que de $x$ et $y$ et pas d'une quelconque "variable" ou que sais-je. Il est l'application aux cas particuliers de $x$ et $y$, de l'énoncé général ci-dessous (ce dernier ne contient aucune lettre)
$$ \o{\forall} \o{\forall} \o{\lim} _{+\infty} \frac{\left (\log (\fbox 1) \right )^{\fbox 3} }{ \fbox 1 ^ {\fbox 2}} = 0 \tag 8$$
(vi) $P$ désigne une propriété; l'énoncé célèbre $$ \o{\forall} \left [ \fbox 1 \in \emptyset \Rightarrow P(\fbox 1) \right ]\tag 9$$ ne contient d'autres lettres que $P$ et en particulier ne parle pas du tout d'un quelconque "élément de l'ensemble vide". Il ne fait qu'énoncer une propriété conjointe de $\emptyset$ et de la propriété $P$ ("sur l'ensemble vide, $P$ est partout vraie": ceci par faute de contre-exemples).
(vii) La lettre $p$ désigne un nombre entier naturel (i.e. positif). Les quantifications portent sur des entiers naturels.
L'énoncé suivant se dit en prose "$p$ est un nombre premier":$$
p \geq 2 \text{ et } \o{\forall} \o{\forall} \fbox 2 \times \fbox 1 = p \Rightarrow \left (\fbox 2 = 1 \text{ ou } \fbox 1 = 1\right )\tag {10}$$ Par suite, en abrégeant par $\mathcal P(n)$ la phrase (parlant de $n$) "$n$ est un nombre premier", on a un célèbre énoncé ouvert ("conjecture de Goldbach"):
$$ \o{\forall} \left (\fbox 1 \geq 4 \text{ et } \o{\exists} 2\times \fbox 1 = \fbox 2 \right ) \Rightarrow \o{\exists} \o{\exists} \left (\mathcal P (\fbox 2) \text{ et } \mathcal P (\fbox 1) \text{ et } \fbox 2 + \fbox 1 = \fbox 4 \right )\tag{11}$$ qui dit intuitivement que tout entier pair plus grand que 4 est la somme de deux nombres premiers et qui ne contient comme lettre que l'abréviation $\mathcal P$ Noter qu'on peut retirer l'abréviation $\mathcal P$ mais qu'alors les nombres encadrés changent (vu la convention qui régit leur emploi). On obtient $$
\o{\forall} \left (\fbox 1 \geq 4 \text{ et } \o{\exists} 2\times \fbox 1 = \fbox 2 \right ) \Rightarrow \o{\exists} \o{\exists} \left (
\\ \fbox 2 \geq 2 \text{ et } \o{\forall} \o{\forall} \fbox 2 \times \fbox 1 = \fbox 4 \Rightarrow \left (\fbox 2 = 1 \text{ ou } \fbox 1 = 1\right )\text{ et } \\
\fbox 3 \geq 2 \text{ et } \o{\forall} \o{\forall} \fbox 2 \times \fbox 1 = \fbox 5 \Rightarrow \left (\fbox 2 = 1 \text{ ou } \fbox 1 = 1\right ) \text{ et } \\
\fbox 6 + \fbox 5 = \fbox 8 \right )\tag{12}
$$ Il va sans dire que l'énoncé complet $(12)$ de la conjecture de Goldbach ci-dessus ne contient aucune lettre.
[large]A suivre ...[/large] (des commentaires supplémentaires s'imposent mais il se fait tard).
Il me semblerait que COGITO pourrait peut-être bien être "encore plus" intéressé par la question suivante:
caractériser les anneaux vérifiant:
On a en effet, de nombreux anneaux où la régularité d'un élément n’entraîne pas son inversibilité pour des raisons sans aucun intérêt.
$$\{A\mid R(x_A,y_A)\}$$
a été remplacé par
qui conduit à une lecture où $x,y$ sont privilégiées en tant que lettres. Mais viendra un monde (si on survit au corona où mon petit doigt me dit qu'on se mettra à l'écriture polonaise et aux combinateurs*** et où plus aucune vériable liée ne sera tolérée. Ce n'est qu'une question d'habitude, mais un tel gâchis dans la formation scientifique des enfants a été observé depuis la nuit de temps à cause de ce problème (en plus subissant un déni assez scandaleux des autorités pédagos au motif, peu avouable, qu'elles ne maitrise pas la liaison de variables), que l'économie combinatoriale, aussi austère qu'elle paraisse aujourd'hui, sera probablement adoptée un jour.
*** Avec $\forall a,b,c:$
Sabc = ac(bc)
Gabc = acb
Dabc = a(bc)
Wab = abb
Avec $\forall x,y:$
$Axy:=x+y$ et $Bxy:=x\times y$, par exemple:
$x\mapsto 7+3x$ s'écrit $D(A7)(B3)$ car
$[x\mapsto A7(B3x)] = [x\mapsto D(A7)(B3)x)] = D(A7)(B3)$
Je rappelle ce que sont les maths: l'ensemble des preuves irréfutables formelles.
Il est donc idiot de dire (1) "débarrassons-nous des gens qui se sont spécialisés en recherche de preuves irréfutables formelles".
Les propos de Raoult sont non seulement dans un média grand public, et les lecteurs ne peuvent pas avoir d'avis honnête, faute de compétences, mais en plus dans un contexte particulièrement hystérique de drame mondial dont on ne se relèvera peut-être jamais.
Il vaudrait mieux dire (2) "ceux qui disent tout le temps "on veut une preuve avant d'agir" nous ralentissent et imposent un immobilisme non pertinent dans le contexte Truc-Bidule-Chouette". C'est en fait le sentiment EXACT qu'exprime la phrase (1), mais elle est mal dite et je viens de bien dire la pensée sans la modifier via (2).
Il n'est ni constamment faux, ni constamment vrai que dans la vraie vie des preuves doivent précéder des décisions. C'est d'une banalité tellement gigantesque de rappeler ça...
Quant aux débats sur la nocivité de la science, comme le dit foys, fait-on des procès aux couteaux ou aux gens qui poignardent. Pour préciser plus pourquoi la science donnent des outils puissants (alors que par exemple les religions ne servent à rien et sont des sectes,etc), c'est parce que les spécialistes en recherche de preuves irréfutables ont acquis une dextérité qui les amène à mieux exploiter ce que par ailleurs la Nature DONNE, et peuvent (la preuve le permet par son infaillibilité) DIFFUSER les outils en milliards d'exemplaires (on doit avoir plusieurs milliards d'ascenseur dans le monde par exemple, je pense, par exemple).
Ca a des inconvénients!! Mais ça ne vient pas des preuves (la science n'est que preuves), ça vient de la force supplémentaire donnée EN MOYENNE à chaque terrien, force qui lui permet de détruire comme de construire. Et parfois il détruit .. ses voisins.
Edit: @dom, mon poil te plait-il, repousse-t-il assez vite? :-D
Les théorèmes de Hahn Banach font gros usage d'axiome du choix. Séparer deux singletons ne nécessite pas de séparer tous les convexes. La topologie faible est formée des réunions d'intersections de demi-espaces définis chacun par une forme linéaire continue. Il est donc, étant donnés $a,b$ dans un Banach, suffisant de trouver une forme linéaire $f$ telle que $f(a)\neq f(b)$.
Le forum est évidemment très bien, mais il m'arrive souvent de constater que wikipedia aussi est très bien quand il donne des preuves.
Dans le cas du lien, un petit tour sur wikipedia offre une preuve dans les anneaux commutatifs quelconques. C'est tout de même dommage de ne pas y aller du coup.
Je me permets (alors que ce n'est pas du tout mon rayon) de signaler une approche tout de même plus digeste.
Je vais dire une grosse de chez grosse banalité, mais il ne semble pas qu'elle ait été dite (je n'ai pas lu, j'ai juste cliqué et vu de loin tout plein de calculs):
Si le produit de polynômes $(aX^n+b)(cX^p+d)$ est nul, ça entraine que $ac=0$ ainsi que $bd$.
Varier là dessus, villégiaturer autour de ce que ça signifie en termes d'anneaux quotients redonne autant Eisenstein, que divers trucs proches.
Si on en croit wikipedia, qui donne une preuve courte, le lemme de Gauss pour les polynômes (qui tire des corollaires du fait que tout $uv$ où $u$ est un coef de $P$ et $v$ de $Q$ a une puissance dans l'idéal engendré par le polynôme $PQ$) + la grosse trivialité que j'ai dite ci-dessus suffise à se faire une petite liste de déductions de ça, les dimanches de pluie.
la noethérianité fait qu'on peut suppose que cest vrai pour $A/(a)$ qui que soit $a\neq 0$. On peut alors prendre pour $a$ un élément du $I$ dans le conslusion. Ca ne semble pas rendre fausses les hypothèses de "tuer" $a$, et donc il y a bien un $n$ tel que $I_n\subset I$. La localité n'a pas servie.
Cela dit, ce genre d'hypothèses assez complexes et nombreuses, ce n'est pas ma tasse de thé. Mais à vérifier.
j'ai survolé, mais l'unicité n'est pas du tout un truc que l'on peut "admettre" honnêtement comme axiome. L'axiome a vocation à donner l'existence.
Le problème est le même avec $-$.
$ a\times (1/b) = ((a/b) \times b) \times (1/b) = $
$(a/b)\times [b\times (1/b)] = (a/b)\times [(1/b)\times b] = $
$(a/b)\times 1=a/b$
Rappel: sans commutativité, l'unicité de l'inverse n'est acquise que par:
$$ b = b1 = b(ac) = (ba)c = 1c = c$$
Si tu disposes de la soustraction dans la structure, tu peux utiliser la déduction:
$ax=b$; $ay=b$
donc $ax-ay=b-b$
donc $a(x-y)=0$
donc $a'a(x-y)=0$
donc $1(x-y)=0$
donc $x=y$
afin d'avoir écrit les solutions de $[ax=b; inconnue$ $x]$ du même côté, mais... :-D c'est de l'autre côté que tu inverses $a$.
je trouve l'énoncé "formel" assez fascinant. Bon évidemment ce ne sont que des calculs. Mais en "percevant" dans le texte de marco le mot "produit scalaire, j'ai ouvert monblocnote (ça doit être une des premières fois de ma vie où je ne réponds pas intempestivement sur le forum).
Bon comme ce que je vais écrire (enfin copier-coller du bloc-notes) est évident,j'ai surement fait une erreur (comme chaque fois que je me hasarde à lire un truc calculatoire):
<AB-BA | AB-BA> = 0 car
<AB|AB> + <BA|BA> - <BA|AB> - <AB|BA> = 0
hyp: <BA | BA> = <BA|AB> = <AB|BA>
Je ne montre qu'une chose, c'est qu'un produit scalaire est nul. Mais comme c'est $<X|X> = 0$, ça entraine $X=0$.
J'ai utilisé $\forall X,Y: tr(XY)=tr(YX)$ et $BA = transposee(AB)$.
Cependant (et sous l'hypothèse que je n'ai pas fait d'erreur), ça doit être vrai dans tout corps.... J'aimerai bien voir comment on "squizze" le PS sans mourir sous les calculs.
$$ (X,Y)\mapsto trace((transposee(X)\times Y)$$
est un produit scalaire. (Ce n'est rien d'autre que $\sum_{i,j} X(i,j)Y(i,j))$ si on y pense).
Dans tout ce qui suit je considère que a et b sont entiers naturels (à la limite on peut même contraindre à ce que a - b soit entier naturel encore – ou bien b-a – pour éviter les relatifs mais c’est très accessoire).
1) tu utilises la définition de a/b à droite et à gauche.
Il me semble que dans le fil c’est défini que d’un côté : (a/b)b= a.
En effet l’auteur définit la multiplication où au moins le deuxième nombre est entier et donc ne peut pas écrire b(a/b) faute de définition.
2) même chose : dans le rappel « sans commutativité... » tu utilises que « l’inverse » est considéré comme « inverse à gauche et à droite » où je me trompe ?
Ici c’est justement « la » question d’après moi. a/b n’est défini que comme (a/b) b = a mais on ne sait rien sur b (a/b).
3) Aussi, dans la fin :
Tu utilises la distributivité mais on a le droit car le nombre a est entier.
Sauf qu’on a les négatifs et qu’il faudrait justifier que la commutativité et distributivité s’étend aux relatifs (ou alors je m’embrouille tout seul ?).
Peut-être il y a encore de l’embrouille (pour ma part !) dans ax=b au lieu de xa=b.
Passons, j’écris selon l’auteur.
xa = b et ya = b (inverses à gauche)
xa-ya = 0
(x-y)a=0
et là il faut inverser à droite, toujours le même problème selon moi.
Mais sauf s’il m’a échappé qu’on disait « inverse » pour gauche et droite DANS CE CONTEXTE où l’on n’a pourtant PAS la multiplication définie dans les deux sens.
Dis-moi si j’ai commis une surchauffe.
Je me suis laissé illusionner, mais c'est une situation où :
Hyp => Somme de carrés nulle
et c'est très typique de IR, que chaque terme soit nul.
Ca doit être très rare les cas "de ce genre" où sur un corps quelconque ça marche, à cause du théorème des zéros (ou de la dimension), une égalité de dimension 3 ou 4 qui donnerait une égalité de dimension n, quel spectacle.
A noter que je n'aurais pas fait mon calcul si je n'avais lu le mot "produit scalaire" dans ton post :-D
Pour raccorder ça à des choses concrètes:
- la monnaie 3 paquets de 4 pièces d'un tiers d'euro te donne 4 euros (Bon, en sixème bof)
- la géométrie projective (ou affine): en définissant la notion de coordonnées via eux axes et les projections parallèles, la question est de savoir si étant donné n'importe quelle droite $d$ non parallèle aux axes; l'ensemble des points $A$ tels que la droite qui passe par $(x_A,0)$ et $(0,y_A)$ est parallèle à $d$ est inclus dans une droite.
Cette définition qui semble "définir" l'alignement entre des points et le centre du repère "ne devrait pas" dépendre du repère à origine fixée. C'est probablement là qu'interviennent Désargue, Pappus, etc.
Pas de problème.
C’était juste pour signifier que j’avais lu ta réponse.
Je sais bien que tu n’entourloupes pas et que tu maitrises ces sujets sans te prendre les pieds dans le tapis.
Tu n’es pas susceptible, tu le sais bien ;-)
Amicalement
$$ [Trace((transposee(X)) \times X) = 0] \Rightarrow [X=0]$$
pour des matrices carrées réelles ;-)
L'exercice évoqué avant était du même jus avec quelques diversions supplémentaires.
1/ Pour tout ce qui est scientifique, j'essaie tout de même d'apporter des contributions de logiciens dyscalculiques. Autrement dit, je déborde peut-êrte un peu, mais surtout dans l'art de tenter de diffuser ce qu'on peut faire sans calculer ce qui n'est pas spécialement HS des fondements.
2/ Pour la partie non maths, mes interventions sont quand-même devenues très rares et essentiellement postées dans le présent fil. J'ouvre rarement un fil "polémique" (je me contente de poster ici dans ce déjà fourni fil)
3/ Pour ma restriction: personnellement, même si je l'ai trouvée injuste dans son fondement officiel***, je suis content que ça m'ait permis de me désaddictionner, comme d'autres le font régulièrement sans y être contraints. Il y a de longue périodes même récentes où je suis très peu venu. Ces derniers jours, le confinemen-COVID me fait venir plus (et je ne suis pas le seul).
4/ Si, d'ici 3 mois, j'avais posté des tonnes de choses dans L et F (abstraction des fils de logique), je comprendrais mieux, héhéhé. Mais là, je trouve ça rapide à la détente (et probablement déclenché par Syracuse et son côté "shtam"). Je ne trouve pas très délicat d'avoir évoqué le fil "viré" (qui est assez exceptionnel, aurait eu sa place dans VdF) dans ton intervention "forumique" puisqu'il s'agissait d'une nouvelle physique perosnnelle (qui n'arrive en général qu'une fois).
5/ Conclusion: parfois préciser son intention serait plus parlant, car je pense que tes lecteurs (et même ceux qui se forcent à répondre à ton post, plus qu'à tes intentions) se demandent ce qui t'a agacé. (Moi, je parie que c'est syracuse :-D ). Autre chose: je ne pense pas que les rubriques algèbre, arithmétique, analyse seraient envahies par moi (désaddiction effective assez sûre (je le ressens et il n'y a qu'à voir "topologie")). Les rubriques politiques (Maths et S, pédago, etc) il y a toujours un risque (quand je m'emballe à polémiquer). Voilà ce que je peux dire sur comment je sens que je suis en relation avec le forum.
*** mais elle a répondu à une demande officieuse plus naturelle que je comprends
toute forme linéaire sur les matrices de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ est de la forme $A \mapsto Tr(AB)$ (où $B \in \mathcal M_n(\mathbb R)$).
D’accord avec à peu près tout, même s’il s’agit de factuel (donc pas de quoi être d’accord ou en désaccord).
Seule chose qui m’avait étonné au début de ce dispositif et je crois que je l’avais dit : tu piochais dans chaque discussion qui t’intéressais pour intervenir sans pouvoir intervenir « pour de vrai ».
Ça s’interprétait comme si il fallait que tu écrives quelque chose qui soit visible, pour ton bien, comme une thérapie.
Comme si la modération te permettait ça « quand même on ne peut pas l’empêcher d’écrire à propos d’un autre fil, le pauvre ».
En ce sens je ne comprenais pas la « fausse » interdiction.
Sur le côté addictif, chacun est plus ou moins accroché à des discussions, par période.
Je ne sais pas s’il est bien pertinent de s’ingérer dans l’état psychologique de chaque auteur (lui, il faut le laisser écrire, pour son bien, lui ça lui ferait pas de mal de le brider un peu).
La modération doit peut-être agir « comme un robot » même si parfois, comme dans certains débats (ou procès ?), il est difficile de trancher nettement en fonctions des éléments.
À plus tard.
Dom
PS: je n’aime absolument pas cependant qu’on ouvre des discussions dont le sujet, et parfois même l’intitulé lui-même, porte sur une personne/pseudo.
Que ce soit pour l’honorer ou la critiquer d’ailleurs. Je ne trouve pas ça très sain. Et même je ne le comprends pas.