Classiques L1-L2 trop oubliés

Comme ma mauvaise connection m'a détruit mes réponses d'avant, je suis prudent. Je rappelle le codage:

- si $u$ commence par $1$, la suite $u$ code l'intervalle $]u_2,u_3[$

- si $u$ commence par $2$, la suite $u$ code la réunion des $B_p$, où chaque $B_p$ est le borélien codé par $n\mapsto u(2^p (2n+3))$

- Pour le reste, $u$ code le complémentaire du borélien codé par $n\mapsto $u(n+1)$.

Foys avait déjà raconter en détail comment mathématiser les terminaisons d'exécution de ce codage récursif, un lien vers son post d'alors serait peut-être mieux que je me fende de détailler et poste sans connexion.

De toute façon, tu es largement au dessus du niveau pour comprendre comment mathématiser les terminaisons. La présence de l'infini ne te pose pas de problème. Tu es gentil, tu penses aux autres, je salue cette générosité. Je n'ai malheusement pas la connexion qui permette de taper 80 lignes au risque de tout perdre


PS: rien à voir un généreux intervenant (JJ64) m'a écrit que j'ai oublié "+b" dans le fil second degré. Je ne peux pas modifier moi-même... Edit : c'est fait. --JLT

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par JLT.

Tu considères des suites de rationnels c'est ça ? Je ne sais pas à quelle question tu réponds avec ta construction. Tu donnes une surjection de $\mathbb Q^{\mathbb N}$ dans $\mathcal B(\mathbb R)$ ? À partir de là je sais effectivement "construire" un non borélien.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept mois et a été effectuée par Poirot.

Merci JLT. @Poirot oui c'est ça!

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D'accord. Je pense comprendre comment ça fonctionne alors. Est-ce que pour le montrer formellement il faut établir la "hiérarchie de Borel" ?

C'est marrant, j'avais posé la question il y a 6 ou 7 ans et je me souviens n'avoir absolument rien compris à ta construction.

Par ici!

Par contre si la fonction partielle de $\N^{\N}$ dans $\mathcal B(\R)$ en question se définit bien dans ZF vanille, la preuve de sa surjectivité demande un peu plus que ça (sans axiome du choix dépendant j'ai l'impression que ce n'est pas faisable).

Merci Foys pour les détails.

J'espère que la connexion va rester un peu. Je tente:

De manière générale, soit $R\subset E^2$ et $f$.

1/ Quand quelqu'un te parle "laconiquement" d'une $\phi$ partielle telle que $\forall x: [\phi(x) := f(\{\phi(y) \mid (x,y)\in R\})$, tu peux légitimement avoir envie de lui jeter des tomates du fait de la définition CIRCULAIRE.

2/ Mais, plus convivialement, tu as aussi un "noyau" unique agréable, que tu peux récupérer dans le match de boxe avec cet impoli qui est le suivant:

2.1/ Soit $S$ la partie bien fondée*** de $R$

2.2/ Soit $\phi$ définie par $\forall x: [\phi(x) := f(\{\phi(y) \mid (x,y)\in S\})$

qui a un sens unique au nom d'un théorème classique que tu devineras aisément.

3/ Je précise que ce n'est pas une "convention universelle" que d'oublier de "virer" la partie non bien fondée de $R$.

*** $S$ est définie comme suit en fonction de $R$. Soit $L$ l'ensemble des $x\in E$ tels qu'il n'existe pas de suites $u$ avec $u_0=x$ et $\forall n: (u_n,u_{n+1}) \in R$ et $S:=R\cap L^2$.

4/ Comme remarqué à juste titre, DC (choix dépendant) est utilisé de manière profonde ici.

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Merci à Dedekind pour cette illustration sociologique: [www.les-mathematiques.net]

Sa conjecture est triviale. (Je laisse les lecteurs s'en apercevoir). Je dis bien triviale, pas "facile" ou quoi ou qu'est-ce, et il n'y a pas besoin d'inspiration.

J'en profite pour signaler que dans le passé, j'ai souvenir qu'une personne avait demandé s'il existait des groupes finis non commutatifs sans sous-groupe stricts non commutatifs.

Même famille d'énoncés dont je pense qu'en dehors de leur non-intérêt mathématique à première vue, ils sont fascinants par les pulsions qu'ils génèrent chez l'humain... et donc ont un intérêt.

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J'archive une remarque de P, dont je partage (bien que pour une fois, je le savais dans le cas fini, vu que c'est du serpent de mer lycéen (enfin était)) le plaisir:

[www.les-mathematiques.net]

Pour les visiteurs $\int$ est juste "moralement" le signe somme (infinie)

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J'enverrai un lien vers ce message à Nicolas Hà la suite de sa contribution : [www.les-mathematiques.net]

Il ne faut pas oublier que la variété est ALGEBRIQUE (donc ultrarégulière, à part les droites, on ne fait pas plus régulier) et que c'est "il existe epsilon". Sans vouloir diminuer la portée d'un théorème de maths, ici, il n'est guère étonnant pour ce que j'en ressens, non?

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C'est vrai que ce théorème n'est pas si étonnant puisqu'il est vrai pour une classe d'espaces très générales. En fait c'est surtout le cas où $L$ n'est pas une sphère qui est intéressant. Par exemple c'est avec cette méthode qu'on peut construire des sphères exotiques, et ça je pense que c'est un résultat véritablement surprenant

Oui, mais pour le coup, c'est l'autre sens... Cela dit, les gouts et les couleurs.. Je voulais surtout faire penser que l'étonnement du global n'est pas "tellement" conditionné par le local.

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Je réagis à gebrane :

Citation

j’étais et je le suis encore émerveillé par

Citation

Du point de vue de cc,
une démonstration n'est qu'une suite de trivialités

C'est connu, ce n'est pas du tout mon point de vue, c'est la règle du jeu des maths.

Ce qui est moins connu c'est qu'un énoncé QUI EST UN THEOREME est un CAS PARTICULIER D'EVIDENCE FORMELLE et sa difficulté à être prouvé NE PROVIENT QUE du fait qu'il affirme beaucoup trop peu pour qu'on trouve facilement la tonne d'hypothèses qu'on a faites en trop qui cache qu'il est évident.

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Bonsoir.

Je serais vivement intéressé de savoir si les hypothèses supplémentaires en question ne sont pas simplement les étapes de la démonstration du théorème.

Et si c'est le cas, comment retrouver l'évidence formelle avec toute sa généralité d'expression ?

Si ces questions ont des réponses trop difficiles à présenter, ce n'est pas grave, c'est juste que j'ai du mal à me représenter une évidence formelle très générale et j'aimerais bien avoir des exemples, même si cela paraît contradictoire.

À bientôt.

De mon téléphone. Je détaillerai d'un pc.

Les hypothèses en trop sont ce qui sera JETÉ (directement ou tacitement) au cours d'une preuve.

Par exemple avec f allant de A dans B
et g allant de B dans C

Tu peux construire h allant de

(A=>B)=>B dans C

et envoyer en particulier n'importe quelle application allant de A=>B dans B sur un élément de C.

Pourtant en déduisant A=>C , tu n'utiliseras que les "très rares" éléments de A qui donnent des applications très particulières et "sans goût" de (A=>B)=>B.

Autre exemple : de A et A=>B tu peux déduire (A=>A)=> B. Et donc envoyer TOUTE application de A=>A sur un élément de B. Ce qui est intéressant pour les polymorphismes.

Pourtant en général les gens se contentent de n'utiliser ce pouvoir qu'avec id_A qui triviale. Ils jettent tout le reste.

Ce sont ces dégradations continuelles qui font des théorèmes des sortes de "nombres décimaux primitifs" ponctuels au sein d'un riche monde d'évidences bien plus générales.

Comme les maths font des hypothèses très fortes, quasi contradictoires, on le voit peu sur les phrases courtes.

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Merci pour cette réponse.

Je comprend que l'élagage est massif, on ne sait sans doute pas le quantifier, ce qui invalide l'idée que j'avais.

À bientôt.

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Dreamer.

Certains élagages sont plus faciles que d'autres à retrouver,
comme des applications de l'axiome A=>(B=>A). [jetage brut]

Mais il y a des subtilités qui touchent d'ailleurs directement au libre-arbitre, comme celles que je t'ai mentionnées.

Quand, ayant (A=>B) et (U=>V), tu as le choix entre les 2 options:

1/ En déduire (B=>U)=>(A=>V)

2/ En déduire (V=>A)=>(U=>B)

c'est irréversible et pourtant linéaire, ce n'est pas du jetage brut. Il ne me semble pas qu'il y ait des recherches abouties ayant progressé dans ce domaine, sinon on saurait si $NP=PSPACE$ ou pas.

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Je partage un fichier où pour moi tout se passe à partir de la page 30, choses que je n'avais jamais regardées vraiment. Il peut être utile à bien des gens. Sur le plan logique il est profondément fascinant comme théorème "ultracoupé" dont l'élimination des coupures représenterait un chantier en soi.

Je suis tombé dessus en cherchant des photos (enfin images) de transformations conformes dessinées avec des petits carrés grossis et tournés (du coup je retroune à mon google car je ne les avais pas encore trouvées quand je suis tombé sur le doc)

Théorème de Riemann avec preuve détaillée

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Pour les gens qui veulent "naviguer" et pas tout lire, je dis le plan (je crois qu'il est célèbre, mais pas sûr).

Contexte : $U$ ouvert simplement connexe inclus dans le disque ouvert unité $D$ et contenant comme élément $0$.
But: trouver une bijection holomorphe $f:U\to D$

On note: $A$ l'ensemble des $f$ holomorphe et injective de $U\to D$

Lemme "dinguerie" no1 : si $f\in A$ réalise le maximum de $g\in A\mapsto |g'(0)|$ alors $f$ marche (elle est surjective)

Lemme "dinguerie" no2 : c'est "assez facile" (from préparatifs difficiles) de prouver le "lemme dinguerie no1", ie partant de $a\in D\setminus Im(f)$ de construire $g\in A$ telle que $|g'(0)| > |f'(0)|$

Préparatifs faciles: $f$ réalisant le maximum existe (c'est de la banale compacité et c'est intuitif, il n'y a pas d'infinis dans cette histoire, on prouve la compacité comme on prouve la dérivabilité de la dérivée via des "tours extérieurs").

Préparatifs difficiles: tout un tas de relartions obligatoires assez inédites entre des nombres et la fonction toute entière (par exemple l'injectivité de $f$ entraine l'absence d'antécédents de $0$ par $f$, et plein de trucs du même acabit)

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Petite remarque sociologique: c'est fou ce que le tempérament des mathématiciens se voit dans leur travaux. Riemann a aussi montré un lemme (certes pas difficile pour le coup) qui dit que si une suite a sa série non commutativement convergente alors on peut obtenir toutes les valeurs possible de limite de séries obtenues en permutant les termes. Je trouve que ça dépeint bien ses gouts.

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@Christophe : je n'ai pas suivi la discussion mais le lemme que tu rappelles (je ne savais pas qu'il était dû à Riemann) me rappelle un bon souvenir. Quand je suis arrivé en spé j'ai un pote qui était 5/2 qui m'a énoncé vite fait ce résultat. Il en était encore scotché un an après. Il disait "tu te rends compte, c'est comme si tu mettais des objets dans un sac, et quand tu vides le sac par terre tu ne retrouves plus les objets que tu y as mis".
Vu comme ça, sans démonstration, j'ai trouvé ça assez abscons, moi aussi.
Mais quand le prof a fait la démo j'ai trouvé comme toi que c'était plutôt facile. Il suffit que tu saches ce que tu veux : "you want it, you've got it".

En revanche ce que j'ignore c'est en quoi ce théorème "dépeint" les goûts de Riemann. Peut-être peux-tu m'en glisser un mot ?

@Martial, ce n'est que mon ressenti en fait. Je trouve que les deux théorèmes sur lesquels je suis tombé se ressemblent en ce qu'ils prennent la direction opposée à la "mode en vigueur".

- Sur les séries: qu'on peut tout obtenir

- Sur les holomorphes: qu'on peut "tout" obtenir

Sa conjecture (la célèbre RH) ressemble même à un jetage d'éponge face à des tentatives de trouver des zéros ailleurs que sur $[x=0.5]$

Faudrait voir d'autres productions de sa part. Il a donné son nom au volume, c'est à dire à une "sorte de preuve" que $a\neq a$ (ou plus précisément que $a=a$ ne compte pas, puisque on met dans le quotient les $a\otimes a$ pour passer de $E\otimes E$ à $E\wedge E$)

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Ce théorème, une fois la preuve comprise, est « simple » mais cependant je la trouve toujours très difficile à rédiger.

C’est la contraposée de la réciproque de : « abs conv => commut conv ».

Je ne savais pas non plus que c’était dû à Riemann.

Remarque : son équivalent pour « série associativement convergente » serait l’un des théorèmes dits de sommation par paquets.
Là encore, quelques surprises existent.
Moi aussi j’avais été sidéré par le résultat en DEUG.
Les simples et essentielles propriétés de l’addition disparaissent avec l’infini dénombrable.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Dom.

La vidéo qui suit me parait très utile, mais pourrait peut-être être répercutée dans la rubrique "maths et physique"?

[www.youtube.com]

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CC ? tu as saoulé...

Pas compris

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Il n'y a pas grand chose à comprendre : tu as saoulé avec la fixation que tu fais sur le coran.

Tu passes du temps sur les réseaux sociaux pour "remettre dans le droit chemin" tous ces jeunes. Soit, mais ici il n'y a personne à remettre dans le droit chemin...


PS. et donc si encore ce n'est pas clair, le sujet principal de ta vidéo n'est certainement pas la physique ni les maths d'ailleurs...

De mon téléphone : je fais ça, moi?

Tu dois parler d'un monde parallèle

Le temps que je passe sur les RS avec très peu d'audience et d'abonnés heureusement est uniquement de la collecte. Surtout moi "le droit chemin" ça m'irait bien

La vidéo parle de divers sciences et analyse la technique dite "de la prévision astrologique" qui sont des textes que chacun peut lire de la façon qui l'arrange. Je trouve que mine de rien il ya bien plus de travail qu'on ne le croit pour réunir ces éléments. M.O. n'a pas fait ça en 30mn.

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La thématique "Vandermonde" : [www.les-mathematiques.net]

J'ajoute ici quelques points (non investigués en détails par ma pomme, mais intuités).

De mémoire (je reprends les notations du fil en lien), le déterminant est $\prod_{i,j: i\neq j}\ (u_i-u_j)$ à un scalaire près je crois (ou peut-être faut-il mettre des carrés, bref.

Si on raisonne sur un plan strictement logique, on a deux enchainements:

Ench1: u injective => matrice concernée injective

Ench2: matrice injective => son déterminant non nul

On voit que "le calcul" donne une conclusion plus précise.

La correspondance de Curry-Howard nous apprend que raisonnements = calculs "pile poil", autrement dit, les raisonnements en logique classiques ayant conduit au bleu sont tels qu'ils suffiraient probablement de les regarder à la loupe pour "sans rien changer" obtenir non pas le bleu, mais le rouge.

C'est, entre autre, en cela que les logiques faibles sont intéressantes, car elles forcent, en confisquant des axiomes, à regarder de plus près ce que l'on fait.

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