Classiques L1-L2 trop oubliés

Comme ma mauvaise connection m'a détruit mes réponses d'avant, je suis prudent. Je rappelle le codage:

- si $u$ commence par $1$, la suite $u$ code l'intervalle $]u_2,u_3[$

- si $u$ commence par $2$, la suite $u$ code la réunion des $B_p$, où chaque $B_p$ est le borélien codé par $n\mapsto u(2^p (2n+3))$

- Pour le reste, $u$ code le complémentaire du borélien codé par $n\mapsto $u(n+1)$.

Foys avait déjà raconter en détail comment mathématiser les terminaisons d'exécution de ce codage récursif, un lien vers son post d'alors serait peut-être mieux que je me fende de détailler et poste sans connexion.

De toute façon, tu es largement au dessus du niveau pour comprendre comment mathématiser les terminaisons. La présence de l'infini ne te pose pas de problème. Tu es gentil, tu penses aux autres, je salue cette générosité. Je n'ai malheusement pas la connexion qui permette de taper 80 lignes au risque de tout perdre


PS: rien à voir un généreux intervenant (JJ64) m'a écrit que j'ai oublié "+b" dans le fil second degré. Je ne peux pas modifier moi-même... Edit : c'est fait. --JLT

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par JLT.

Tu considères des suites de rationnels c'est ça ? Je ne sais pas à quelle question tu réponds avec ta construction. Tu donnes une surjection de $\mathbb Q^{\mathbb N}$ dans $\mathcal B(\mathbb R)$ ? À partir de là je sais effectivement "construire" un non borélien.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Poirot.

Merci JLT. @Poirot oui c'est ça!

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D'accord. Je pense comprendre comment ça fonctionne alors. Est-ce que pour le montrer formellement il faut établir la "hiérarchie de Borel" ?

C'est marrant, j'avais posé la question il y a 6 ou 7 ans et je me souviens n'avoir absolument rien compris à ta construction.

Par ici!

Par contre si la fonction partielle de $\N^{\N}$ dans $\mathcal B(\R)$ en question se définit bien dans ZF vanille, la preuve de sa surjectivité demande un peu plus que ça (sans axiome du choix dépendant j'ai l'impression que ce n'est pas faisable).

Merci Foys pour les détails.

J'espère que la connexion va rester un peu. Je tente:

De manière générale, soit $R\subset E^2$ et $f$.

1/ Quand quelqu'un te parle "laconiquement" d'une $\phi$ partielle telle que $\forall x: [\phi(x) := f(\{\phi(y) \mid (x,y)\in R\})$, tu peux légitimement avoir envie de lui jeter des tomates du fait de la définition CIRCULAIRE.

2/ Mais, plus convivialement, tu as aussi un "noyau" unique agréable, que tu peux récupérer dans le match de boxe avec cet impoli qui est le suivant:

2.1/ Soit $S$ la partie bien fondée*** de $R$

2.2/ Soit $\phi$ définie par $\forall x: [\phi(x) := f(\{\phi(y) \mid (x,y)\in S\})$

qui a un sens unique au nom d'un théorème classique que tu devineras aisément.

3/ Je précise que ce n'est pas une "convention universelle" que d'oublier de "virer" la partie non bien fondée de $R$.

*** $S$ est définie comme suit en fonction de $R$. Soit $L$ l'ensemble des $x\in E$ tels qu'il n'existe pas de suites $u$ avec $u_0=x$ et $\forall n: (u_n,u_{n+1}) \in R$ et $S:=R\cap L^2$.

4/ Comme remarqué à juste titre, DC (choix dépendant) est utilisé de manière profonde ici.

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Merci à Dedekind pour cette illustration sociologique: [www.les-mathematiques.net]

Sa conjecture est triviale. (Je laisse les lecteurs s'en apercevoir). Je dis bien triviale, pas "facile" ou quoi ou qu'est-ce, et il n'y a pas besoin d'inspiration.

J'en profite pour signaler que dans le passé, j'ai souvenir qu'une personne avait demandé s'il existait des groupes finis non commutatifs sans sous-groupe stricts non commutatifs.

Même famille d'énoncés dont je pense qu'en dehors de leur non-intérêt mathématique à première vue, ils sont fascinants par les pulsions qu'ils génèrent chez l'humain... et donc ont un intérêt.

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J'archive une remarque de P, dont je partage (bien que pour une fois, je le savais dans le cas fini, vu que c'est du serpent de mer lycéen (enfin était)) le plaisir:

[www.les-mathematiques.net]

Pour les visiteurs $\int$ est juste "moralement" le signe somme (infinie)

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