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Classiques L1-L2 trop oubliés

Envoyé par christophe c 
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 10:45
Il fallait lire $P(Y+Z)-P(Y)=ZQ(Z,Y)$ et pas $P(Y+Z)-P(Z)$.

Il s'agit de savoir si on préfère développer $(Y+Z)^k$ ou factoriser $X^k-Y^k$ (pour $k\ge1$). J'ai du mal à choisir entre ces deux techniques nécessaires.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 10:57
Merci pour la coquille signalée et étant sur mon téléphone je l'ai directement corrigée sans laisser archive de don ancienne présence.

@Calli je suis conscient de ça (ce qui m'a fait prononcer le mot rigueur) . Je ne parlais pas vraiment de "une fois dans le calcul" mais plutôt de "avant d'avoir l'idée".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 10:59
@MC: le choix (idéologique) que j'ai affiché applique l'adage :

Développer est automatique et sans échec alors que factoriser nécessite inspiration et est rarement possible.

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Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 13:14
Sans calculs, il est facile de montrer que, sur tout anneau, $X-Y$ divise $Q(X,Y)\Leftrightarrow Q(X,X)=0$.
Puis on applique ça à $Q(X,Y)=P(X)-P(Y)$.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 13:28
@gai requin: es-tu snob ou inspiré ?

Cordialement, Pierre.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 14:05
@GR: "sans calculs" est une expression figurée.

Pour les mêmes raisons, $P(X,X+Y)$, vu comme polynôme $Q(Y)$ en $Y$ (anneau changé), n'a pas de terme constant, donc est de la forme $Y(R(Y))$, autrement dit, $P(X,Z)$ s'écrit $(Z-X)\times (\dots)$. Je ne sais pas si tu voulais dans le sens favorable au [chgt de variable + développement] que j'évoquais, mais ça y ressemble?

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Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 14:44
Non, je le fais sans calculs par division euclidienne.
Pour tout $Q(X,Y)$, il existe $S(X,Y),R(Y)$ tels que $Q(X,Y)=(X-Y)S(X,Y)+R(Y)$...
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 14:48
avatar
C'est l'argument que je préfère, celui de la division euclidienne. Sans calculs en plus.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 16:51
La division euclidienne, c'est du calcul chez moi grinning smiley Et dommage d'utiliser un outil aussi élaboré pour si peu... ?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 fvrier 2020, 17:10
Encore une que tu pourras raconter au café !
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 01:44
avatar
@christophe c je suis partisan du moindre effort et la division euclidienne dans l'anneau $A[X]$ permet de voir immédiatement que si $P(a) =0$ alors $P(X)$ est divisible par $X-a$. Pour le cas présent il suffit d'appliquer ceci à $A[X][Y]$ et je n'ai pas une ligne de calcul spinning smiley sticking its tongue out.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 09:42
Mais je ne comprends pas la revendication "pas une ligne de calcul" ?? confused smiley

Je rate un épisode ou c'edt juste "une façon de parler"?

De mon téléphone

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 21/02/2020 10:13 par christophe c.
Dom
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 09:53
A quoi servent les démonstration en deux lignes si seul l'auteur (j'exagère) les comprend ?
Qu'est-ce qu'une démonstration si le lecteur doit vérifier chaque ligne pour dire "ha oui, ça c'est vrai", "ha...heu...ha...en effet, c'est juste", etc. ?
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 09:59
Personne ne te demande de FAIRE la division. Ça oui, ça serait du calcul.
On te demande juste de RÉALISER QU'ON PEUT FAIRE la division par $X-a$. Et à moins d'être complètement neuneu, tu peux réaliser que si tu as un polynôme de terme de plus haut degré $cX^n$ avec $n>0$, on fait baisser le degré de ce polynôme en lui retirant $(X-a) cX^{n-1}$.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 10:12
@GBZM oui je suis d'accord. Merci. J'imaginais un sous entendu allant dans ce sens. Mais je trouve ça pas plus "canonique" que les changements de variables que j'ai évoqués (et même nettement moins même si on ne fait que diviser par un "X+k") et j'avais peur qu'il y ait une évidence "encore plus brutale" à côté de laquelle je passais.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 10:19
Pour les lecteurs: il me semble que la rapidité avec laquelle GBZM a réagi est reliée au fait qu'il doit souvent signaler sur le forum qu'on peut diviser euclidiennement DANS N'IMPORTE QUEL ANNEAU commutatif par n'importe quel polynôme UNITAIRE.

C'est un phénomène intéressant en soi indépendamment du présent sujet mais j'ignore s'a des liens forts avec la spécificité des polynômes unitaires dans un autre thème (celui est "entiers sur").

Il est aussi "un peu" méconnu car "unitaire" est nécessaire.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 10:54
Il ne fait aucun doute qu'utiliser le fait qu'on sait faire la division euclidienne par $X-a$ pour montrer que quelque chose est divisible par $X-a$, c'est un "processus snob ou inspiré, utilisé par l'académisme".
Christophe, tu devrais réfléchir à deux fois avant d'écrire ce genre de bêtises qui te décrédibilise complètement et laisse penser que tu te crois plus malin que tout le monde.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 10:59
Je pense que c'est une bonne chose de ne pas être crédible et taxé de prétention car ainsi on est privé d'argument d'autorité. Après il peut y avoir des inconvénients certes ..

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
b.b
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 11:48
avatar
« Il est aussi "un peu" méconnu car "unitaire" est nécessaire. »

Il suffit que le coefficient dominant du polynôme soit inversible (être unitaire n'est pas une condition nécessaire sur le polynôme pour faire une division euclidienne).



Modifié 2 fois. Dernière modification le 21/02/2020 11:51 par b.b.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 11:53
@b.b. : c'est la définition de polynôme unitaire à coefficients dans un anneau quelconque.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 12:18
Je reviendrai plus tard sur ta remarque bb. Je ne sais plus si j'ai mis nécessaire entre guillemets.

J'en profite que je suis sur un pc pour me justifier à l'invite de GBZM, exprimée avec sa légendaire forme veloutée.

Le terme "académisme" n'est pas péjoratif dans ma bouche. Il traduit juste qu'un plan de formation a été suivi pour transmettre les découvertes dans un certain ordre et que cet ordre n'est pas brisé au moment où on affiche une information. Le mot "snob" l'est lui un petit peu, mais renvoie à l'idée de cases mémoires gaspillées, ou utilisation de mécanismes "appréciés", mais gachant.

Dans le cas présent, il était question de remarquer (sans preuve formelle, mais pour rendre "sûr" des gens sachant déjà certaines choses) que $X-Y$ divise $P(X)-P(Y)$.

3 arguments ont été évoqués, dont 2 par moi.

1/ Remarquer que $X^9-Y^9 = (X.X^8 - Y.X^8 + YX^8- Y.Y^8 ) = (X-Y)X^8 + Y(X^8-Y^8)$ qui affiche une récurrence évidente

2/ Faire le changement de variable

3/ Et, enfin, l'évocation de la notion de division euclidienne.

Je rappelle avant de continuer que sur le fond, la manipulation d'expressions de ce genre relève de la classe de 5e-4e, et fait l'objet d'un traitement systématique et formalisé à bac+2 (c'est à dire L2).

L'argument1 est esthétique, mais nécessite de l'inspiration. Il est dans la famille des grandioses et inspirés:

$$ab-xy = a(b-x) + (a-y)x$$

qui a permis d'énormes progrès dans tout plein de thématiques et dont j'ignore quel jus il donne en non commutatif. La thématique "dérivée du produit" est touchée. Toute ces thématiques sont totalement étrangères à l'élève (théorique) de 4e.

Je reviens sur l'argument3, car il illustre des choses amusantes dans l'enseignement qui se résume à ce que j'appellerai "la confusion pratique/platonicienne" et qui explique de nombreux déboires.

Cette confusion conduit souvent l'enseignement à "optimiser" en même temps qu'elle transmet. Autrement dit, à se soucier de diffuser des algorithmes efficaces sur des machines très limitées, en même temps qu'elle introduit les rêves platoniciens de machines théoriques.

Cela provient du fait que l'enseignant, qui est souvent aussi, un travailleur personnel, laisse déborder ses petits soucis personnels d'optimisation sur son exposé. On a d'ailleurs atteints des apogées ridicules et crashantes ces dernières décennies avec les "introductions fréquentistes" des probas, les "arrondis et ordres de grandeurs" enseignés AVANT le nombres, et comme je suis ici sur un sujet précis, l'enseignement de la division euclidienne programmée avant le principe élémentaire et trivial du fait que IN est bien ordonnée:

$ f(a,b) : =$ if trivial(a,b) then truc else $Amenage(f(a,b-a))$


qui est la définition récursive immédiate et évidente telle que $\forall a,b,u,v,d,k,m: $

$$ f(a,b) = (u,v,d,k,m)$$

entraîne que $kd=a$ et $md=b$ et $ua+vb=d$

est passée la plupart du temps à la trappe au profit de l'algorithme d'Euclide de la division euclidienne, basée EN PRATIQUE sur la capacité des ordinateur MATÉRIELS à donner directement un reste.

Cette division euclidienne, donc très célèbre, "adulée" (au secours, je perds ma crédibilité grinning smiley ) , est persistante et généralisée avec les polynômes.

Et je suis psychanalytiquement assez convaincue qu'elle gagne en cote du fait de cette situation enseignementale.

C'était un peu tout ça le sens de mon "snob et académique", sachant que je visais AVANT TOUT l'argument1 et que c"est GR qui m'a le premier fait remarquer l'existence de l'argument3, dont il est un peu injuste à mon égard de m'attribuer que je le classerais AUSSI (alors que je n'y pensais pas) dans la catégorie snob.

Maintenant pourquoi je fais une opposition en faveur de l'argument2. Et bien je l'ai déjà dit à math coss: factoriser est NP-complet, voire souvent non récursif, alors que développer est automatique et n'échoue jamais. C'est avant tout ça le critère MATÉRIEL auquel je pensais.

Autrement dit, avant tout, je signalais pour tous les étudiants, peut-être pas aussi dyscalculiques que moi, mais non inspirés qu'il peuvent retrouver AUTOMATIQUEMENT un jour où il faudrait répondre à un terroriste surprise qui vous échange votre vie contre la formule qui marche, le Q du $(X-Y) Q = P(X)-P(Y)$. Et ce, SANS AUTRE ACQUIS DE FOND que ceux de la classe de 5e-4e.

Si "en pratique" le fait d'écrire un polynôme $P$ de degré 9 sous la forme

$$aX^2Q + bXQ + cQ + TantPourCompenser$$

où $Q$ est imposé, unitaire et de degré 7, donnant $P = (aX^2+aX+b) Q + Reste$, ne demande pas beaucoup plus de compétences, il n'en reste pas moins qu'il y a un peu plus de "$-$" à gérer et surtout le passage du mot "division euclidienne" à digérer pour les néophytes... pour qui j'ai ouvert ce fil.

Mais évidemment, .. je peux me tromper sur mes ressentis transmetteurs grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 12:39
En réaction à :

[www.les-mathematiques.net]

je n'ai pas lu tout le fil, mais j'ai l'impression qu'à brule-pourpoing, les gens n'ont pas trop "en pratique" répondu à alesha (à part avec des exemples de principe).

Il est logicien, et je pense qu'il évoque et cherche des situations suivantes:

1/ Il est évident ou facile que $A\subset B$
2/ Il est évident ou facile que $A=\N$ se prouve par récurrence
3/ Il est EXTREMEMENT DIFFICILE de prouver $B=\N$ par récurrence (peu importe le type de récurrence), si on n'a pas l'idée "inspirée et venue de nulle part" d'envisager $A$.

Ces situations ABONDENT CONTINUELLEMENT dans les maths (c'est 99% des preuves par récurrence des maths pros). Et il ne s'agit JAMAIS dans ces cas-là de varier sur le type de récurrence.

Exemple bateau: la somme de deux nombres qui ne sont pas pairs est un nombre pair.

Du coup pour répondre il faut "brancher un écouteur" sur la vie des matheux et leur demander d'envoyer un sms à alesha quand ils sont, en pratique, confrontés à un exemple, car en trouver "à la demande" n'est pas très aisé.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 15:01
Mon exemple n'est pas très bon, car si $a-2 + b = n-2$ alors $a+b=n$.

Voici d'autres exemples:

1/ il existe une infinité de nombres premiers (au sens ou pour tout n, il existe p >n qui est premier)
2/ Tout graphe planaire contient un sommet de degré au plus 5
3/ Toute configuration de Sperner contient une étoile

Concernant (1), aucune chance sans inspiration de trouver la "bonne" propriété, même si c'est très familier aux gens pour d'autres raisons

Concernant (2) la propriété récurrente est la ... formule d'Euler (très très loin de la conclusion)

Concernant (3) le nombre d'étoile est impair donc Il en existe au moins une.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
b.b
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 15:52
avatar
Poirot, je ne comprends pas. Tout polynôme non nul à coefficients dans un corps serait unitaire avec cette définition.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 15:58
C'est le cas. "Unitaire" comme dans "unité" d'un anneau, c'est-à-dire inversible.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 16:09
Non, Poirot.
Polynôme unitaire (monic polynomial), ça veut dire que le coefficient dominant est égal à 1. Je peux te donner une flopée de références.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 16:39
Hum effectivement, je ne sais pas ce que j'ai fumé !
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 16:41
Ça ne change évidemment rien cette histoire de vocabulaire. En multipliant par l'inverse du coefficient dominant on fera même usage du polynôme "vraiment unitaire" obtenu (je précise pour les futurs lecteurs).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Dom
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 16:45
Ça a le mérite d’ajouter l’unicité de l’élément.
Ça permet certainement d’être plus « déterministe ».

Désolé c’est un naïf néophyte béotien qui parle. eye rolling smiley
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 fvrier 2020, 22:57
Citation
Gai Requin
Encore une que tu pourras raconter au café !

Pour l'instant, je reste sagement sur le forum grinning smiley , ça me parait un peu calculatoire "de base" comme disent de + en + de gens.

[www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
22 fvrier 2020, 13:34
@gai-requin : là où tu commets une erreur grave c'est qu'on peut raconter des choses très intéressantes en mathématiques au bistrot du coin. J'en ai fait l'expérience il n'y a pas longtemps. Je buvais un coup avec un vieux pote, qui de base a un BEP mécanicien-monteur. Il sait que j'écris un bouquin de théorie des ensembles. Il me dit : "je ne sais pas ce que c'est la théorie des ensembles, à part les patates". Comme je ne savais pas par où commencer je lui ai expliqué le principe des tiroirs et des chemises :
a) Variantes finies (il a compris tout de suite).
b) Variantes finies / infinies (c'était un peu plus délicat, mais il a fini par piger).
c) Variante infinie / infinie : là il pensait bien sûr qu'on pouvait y arriver dans tous les cas. Je lui ai dit que justement non, parce qu'il y a plusieurs sortes d'infini, et que c'était ça la base de la théorie des ensembles.

Moralité : il ne sait toujours pas ce qu'est la théorie des ensembles (et je ne pense pas que ce soit ça qui l'empêche de dormir), mais au moins il a appris (et compris) quelque chose.

CQFD.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
22 fvrier 2020, 13:53
@Martial : C'était une pique par rapport à [ce message}. smiling smiley
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
22 fvrier 2020, 16:33
@gai-requin : ce n'était pas une critique, je voulais juste en profiter pour signaler qu'on pouvait faire des choses très intéressantes au bistrot.

Au passage j'en profite pour te dire que j'ai beaucoup aimé ta preuve du fait que $\sqrt{n}$ est irrationnel dès l'instant que $n$ n'est pas un carré parfait. J'avoue que je ne la connaissais pas...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/02/2020 16:33 par Martial.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
22 mars 2020, 17:29
J'ai oublié de copier le lien vers le fil, je le mettrai à l'edit.

Voici le fil: [www.les-mathematiques.net] et l'intervenant est "Romanesco".

Citation

mais qui utilisent tous la même propriété concernant les compacts, celle des bornes atteintes.

Je me doute bien que cette propriété est importante et je me vois bien lui réserver 3 voire 4 exos, mais j'aimerais quand même bien pouvoir mettre en avant une autre application des compacts (pas un truc de haute voltige si possible).
Auriez-vous des suggestions ?

Tu devrais tirer des initiatives de ton constat, non? Ne crois-tu pas qu'il y a une forme d'équivalence entre les deux (bornes toujours atteintes et compacité de l'espace)?

Essaie de mettre en place un énoncé et de le prouver, tu seras surement très content de toi à la fin.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/03/2020 17:30 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
22 mars 2020, 17:56
En réaction à :
[www.les-mathematiques.net]

C'est un phénomène célèbre et ultra-connu (qui fait que par exemple, aucun ultrafiltre n'est mesurable, etc).
En fait, même toute partie mesurable de $[0,1]$ est bourrée de gros grumeaux et de "trous" grinning smiley Elle n'est jamais homogène. Une façon très simple de le voir est de se rappeler la compacité.

Soient $A\subset [0,1]$ mesurable et $I_n, J_n$ des intervalles indicés par les entiers tels que : $$A \subset \cup_n\ I_n\qquad\text{ et }\qquad ([0,1] \setminus A) \subset \cup_n\ J_n$$ et $$ MesureLebesgue [(\cup_n\ I_n) \cap (\cup_n\ J_n)] < 0.00001.
$$ À eux tous, les $I_n, J_p$ recouvrent $[0,1]$. Tu en extrais un sous-recouvrement fini et tu imagines tout ça dessiné sur un écran (les points rouges sont ceux ayant une ordonnée dans $A$ et les verts ceux ayant une ordonnée $\notin A$. Et pis, bin, tu colories les intervalles $I_n$ en rouge (sur ton deuxième écran) et les $J_p$ en vert. Les non concordances occupant moins de $0.00001$ de volume, tu vois tes grumeaux en live.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 22/03/2020 19:32 par AD.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
25 mars 2020, 20:33
De mon téléphone en réaction à
[www.les-mathematiques.net]

En dehors d'un plaisir** de soulagement une correction ne sert à rien. Autre règle d'or: si tu n'es pas sûr à 100% de ta solution c'est que tu n'as pas résolu l'exercice.

** De même genre que celui qu'on ressent devant un bon film.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
25 mars 2020, 21:42
En réaction à
[www.les-mathematiques.net]

Moi je dis vive le Pascal (ou caml si seulement il y avait un environnement comme Lazarus ou Delphi proposé avec le caml tout le monde se jetterait dessus et plus ce genre de problème avec du typage artisanal).

grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
25 mars 2020, 22:39
Bonsoir,

Je n'ai rien contre le Pascal; je l'ai même enseigné, mais il faut bien dire qu'il n'est pas utilisé dans l'industrie, pas plus que le caml.
Mais bon, des goûts et des couleurs ...................

Cordialement,

Rescassol
Dom
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
25 mars 2020, 22:51
Christophe,

Haha, tu as repris du poil de la bête winking smiley

À plus tard winking smiley
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
26 mars 2020, 08:41
J'essaie mais ça reste assez timide. Cette expression m'a toujours fasciné: poil de la bête grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
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