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Classiques L1-L2 trop oubliés

Envoyé par christophe c 
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
18 juillet 2018, 13:22
Avant de sortir grossir avec un peu de bouffe inutile, j'ai croisé ce fli: [www.les-mathematiques.net]

en réaction auquel, je pense utile de rappeler les "Riesz-phénomènes". Le corps est $\R$ muni de sa topologie usuelle.

1/ $<<E$ est un espace vectoriel topologique$>>$ abrège $<<E$ est un espace vectoriel muni d'une topologie $T$ pour laquelle les applications $(x,u)\in \R\times E \mapsto xu$ et $(u,v)\in E\times E\mapsto u+v$ sont coninues respectivement pour les topologies produit qui munissent les espaces produits canoniquement$>>$ (C'est déjà long à écrire et pourtant, j'ai coupé la fin)

2/ Un théorème très célèbre, de Frederic Riesz dit qu'un EVT séparé est localement compact ssi il est de dimension finie.

3/ En L1-L2, c'est surtout [dim finie => locale compacité] qui est mobilisé. Elle provient du fait que $[0,1]^n$ est compact pour tout entier $n$, qui est un classique archi en amont, mais je pourrai détailler sur demande.

4/ En L1-L2, comme la plupart du temps est mis une norme euclidienne sur un EV de dimension finie, je signale donc que les sphères, les boules fermées sont compacts comme sous ensembles fermés d'hypercube, compacts à cause de (3)

5/ Je "scénarise" une sketch-preuve du théorème suivant: il n'y a qu'une seule topologie possible qui fasse de $\R^n$ (ou de n'importe quel EV de dim finie sur $\R$) un EVT séparé.

5.1/ Soit en effet, $T$ une topologie séparée d'EVT pour $E:=\R^n$ muni au préalable de sa structure euclidienne.

5.2/ Exercice sans aucune difficulté de taupin: tout élément de $T$ est une réunion de boules ouvertes (je parle des boules bien rondes de la structure euclidienne grinning smiley )

5.3/ C'est la réciproque qui généralement embête les gens. Elle revient à montrer que toute boule ouverte centrée en $0_E$ contient comme sous-ensemble un ouvert $U\in T$ tel que $0_E\in U$.

5.3.1/ A ce moment, par l'absurde, il est rentable de se rappeler que $\lambda u\to 0$ quand $\lambda \to 0$, et donc par compacité (pour la norme euclidienne) de la sphère euclidienne centrée en $0_E$ et de rayon $1$, il existe un vecteur $u$ sur cette sphère qui a comme propriété que pour tout $e>0$, pour tout $X\in T$ tel que $0_E\in X$, il existe $v$ tel que

$$DistanceEuclidienne(u,v)<e\ et\ v\in X$$

5.3.2/ La suite est taupinièrement non inspirée et automatique.

5.4/ Je rappelle "une difficulté possible" qui me parait importante: il est intuitif, qu'il existe un demi-droite qui adhère à l'ensemble des points en dehors de la boule unité qui tendent vers $0_E$ pour $T$ (sous l'hypothèse qu'on veut casser), mais on risque d'oublier trop souvent et de perdre des minutes de sa vie***, de réussir à faire un peu mieux et à mettre cette limite sur la sphère et pas "en dehors de la boule dans une direction constante dont on est fier"

*** en tout cas, pour ma part (je traduis toute ces choses en ANS, donc elles sont toutes évidentes pour moi a priori), j'ai été très mécontent d'oublier ça, malgré le "pouvoir magique" dont je disposais (ANS). Donc je le signale à toutes fins utiles. Hélas, ces résultats (je ne vais pas me mettre comme Pappus à utiliser le terme "défunts" partout, c'est déprimant), sont souvent des trucs de musée que les gens trouvent pertinents d'admettre et d'en oublier les preuves: j'en suis attristé (mais je ne dirai pas à chaque fois "la défunte topologie, la défunte compacité, etc" grinning smiley )

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 2 fois. Dernière modification le 18/07/2018 13:28 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
18 juillet 2018, 20:54
@cc Ok. Je viens de me souvenir que compact veut aussi dire Hausdorff en français (compact, quasicompact…).

Ok, toute injection de Gertrude vers Gertrude est continue… et le résultat est vrai pour les injections. On peut voir le truc comme un arbre : les fils de $b$ sont les $f^{-1}(b)$. Et alors $H$ est l'ensemble des nœuds ayant des fils (indirects) aussi profonds que voulu. Le seul problème qui peut arriver est que $b$ ait une infinité de fils (directs), chacun atteignant une profondeur finie avec leurs sous-fils, mais tel que le max de ces profondeurs soit infini. Ça me fait penser au lemme de Koning, qui lui aussi est lié à la compacité…

On voit comme ça que toute fonction continue Gertrude --> Gertrude vérifie la propriété.

Je me suis rendu compte que mon contre-exemple si on a juste $T_1$ est faux (la fonction n'est pas continue). Mais on a le contre-exemple suivant. L'ensemble $K$ est $\mathbb{N}^2 \times \{a,b\}$. La fonction $f$ est telle que :

* $f(a) = a$
* $f(b) = a$
* $f(0,n) = b$
* $f(k+1,n) = f(k,n+1)$

Les fermés sont générés par les $\{k\} \times \mathbb{N}$ et les singletons. Alors $f$ est bien continue, l'espace est bien $T_1$ et quasicompact. Mais $H$ est $\{b,a\}$ et $f(H) = \{a\}$.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
18 juillet 2018, 21:33
Citation
CPL
et le résultat est vrai pour les injections.

Biiiiigrrrreeeeee, alors là, si tu as raison, je tombe de ma chaise, cela dit, je n'ai pas le temps de vérifier maintenant (ciné), donc ce sera pour après le ciné, mais mon intention était une manière (j'avoue je tape comme je pisse, donc je peux me gourrer) "facile" de te montrer comment trouver des contre-exemples. Très beau retournement si tu as raison, et grand bonheur pour moi de m'être trompé dans ce cas***. A tout à l'heure!!!!!

*** ça me semblait juste "trop beau" pour être vrai, mais des fois on a des surprises.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
18 juillet 2018, 21:43
De mon téléphone: snif c'est vrai et ce n'est me pas puissant

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
18 juillet 2018, 22:23
En effet, c'est marrant car en fait toute fonction continue de Gertrude vers Gertrude vérifie f(H)=H. ^^ Mais j'ai un contre-exemple (ci-dessus) construit en prenant la fonction la plus simple ne vérifiant pas f(H)=H, puis en posant sur l'ensemble la topologie la plus faible rendant l'espace $T_1$ et la fonction continue (l'espace est bien compact).
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
19 juillet 2018, 00:38
Je pense effectivement que pour tout ensemble $E$ et toute application $f$ de $E\to E$, il existe une topologie $T_1$ sur $E$, qui est quasicompacte (en anglais compacte sans être Haussdorf forcément) et rend $f$ continue. Quand je marchais jusq'au ciné, je voulais te faire le cadeau pour me faire pardonner de te l'annoncer fermement, mais j'ai regardé le film, un peu zappé et là, je préfère rester prudent pour ne pas réitérer une annonce qui s’avérerait finalement fausse.

Je te donne la topologie si tu veux vérifier qu'elle est (ou pas) compacte: c'est celle engendré par les ensembles $A(n,F)$ suivants, où $n$ est un entier et $F$ une partie finie de $E$.

$$A(n,F):=\{x\in E\mid f^n(x)\notin F\}$$

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
19 juillet 2018, 10:09
Je te confirme la quasi compacité de cette topologie. Donc avec l'exigence T1 toute fonction peut être importée dans un contre exemple souhaité.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
19 juillet 2018, 11:53
Un exercice amusant peut être de se demander si c'est un topologie noethérienne (j'ai un peu la flemme de l'attaquer, mais je vais faire une entrée dans "il est facile de" avec). Et si elle ne l'est pas, de se demander si il en existe à profusion pour notre désir!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
19 juillet 2018, 12:01
Voilà qui est fait: [www.les-mathematiques.net]

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
19 juillet 2018, 17:05
Oui, en effet c'est toujours une topologie noetherienne. Je ne connaissais pas cette notion mais ma preuve pour la compacité passait par ça. Tu avais une preuve ne passant par par ça ? Les fermés sont les unions finies de $f^{-k}(x)$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 19/07/2018 17:06 par Champ-Pot-Lion.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
19 juillet 2018, 23:25
Citation
CPL
Oui, en effet c'est toujours une topologie noethérienne.

Attention, les fermés sont des intersections quelconques d'unions finies de.... La noethérianité me paraitrait un beau cadeau pour le coup, je n'ai pas vérifié. Mais un peu trop beau pour être vrai, non?

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 juillet 2018, 16:35
Bonjour,

Une base de fermés est donnée par les unions finies de $f^{-k}(x)$.

Lemme : pour tout $n \leq m$ et $x, y \in E$, on a $f^{-n}(x) \cap f^{-m}(y)$ qui vaut $\varnothing$ ou $f^{-n}(x)$.

Du coup, ces fermés sont stables par intersections finies. Il suffit donc de vérifier la Noetherianité pour cette base de fermés.

On associe à une union finie de $f^{-k}(x)$ l'ordinal $a_0 + \omega a_1 + \omega^2 a_2 + \cdots$ où $a_k$ est le nombre de termes de la forme $f^{-k}(x)$ dans l'union (il se peut qu'il y ait plusieurs manières d'écrire un même ensemble). Supposons que $\cup_{(k,x) \in I} f^{-k}(x) \subseteq \cup_{(k,x) \in J} f^{-k}(x)$. On réécrit $\cup_{(k,x) \in I} f^{-k}(x)$ comme l'union des termes suivants :

* Pour chaque $(k,x) \in J$ tel que $f^{-k}(x) \subseteq \cup_{(k,x) \in I} f^{-k}(x)$, on prend $f^{-k}(x)$ dans l'union.
* Pour les autres $(k,x) \in J$, on prend dans l'union les $(k',x') \in I$ tels que $f^{-k'}(x') \subseteq f^{-k}(x)$. Grâce au lemme, on a toujours $k' < k$.

L'ordinal associé à cette réécriture de $\cup_{(k,x) \in I} f^{-k}(x)$ est plus petit que celui associé à $\cup_{(k,x) \in J} f^{-k}(x)$, et strictement plus petit si l'inclusion est stricte. Du coup, parce que les ordinaux sont bien ordonnés, une suite infinie décroissante de fermés de la base est stationnaire. (Et en fait ce n'est pas juste une base de fermés mais tous les fermés.)
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
20 juillet 2018, 17:14
Bravo à toi et encore plus si tu es dans une région où il y a la canicule!!!!! winking smiley Et en plus (sauf erreur), tu ne pratiques pas l'ANS (?) donc tu as dû produire ça à la force du poignet...

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 juillet 2018, 00:35
Il y a quelques années, j'avais pris l'habitude de mettre le "petit texte" ANS que je pensais pour agrémenter mes posts. Puis j'ai fini par oublier, bon comme là, je l'ai évoquée, je le fais pour d'éventuels curieux.

Concernant le premier problème de chaurien, en ANS, ça donne: soit $b$ std dans $H$, il existe un entier $p$ supergrand tel que $f^p(x) = b$, soit $a$ std superproche de $x$, alors $f(a)=b$ et $a$ est dans tous les $G_n$ pour $n$ std, donc dans tous les $G_n$, donc dans $H$. On peut d'ailleurs noter que la continuité*** de $f$ n'est pas nécessaire, c'est juste une condition bien plus faible qui sert. (Bon après comme on veut que les $G_n$ soient fermés (ce qui donne $x\in G_n\to a\in G_n$ pour $n$ std), la continuité est utilisée.

Concernant la noethérianité, elle s'exprime ANS-ment en disant que pour tout ouvert $X$, il existe un ouvert std $U\subset X$ qui est maximum pour l'inclusion à être $\subset X$.

*** classiquement, $<<$ pour tout $a,c$ il existe un ouvert $U\ni a$ tel que pour tout $x\in U$, si $f(x)=c$ alors $f(a)=c>>$. C'est évidemment bien plus faible que la continuité.

Je vérifie (je pense tout haut, je mets en petits caractères du coup) si ça suffit pour que les $G_n$ soient fermés. Soit $b\in adh(Im_f(Z))$ où $Z$ est un compact et $f$ a la propriété faible demandée. Il existe $x\in Z$ tel que $f(x)$ superproche de $b$ (et là ça bloque, le $a$ superproche de $x$ ne sera pas forcément tel que $f(a)=b$)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 juillet 2018, 04:00
L'analyse non standard a l'air intéressante mais je peine un peu à lire les explications que je trouve. Il me faudrait plus de bagage en théorie des modèles mais à chaque fois que je lis ces choses, ça ne me convient pas et j'ai envie d'essayer de reformuler à ma manière… ce qui me prend trop de temps et me fait m'égarer.

Je vois en gros ce que tu veux dire. Ça doit pouvoir se justifier avec les axiomes de l'analyse non standard mais avec le modèle avec un ultrafiltre sur $\mathbb{N}$, on prend $p = (n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $x$ une suite $(x_1,x_2,\dots)$ telle que $f^n(x_n) = b$. Tu voulais probablement dire ensuite que $a$ est la partie standard de $f^{p-1}(x)$ plutôt que de $x$. J'ai l'impression que c'est la même preuve que j'avais donnée, mais formulée dans un langage différent (j'avais parlé de filtres, ici c'est des éléments non standards).

Tu dis que la continuité n'est pas utilisée pour déduire que $f(a) = b$. Le raisonnement que je vois pour déduire ça dit que $f(f^{p-1}(x)) = b$, et comme $f^{p-1}(x) \approx a$ et que $f$ est continue, on a $f(a) = b$.

Ta propriété après les trois étoiles dit que $f : K \to K$ est continue lorsqu'on pose la topologie normale de $K$ au départ et la topologie cofinie à l'arrivée, i.e. que l'image réciproque de chaque point est fermée. Ça n'est clairement pas suffisant pour que $f(K)$ soit fermé, puisque n'importe quelle injection vérifie ça.

En effet, ta propriété suffit pour montrer que $f(a) = b$… ça me semble "pas surprenant", on prend en fait juste la topologie la plus grossière à l'arrivée (la plus générale) qui permet de déduire $f(a) = b$ de $f(a) \approx b$. (Enfin, je dis ça sans connaître les définitions précises mais je n'ai pas envie de mettre toutes mes phrases au conditionnel.)
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 juillet 2018, 08:43
De mon téléphone: je te ferai un kit. La théorie des modèles n'est utile que pour prouver que l'ANS est correcte dans ce qu'elle prouve mais pas pour juste l'utiliser

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 juillet 2018, 12:15
a/ Soit $A$ l'ensemble des propriétés écrites sans utiliser le mot "standard" et dont tous les paramètres sont standards

b/ Soit $B$ l'ensemble des propriétés écrites sans utiliser le mot "standard" (mais avec éventuellement des paramètres non std.

c/ Soit $C$ l'ensemble de toutes les propriétés

L'ANS consiste à admettre les axiomes suivants et à s'en servir:

1/ pour tout $R$ dans $A$, si tout objet std vérifie $R$ alors $\forall x: R(x)$

2/ pour tout $R\in B$, si pour tout $x$, il existe $y$ std tel que $R(x,y)$, alors il existe un ensemble à la fois FINI et std $F$ tel que $\forall x\exists y\in F: R(x,y)$

3/ pour tout $R\in C$, tout $b$ std, il existe $a$ qui est std et tel que pour tout $x$ qui est std,

$$(x\in a\iff [R(x)\ et\ x\in b])$$


Il n'y a ABSOLUMENT RIEN DE PLUS à savoir. Le prédicat "être standard" que j'ai abrégé en "std", est unaire et c'est tout.

Effectivement une (légère) dose de théorie des modèles est utile pour prouver le théorème suivant, mais ce dernier n'intéresse que les gens qui veulent "fonder" l'ANS, pas ceux qui veulent l'exploiter (polarités opposées):

Thm: Tout énoncé clos qui ne contient pas le symbole "std" et qui est prouvé en ANS est prouvable dans ZFC.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 2 fois. Dernière modification le 21/07/2018 12:16 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 juillet 2018, 12:25
Citation
christophe c
mais ce dernier n'intéresse que les gens qui veulent "fonder" l'ANS, pas ceux qui veulent l'exploiter (polarités opposées):
Il intéresse ceux qui veulent savoir pourquoi si X est un énoncé, ZFC |- X (et non pas ZFC + choses |- X).
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 juillet 2018, 12:28
Oui, j'étais un peu flemmard, je voulais juste signaler que l'acquisition et maitrise estudiantine des ANS=>X ne nécessite pas celle des Y=>ANS, pour cause de polarités, mais j'ai très mal dit les choses, d'autant que je suis le premier à crier dès qu'on tient des discours "utilitaires" autour de l'idée "d'appliquer" des formules.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 juillet 2018, 12:29
(En fait je réagissais à la peur qu'avait exprimé CPL de devoir se taper toute la TDM AVANT d'aborder l'ANS)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 juillet 2018, 13:40
Merci pour ton explication. J'ai déjà vu sur wikipédia une approche axiomatique ( [en.wikipedia.org] ). Ça me conviendra dans un premier temps, mais il va falloir que je pratique ces axiomes avant de les accepter… Si tu as des exemples d'applications pour prouver des trucs standards, je suis preneur.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
21 juillet 2018, 14:45
Oui, je peux te donner des exos qui sont pénibles en classique et triviaux en ANS:

1/ Soit $E$ un ensemble et $S$ un ensemble de parties de $E$ tel que de tout recouvrement par des éléments de $S$, on peut extraire un sous-recouvrement fini. Prouve que la topologie engendrée par $S$ est quasi-compacte

2/ Prouve que le produit d'une famille d'espaces quasi-compacts est quasicompact

3/ Soit $E$ l'ensemble des applications lipschitziennes de rapport 58 de $[0,1]\to [-3,14]$. On le dote de la topologie de la convergence uniforme. Prouve que ça donne un espace compact

4/ Prouve que tout corps compact est fini

5/ Soit $E$ un espace compact et $L$ un ensemble de parties compactes de $E$, non vides, connexes et on suppose que deux éléments de $L$ ont leur intersection qui contient toujours comme sous-ensemble un élément de $L$. Prouver que l'intersection des éléments de $L$ est compact et connexe.

6/ Soit $n\mapsto f_n$ une suite d'applications continues de $E\to E$, avec $E$ compact. Prouve qu'il existe une suite d'éléments de $E$ telle que $\forall n: u_n=f_n(u_{n+1})$

Evidemment, ils ne sont pas non plus "ultra difficiles" classiquement, mais ils donnent l'impression de nécessiter souvent de l'inspiration ou une mobilisation d'un chapitre de TG par ci, un autre par là.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
24 juillet 2018, 22:57
J'ai oublié de te signaler deux exos typiques où l'ANS divise grandement la longueur des preuves:

1/ Tout anneau artinien est noethérien

2/ Tout anneau noethérien dont tous les idéaux premiers sont maximaux est artinien.

Artinien veut dire "pas de suites strictement décroissante d'idéaux".

L'énoncé (2) est quasiment rendu totalement trivial par l'ANS ( à peu près comme Tychonoff, donc c'est un excellent exercice d'acquisition de l'ANS). Le (1) reste assez copieux, malgré l'utilisation de l'ANS (mais la preuve est quand-même nettement allégée**)

** selon moi: ce n'est pas parce que je ne trouve pas d'allègement supplémentaire qu'il n'y en pas bien sûr.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
25 juillet 2018, 00:37
Merci pour cette liste !

Pour le 4, j'ai commencé par ce raisonnement suivant "standard" : on suppose que le corps est infini et compact. On prend une suite d'éléments tous différents. Par compacité, on prend une sous-suite généralisée qui tend vers un point $x$ (qui n'est pas dans cette suite généralisée), et par translation on se ramène à $x=0$. Du coup, par continuité, l'inverse de la suite généralisée devrait tendre vers un inverse de $0$, contradiction.

On peut reformuler le même argument en "non standard" : soit $x$ un point non standard (qui existe car le corps est infini). Par compacité, il existe un point standard $y$ superproche de $x$ (pour reprendre ton expression). Mais alors $1/(y-x)$ a aussi un point standard superproche par compacité, qui devrait être un inverse de $0$, contradiction.

Pour le 5/, on peut montrer aussi avec des suites généralisées ou de l'analyse non standard que l'intersection est non vide. Mais pour la connexité, je ne vois pas comment passer par de l'analyse non standard. J'ai trouvé comme raisonnement : si cette intersection n'était pas connexe, elle serait l'union de deux fermés non vides disjoints. Comme $E$ est compact, on pourrait les séparer par deux ouverts $U$ et $V$ disjoints. Mais alors on pourrait ajouter $E \setminus (U \cup V)$ à $L$ et on obtiendrait une intersection non vide, soit un point de $(\cap_{l\in L} l) \setminus (U \cup V)$, contradiction.

On peut aussi montrer Tychonoff par des ultrafiltres/suites généralisées et la preuve par analyse non standard est un peu la même.

Du coup, je me demande s'il y a moyen de rendre plus précis cette similitude entre l'analyse non standard et les suites généralisées. On peut construire des modèles d'analyse non standard avec un ultrafiltre sur $\N$ par exemple (ou quelque chose de cardinal plus gros si on veut plus de saturation si j'ai bien compris). Est-ce que ton 5/ est démontrable dans un modèle construit avec un ultrafiltre sur $\N$ ou bien il faut prendre un ultrafiltre sur un ensemble de cardinal au moins celui de $L$ ?
Ça me donne envie de voir l'analyse non standard (ou du moins son ou ses approches syntaxiques) comme une logique qui permet d'axiomatiser les raisonnements rendus possibles avec les ultrafiltres ou suites généralisées… je ne sais pas si j'ai raison.

Pour la 6/, je n'arrive pas à employer uniquement l'approche syntaxique. Je fais avec un modèle avec un ultrafiltre sur $\N$. On prend un point $x \in E$. On construit le point non standard $^{*}u_0 := (x,f_1(x),f_1(f_2(x)),\dots)$. Puis $^{*}u_1 := (\bot, x, f_2(x), f_2(f_3(x)), \dots)$, et ainsi de suite, où $\bot$ veut dire "indéfini". Alors $f_{i+1}(^{*}u_{i+1}) = ^{*}u_i$. Par compacité, on prend des parties standards $u_0$, $u_1$, etc., et on a la suite voulue. Je trouve cet exemple 6/ plus convaincant que les autres. Ça me donne un point de départ pour répondre à mon interrogation du paragraphe précédent (que je n'arrive pas bien à formuler).
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
25 juillet 2018, 08:16
De mon téléphone: tu as raison sur le fait que ça rend propre et net les raisonnements avec ultraftres , mais attention ultraftres divers et variés. Il est pas possible de singer l'ANS avec des petits ultrafiltres comme quelques uns sur IN . C'est "tous ensemble" qu'ils sont efficaces.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
25 juillet 2018, 17:42
Je détaille un peu:

Dans les 3 axiomes, il y en a un demi grinning smiley qui ne permet pas a priori de retraduire mot à mot une preuve ANS en preuve classique: c'est quand il y a des paramètres non standards dans l'item d'idéalisation.

Tout le reste se traduit presque mot pour mot en raisonnements ultrafiltrants. Et je t'avoue que je n'ai pas souvent croisé dans ma vie l'item en question.

Par contre, il me semble indispensable pour prouver qu'on peut toujours ramener un énoncé même contenant des paramètres non std utilisant le verbe "std" à un énoncé clos ne l'utilisant "presque pas", ie de la forme $\forall^S x\exists^S y: R(x,y)$ où il ne figure pas dans $R$.

La stratégie est de remplacer

$$quantification \dots \forall x\exists^Sy\dots quantification$$

par

$$quantification \dots \exists ^S F:fini \forall x\exists y\in F\dots quantification$$

Cet item est donc utile pour commuter des quantificateurs et ramener les $Q^S$ en début d'énoncé.

Bon, je n'ai pas recensé, mais il est vrai que dans les exos, je crois que cet item ne sert pas.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 juillet 2018, 15:41
Concernant le 1et 2 de <<noetherien ssi artinien scc >> je t'ai dit que (1) est difficile mais pas 2. En fait les deux se prouvent de la même façon sauf que pour (1) il y a à franchir l'étape qu un produit de suffisamment d'idéaux maximaux est nul alors que pas pour (2). C'est la seule différence. (@CPL de mon téléphone)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/07/2018 15:43 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 juillet 2018, 19:54
Après téléfériques, cars, détours, etc, je suis enfin au sommet de ma montagne grinning smiley avec mon pc. Dans mon "car premier prix", je n'ai pas trouvé d'autres activités (mode pause) que d'essayer de traduire en arguments classiques courts les exemples que je t'ai (@CPL) donnés et comme je suis vieux, ce qui jadis me paraissait "amusant" devient parfois une vraie punition.

Du coup, je te laisse l'agréable (ou le routinier au choix) et te donne des indications qui évitent la souffrance de les chercher. L'ANS n'intervient que peu in fine, quand on regarde bien.

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire.
(1) S'il est noethérien,pour tout $J$, il existe une liste finie d'idéaux premiers $ \supset J$ dont le produit est inclus dans $J$.
(2) S'il est artinien, il existe une liste finie d'idéaux maximaux (maximal = premier pour artinien) dont le produit est minimal parmi tous les produit de listes finies de ce genre qu'on peut faire.

Si tu veux prouver qu'un anneau noethérien où tous les premiers sont maximaux est forcément artinien , tu peux prendre le plus grand idéal $N$ tel que $A/N$ n'est pas artinien et il te suffit alors de prouver qu'un anneau noethérien dont tous les quotients à part lui-même sont artiniens est artinien. Tu prends ta liste de maximaux dont le produit est nul et finalement tu n'as que 2 cas à étudier, tous les deux faciles:

cas1: Les idéaux $P,Q$ sont tels que $PQ=0$ et qu'il existe $a\in P$, $b\in Q$ avec $a+b=1$ et $ab=0$, $A/P$ et $A/G$ artiniens et tu veux prouver que $A=A/(PQ)$ est artinien. C'est "trivial" une fois que tu as remarqué que si $J+P=K+P$ et $J+Q=K+Q$ alors $J=K$ quand $J,K$ sont des idéaux

cas2: $A$ est local (il n'y a qu'un seul idéal premier dont une puissance est nulle et c'est encore très routinier puisque $P^7$, supposé non nul est un espace vectoriel avec le corps $A/P$ dès lors que $P^8$ est nul)

La réciproque est plus délicate et m'a pris vraiment du temps (et pourtant je l'avais déjà fait, ça avait été un de mes "jeux" jadis en arrivant sur le forum), car tu as bien un produit minimal $T$ d'idéaux maximaux, et il vérifie $T^2=T$, mais il faut "être jeune et patient" pour prouver qu'il est ALORS nul. (Une fois ça fait, la routine est la même que ci-dessus et aucune difficulté n'existe).

Comme ça m'a pris des heures (j'oubliais de RE-UTILISER l'artinianité pour ça, je cherchais une preuve "pour tout anneau" sans même m'en apercevoir), je te la transmets en blanc, au cas où tu es jeune:

Tous les éléments de $T$ sont nilpotents. Soit $J$ minimal comme idéal inclus dans $T$ tel que $JT$ non nul. Forcément $J$ est principal de la forme disons $a$. Il existe $u\in T$ tel que $au\neq 0$. Comme $u\in T^2$, il existe $x,y$ tous deux dans $T$ tel que $axy\neq 0$, ce qui fait de $(ax)$ un idéal tel que $a=(ax)$ donc il existe $k$ tel que $a(1-kx)=0$. Mais $x$ étant nilpotent, $1-kx$ s'inverse et donc contradiction : $a=0$.

J'ai passé DES HEURES à essayer de prouver que $T=0$ sans réutiliser que $A$ est noethérien!!! grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/07/2018 21:12 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 juillet 2018, 21:18
J'ai numéroté une question avec ma galère de voyage grinning smiley :

[www.les-mathematiques.net]

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Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
28 juillet 2018, 21:38
Ah abh, le fil en lien
[www.les-mathematiques.net]

me donne l'occasion de redonner complètement sa vocation au présent fil: un EVN, ou même un EVT séparé a tous ses sous-espaces affines d'intérieur vide.

C'est "évident" pour les EVN, car si une boule ouverte non vide B contient un élément $a$, alors tout point de l'espace est sur une DEMI-droite partant de $a$ (c'est ce que les analystes fonctionnels appellent "absorption")

A noter que le fait que si une réunion de 2 fermés est d'intérieur non vide, alors l'un des deux au moins est d'intérieur non vide (c'est topologiquement général, pas lié à l'alg.linéaire et découle directement des définitions).

Concernant les histoires de réunion d'espaces jamais OK, c'est un truc que je remets assez régulièrement du temps à retrouver j'ai remarqué (je ne sais pas pourquoi): l'appartenance de $u+y_1v$ et de $u+y_2v$ avec les scalaires $y_1\neq y_2$ à un même sous-espace entraîne que $u$ est dans le dit sous-espace. Cela suffit à rappeler par quel chemin passer en général et donne des tas d'énoncés du genre "réunir ne suffit pas".

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Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
29 juillet 2018, 09:38
Bon de mon téléphone je fais un post pour envoyer un lien à chaurien en MP qui doit laisser bien perplexe les familiers du forum par ses questions insistantes confused smiley

1/ un sous espace affine strict est TOUJOURS d'intérieur vide sauf situation topologique exceptionnelle très éloignée de ses preoccupations. Cela est du aux droites passant par un point de l'ouvert qui balaient PAR DEFINITION tout l'espace.

2/ Toute réunion d'un nombre fini de fermés d'intérieur vide est d'intérieur vide (topologie quelconque)

3/ si pour tout i , le point x(i) est dans E(i) mais dans aucun autre E(j) alors il ne peut pas y avoir deux point différents x(i) et x(j) se trouvant dans un même E(k). Il s'en suit que si une réunion minimale** de E(i) contient tout le monde alors le nombre de E(i) est au moins égal au nombre de points dans une droite: sinon la droite passant par x(i) et x(j) qui rencontrerait un certain E(k) en 2 points différents forcerait x(i) et x(j) à être dans E(k).

** aucun des E(i) n'est inclus dans la réunion des autres E(j).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 3 fois. Dernière modification le 29/07/2018 09:59 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
29 juillet 2018, 17:46
Quelques précisions sur mes derniers posts:

1/ @blue j'ai vu que tu as lu la toute première version mais peut être 10mn après j'avais retiré séparé. (Pour info). En effet si U ouvert dense et X ouvert non vide alors U rencontre X et enfin si V est aussi un ouvert dense il rencontre U inter X.

2/ @ CPL j'ai parlé de 2 cas mais l'un qui donne l'illusion d'importer de l'arithmétique ou du théorème chinois est inutile car cas particulier de l'autre. Voilà ce qui se passe.

Si À anneau commutatif T idéal de A tel que À/T est "quelque chose" * et M ideal maximal de A avec MT=0 alors À est aussi le même "quelque chose" *. Ceci provient juste du fait que tu peux traiter T comme si c'était un À/M espace vectoriel (en le disant T ou sans le dire) et que pour un EV, artinien =noetherien = dim finie.

Le calcul : si z est dans K et K+T=J+T et J inclus dans K alors avec T tel que z=y+t tu as que t est dans K donc la différence entre K et J se voit à l'intérieur de T.

* le truc que tu veux prouver parmi noetherien ; artinien ayant l'autre.

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Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/07/2018 17:48 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
29 juillet 2018, 18:37
Salut et merci Christophe, j'ai rectifié.
Mais, ton argument de fermés d'intérieurs vide tue la démo si les sev sont fermés (automatique en dimension finie) mais ce n'est pas utilisable sinon.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
29 juillet 2018, 18:45
Bien sûr c'est pour ça que j'ai écrit le point 3 qui prouve qu'une réunion finie d'espaces affi de stricts ne peut pas donner l'espace entier

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Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
30 juillet 2018, 09:48
Je tiens à remercier Blue qui a transmis à chaurien une latexification du point3. J'ajoute quelques remarques logiques:

1) de toute réunion finie on peut extraire une réunion de même résultat où aucun des items n'est inclus dans la réunion des autres (sauf si un seul item contient tout le monde). Je ne l'avais pas ajouté pensant que l'aide que j'ai tapée suffirait.

2) L'argument s'applique à tout espace affine mais aussi projectif et il est suffisant qu'il vérifie les axiomes d'incidences faibles (où on ne met pas d'unicité dans la définition): c'est dire à quel point il est général. Les lecteurs amusés pourront varier les plaisirs sur des exemples saugrenus.

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Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
30 juillet 2018, 09:54
Je me permets aussi de partager un sourire amusé quand je lis les remerciements de chaurien de l'autre fil où il précise "qu'il ne comprend pas" le point3 et quand il dit dans d'autres posts qu'il veut du "taupin-accessible" et quand in fine il rédige une preuve usine à gaz de calculs savants : sacré chaurien, il est d'une constance indestructible dans ses idéologies grinning smiley qui se prolonge jusqu'à ... la géométrie élémentaire.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/07/2018 09:55 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
30 juillet 2018, 13:32
Bonjour,

> une preuve usine à gaz de calculs savants ............;

Ces calculs n'ont rien de savant. Ne projette pas ta dyscaculie comme un étendard sur les autres.

Cordialement,

Rescassol
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
30 juillet 2018, 13:51
1) c'était tout à fait affectueux.

2) je maintiens ma qualification même s'il y a des degrés. Parfois on ressent sue la taupin est pris pour un ... cheval de ferme (?)

Ce n'est pas tant le calcul ou la démonstration que je commente dans l'absolu que sa non nécessité dans le présent contexte. Mais ce n'est pas nouveau c'est le "marronnier chaurien" du forum: d'ailleurs le fait même qu' il ait éprouvé le besoin d'ouvrir ce fil pourtant composé d'évidences qui en théorie passeraient en quatrième dans un pays normal , et sauf erreur c'est le deuxième de l'été (sue je croise mais peut être y en a T il d'autres) , me semble attester ou témoigner que chaurien VEUT de manière déterminée et volontaire afficher des préférences de rédaction. Tu ne me feras pas croire (même si âge jouant il est en pleine forme je l'ai croisée à une soirée récemment) qu'il peine sur ces trucs. Il FAIT SEMBLANT de peiner pour pouvoir discuter des rédactions qu'il approuvé et de celles qu'il désapprouve. C'est un monsieur qui a son originalité grinning smiley

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Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/07/2018 13:52 par christophe c.
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
30 juillet 2018, 13:53
Et je dis ça amicalement.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Classiques L1-L2 trop oubliés
30 juillet 2018, 15:03
Toujours de mon téléphone avant d'aller faire du gyropode (bon par fil interposé) "l'hypothèse de minimalite " dont je viens juste de lire que chaurien la désavoue légèrement car elle complique: il faut être très claire a son propos. Elle est présente DANS TOUTES LED PREUVES PROPOSEES dans les deux fils. Elle est juste mieux cachée par la récurrence (par exemple de foys ou de chaurien dans les posts concernés). "Mieux cachée" ne plaide en rien en faveur du système déductif implicitement utilisé puisque science exige "rien cacher".

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Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/07/2018 15:04 par christophe c.
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