Parties et ensembles

@Adrien : par exemple si tu considères une ultrapuissance de l'univers obtenue à partir d'un ultrafiltre non principal sur $\omega$, tu obtiens un modèle non standard de ZFC, c'est-à-dire que le "oméga" de cet univers-là contient des entiers non standard, i.e. qui ne peuvent pas s'obtenir comme un itéré nième de la fonction successeur à partir de 0.
Du coup la "collection" des entiers non standard de ce $\omega$-là, qui est une partie de $\omega$ au sens intuitif, n'est pas un ensemble, et même pas une classe définissable.

En fait je me demandais si le schéma d'axiomes de compréhension pouvait s'énoncer "toute partie d'un ensemble est un ensemble"

Ca ne veut rien dire et tous les objets mathématiques sont des ensembles. Donc non. Le mot "partie" vient après le mot "ensemble", on a juste créé une abréviation :

<<a est une partie de b>> est une abréviation de << tous les éléments de a sont des éléments de b>>

Du coup, ce que tu dis, c'est comme si tu disais tout ensemble qui est inclus dans un ensemble est un ensemble.

Les maths c'est beaucoup plus simple que ça:

On a décidé que tout objet mathématique s'appelle un ensemble (raisons à détailler, mais ce n'est pas ton problème)

Ayant dit ça, on n'a rien dit, il fallait donc des axiomes pour travailler. Ces axiomes affirment ce qu'on attend des ensembles. Par exemple, on attend qu'il y a un ensemble vide, donc un axiome ou un théorème va dire qu'il y a un ensemble vide. On attend qu'ayant $a$, il y a un ensemble qui soit $\{a\}$, donc un axiome ou un théorème qui dit il existe x$ tel que tout élément de $x$ vaut $a$ et $a$ est un élément de $x$.

Etc, etc.

Quand tu as une phrase $A$ avec une lettre $x$ dedans, et que tu as un ensemble $b$ tu as un axiome qui dit que $\{x\mid x\in b$ et $A \}$ existe.

Si tu veux, on aurait pu, mais on ne l'a pas fait, prendre la notation avec les crochets et dire la chose suivante:

$$\forall t: [(t\in \{x\mid Phrase(x)\})\iff (Phrase(t))]$$

du coup, on a plutôt privilégié d'affirmer un certain nombre d'axiomes faisant que ces $\{x\mid blabla\}$ existent.

Non pas forcément. Mais tu prends le problème à l'envers. L'axiome demande qu'AU MOINS celles qui sont définissables soient des ensembles. Il se trouve juste que comme on parle il n'est pas possible d'écrire un axiome qui concerne quelque chose qu'il est impossible d'évoquer avec des mots. Mais par la suite on a découvert que c'était largement très puissant déjà. Au ne limitation n'est volontaire . Elles sont toutes "subies"

De mon téléphone

@Christophe : au sujet du schéma de "séparation".
Effectivement, certains auteurs privilégient ce terme.
En général ils commencent par démontrer que le schéma de compréhension global (celui qui dit que pour toute propriété P il existe un ensemble dont les éléments sont exactement les trucs tels que P(x)) est contradictoire, puis ils annoncent qu'on va maintenant utiliser un schéma de compréhension "restreint", celui qui impose que tous les x se baladent dans un ensemble A préexistant.
Du coup la propriété P "sépare" les éléments de A en 2 catégories, ceux qui vérifient P(x) et les autres.

@Adrien : Tu as bien fait de ne pas dire que tu étais en bac +1, sinon je ne t'aurais pas parlé d'ultrafiltres, et c'eût été dommage.
Mais une simple recherche google devrait te permettre d'en apprendre un peu plus.
En tapant "théorème de Los" tu découvriras ce qu'est une ultrapuissance, et tu comprendras pourquoi ça vérifie les mêmes énoncés au 1er ordre que le modèle de départ.

Adrien : Soit $U$ un ensemble muni d'une relation binaire $\epsilon$. On appelle les éléments de $U$ des zensembles (avec un z). Si $V$ est une partie de $U$ (c'est-à-dire que $V$ est un ensemble, dont tous les éléments sont éléments de $U$), on dit que $V$ peut être vu comme un zensemble s'il existe $v$ tel que pour tout $a\in U$, $a \in V$ si et seulement si $a\epsilon v$.

On suppose l'axiome de zcompréhension qui dit que pour toute phrase $P$ qui s'écrit avec des $\forall$, $\exists$, $\epsilon$ et avec une variable libre $x$, et pour tout $b \in U$, l'ensemble des $a \in U$ tels que $P(a)$ et tels que $a \epsilon b$ peut être vu comme un zensemble. On le note $\{a\epsilon b \ \vert \ P(a)\}_z$.

Alors démontrons que la partie $U$ ne peut pas être vue comme un zensemble.

Supposons le contraire. Alors il existe $u$ tel que pour tout $a \in U$, $a \epsilon u$. Posons à présent $c := \{a \epsilon u\ \vert \ non( a \epsilon a)\}_z$. $c$ est un zensemble d'après l'axiome de zcompréhension.
A-t-on $c \epsilon c$ ? Si oui, alors $non(c \epsilon c)$, ce qui est absurde. Et sinon, c'est que $c \epsilon c$, ce qui est absurde aussi.

Bref, la morale de l'histoire c'est que du point de vue de $U$, $U$ n'est pas un zensemble (et j'ai même envie de dire que $U$ n'est pas vu, du point de vue de $U$, comme un vrai objet mathématique). Par contre, de notre point de vue, $U$ est bien un ensemble. C'est un peu une histoire de poupées russes !

En tout cas, à chaque fois que tu lis ou entends "partie de", il faut traduire par "ensemble dont tous les éléments sont dans", sauf éventuellement si tu suis un cours de théorie des ensembles où parfois, il est implicite que "partie" ou "ensemble" désignent des choses dans la grosse poupée russe ou dans la petite, et dans ce cas il faut prendre des précautions.

@Max : Ben vu que je ne connais pas assez le forcing, j'ai voulu montrer ma culture autrement :-D Sérieusement, je suis si loin de la plaque ? Je trouvais que ça faisait un exemple simple de "truc qui n'existe pas mais que si on prend du recul on peut tout à fait dire qu'il existe".

Ok. Bon ben cet été je vais essayer d'apprendre le forcing !

Adrien étant en L1, j'ai plutôt l'impression que ses interrogations sont un peu langagières (il se demandait pourquoi prendre en axiome un truc intuitivement vrai :-D ) , même si bien sûr, on voit le sentiment platoniciennement désagréable qu'il y a à se dire qu'on ne dispose de rien du tout dans le langage ne serait-ce que pour "faire le voeu" que P(IN) soit plein (c'est la terminologie traidtionnelle)

Bon, cela dit, le forcing n'est pas l'idéal pour un platonicien, car il va dans l'autre sens (il dit "cherchez pas, c'est jamais plein") et en plus il y va exagérément (et pour réussir ça, il prend toujours exprès le mauvais chemin, par exemple si tu forces sur l'ordre des énoncés du langage de Peano ordonné par implication prouvable par Peano, il ne proposera JAMAIS RIEN d'autre que des modèles de l'arithmétique ayant des entiers infinis)

Un classique, c'est plutôt de dire que l'ensemble des réels définissables avec des mots est une partie dénombrables de IR que l'univers ne force pas à exister tout seul.