Sous-ensemble dénombrable

superpower
superpower
dans Fondements et Logique
Bonjour,
Dans un ensemble ordonné de cardinal aleph 2
Est-ce que pour toute partie de cardinal aleph 2 il existe une partie dénombrable de même borne supérieure ?
Merci d’avance

Réponses

  • Maxtimax
    Maxtimax
    Eh bien, que dire de $\omega_2+1$ ordonné naturellement, et comme partie $\omega_2$ ?
  • christophe c
    christophe c
    Non aleph1. Pardon je telephonais en même temps. La réponse est non mais je n'ai pas lu "de cardinal aleph2" en postant donc bien sur mon "aleph1" est idiot.

    Ah bin mince je suis en mode édit et je ne me rappelle pas la question assez précisément :-X ne voyant pas l'écran. Bon en tout cas c'est à peu près tout le temps faux ce dont plutôt les exemples où ça arrive qui son t rares. Je vais relire après POSTAGE. De mon téléphone
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Question trop vague (j'ai relu), l'ensemble (E,=) est ordonné. Sois plus précis.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    La réponse est généralement non mais si tu ne précises pas nos apports seront peut être peu rentables pour toi.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • superpower
    superpower
    Merci de vos réponses
    On se place dans une algèbre de Boole
    Merci d’avance
  • christophe c
    christophe c
    Tes précisions ne suffisent pas: toute borne supérieure est aussi borne supérieure d'un ensemble qui est un singleton donc dénombrable. Essaie de lister TOUTES tes exigences.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    @christophe : je pense que le deuxième "partie" de l'énoncé sous-entend "partie de la première partie mentionnée".
    Et dans une algèbre de Boole, toujours pas puisque tout ordre se plonge dans une algèbre de Boole
  • superpower
    superpower
    J’ai trouvé la solution merci de vos réponses
  • christophe c
    christophe c
    @max, oui c'est possible, mais SuperPower n'est jamais assez exhaustif dans ses demandes et c'est dommage pour lui. De toute façon même si on prend ce que tu ajoutes à son désir, le paysage est encore très contrasté. Il ya des algèbres de Boole complètes** dénombrablement engendrées aussi grosses qu'on veut***, mais toutes ne le sont pas, etc. En tout cas c'est un "il existe", ce n'est pas un "quelque soit".

    *** c'est un exercice-théorème célèbre pour sa naturalité et en même temps la difficulté de ses preuves (aucune n'est vraiment simple). La mienne, hyper-autoréférentielle, est peut-être la plus courte mais la plus "trichante" en apparence (même si elle est valable). Les plus "normales" sont longues et raffinées.

    ** coquille j'avais oublié, voir post de maxtimax ci-après. "L'engendrement" se fait au sens de "stable par toutes les bornes sup et inf", pas juste celles qui sont finies.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Euh Christophe ton théorème est faux. Algèbres de Boole complètes; en prenant le sup comme opération ok, mais algèbre de Boole tout court, vu que les algèbres de Boole c'est... algébrique :-D bah tout marche (mais je sais que tu sais ça et que c'est une coquille : tu parles assez souvent de la tension liberté/complétude pour que je sache que tu le sais)

    Et quant au "il existe"/"quel que soit", avec mon interprétation de sa question, mon premier contrexemple agrémenté de mon commentaire après suffit à fournir un contrexemple.
  • christophe c
    christophe c
    Ah oui, merci pour le signalement!!!! (J'ai mis du temps à comprendre, je me disais "qui peut le plus peut le moins*** :-D )

    *** ie si la borne sup existe, on la prend, si elle existe pas, on vaque à d'autres occupations, donc je ne voyais pas. Bravo pour ta précision!!
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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