Augmenter dimension pour rendre facile
Dans ce fil,
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1681968,1681968#msg-1681968
geo pose une question que j'ai souvent vu posée, que je me suis souvent posée, j'ai même essayé (sans succès) de le faire en mode "jardin d'enfants" (par des opérations sur lignes et colonnes), pour laquelle j'ai déjà googlé, mais oublié les réponses car probablement non conformes à mon désir.
J'ai lu un document mis en lien par dom, mais il n'échappe pas aux stratégies habituelles consistant à "remarquer" qu'elles ont même invariants de similitude (il contient une ambiguité**), même s'il concrétise ensuite, mais juste pour les Frobenius
J'ai le sentiment, mais en tant que béotien (et vue la canicule et les travaux dans mon quartier....) qu'il y a un truc à capter, et je m'en vais essayer de dire lequel, sans aucune garantie, je rappelle que je suis très moyen en algèbre linéaire et que je tire en rgande partie les quelques choses que je parviens à garder en mémoire de ma familiarité avec la superposition quantique, elle-même limitée par ... mon manque de dextérité en algèbre linéaire snif.
Ce fil est bien entendu destiné à geo que je préviens par MP et aux experts GBZM, CQ, Pappus Foys et tous les amoureux des matrices du forum déjà un peu expérimentés (enfin je veux dire pour donner une indication, sans parler de preuve, en laquelle on puisse avoir confiance, dès lors que les preuves viennent avec, pas besoin d'être expert). En espérant ne pas avoir été trop vague (c'est la canicule et je ne suis vraiment pas courageux).
1/ regardons le groupe des permutations: qu'est-ce qui fait qu'une permutation est semblable à sa transposée? Bin, tout bêtement qu'elle est semblable à son inverse et que sa transposée, c'est son inverse. Si on décompose une permutation en produits de cycles, bin y a juste à échanger toutes les flèches de sens, ce qui consiste bien à renommer "la base" (ie trouver un isomorphisme de conjugaison)
2/ Il semble qu'un phénomène similaire soit à l'oeuvre pour les rotations et les symétries, ces dernières étant carrément égales à leur transposée. Pour les rotations, j'ai l'impression qu'il suffit de remplacer $e_1$ par $-e_1$ dans le plan pour gagner (ie juste changer l'orientation de la base de la manière la plus naturelle qui vient à l'esprit
3/ Une question que j'ai posée souvent et qui trouve justement une application ici, c'est que tout endomorphisme (disons donc, pour les inversibles, toute base) peut être vu comme obtenus ainsi à partir d'une base canonique: on la "sort de sa prison dimensionnelle" (la base canonique), entendons par là qu'on ajoute des dimensions à l'espace, qu'on prend la base avec ses mains comme un jouet SOLIDE d'enfant et qu'on la lève du sol. On la tourne dans cet hyper-espace "plus spacieux", jusqu'à obtenir au sol l'ombre (on imagine le soleil à la vertical et le sol est l'espace de départ) exacte de la base d'arrivée qu'on veut obtenir, à une homothétie près.
4/ Question: est-ce que ces 3 mouvements [soulèvement - application d'un opérateur othogonal - projection] "commutent" avec un acte de conjugaison avec la transposée? J'ai évidemment envie de dire que oui, mais ce n'est qu'un désir. D'une certaine manière c'est un peu ce que j'ai fait dans un autre fil, où je lie $2^p$ lignes d'une matrice ayant $p$ colonnes, pour in fine, "appuyer comme un malade sur cette accordéon pour le refermer", et ramener le $2^p$ à $p+1$.
5/ Je formalise juste les trois mouvements:
5.1/ Soit $f\in L(E,E)$. Il existe un surespace $F$ euclidien (pas beaucoup plus gros que $E$) de $E$ et une similitude*** $g\in L(F,F)$ tels que $\forall x\in E: f(x) = p(g(x))$, où $p$ est la projection orthogonale de $F$ sur $E$.
5.2/ Je ne rappelle plus (donc je pense que c'est oui) la réponse qu'on m'avait fourni pour (5.1), mais, maintenant peut-être est-ce inutile, peut-être pas, la question est : est-ce que les conjugaisons entre des endomorphismes simples et leur transposées dans $L(F,F)$ peuvent redescendre pour donner une conjugaisons entre $f$ et $^tf$ (où je confonds $f$ et sa matrice dans une base décidée canonique (une orthonormale pour le PS de $F$), pur que $^t\bullet$ ait un sens?
*** ie une composée d'une isométrie et d'une homothétie vectorielle
** il ne le fait que pour les matrices de Frobenius, mais du coup on ne sait pas s'il annonce que la symétrie de la forme bilinéaire vaut pour toutes, ou si elle ne vaut que pour les Frobenius, mais donne le résultat moins général pour toutes, ou encore que le fait que ça vaut pour les Frobenius (la présence de la symétrie) entraîne de manière évidente que ça vaut pour les toutes.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1681968,1681968#msg-1681968
geo pose une question que j'ai souvent vu posée, que je me suis souvent posée, j'ai même essayé (sans succès) de le faire en mode "jardin d'enfants" (par des opérations sur lignes et colonnes), pour laquelle j'ai déjà googlé, mais oublié les réponses car probablement non conformes à mon désir.
J'ai lu un document mis en lien par dom, mais il n'échappe pas aux stratégies habituelles consistant à "remarquer" qu'elles ont même invariants de similitude (il contient une ambiguité**), même s'il concrétise ensuite, mais juste pour les Frobenius
J'ai le sentiment, mais en tant que béotien (et vue la canicule et les travaux dans mon quartier....) qu'il y a un truc à capter, et je m'en vais essayer de dire lequel, sans aucune garantie, je rappelle que je suis très moyen en algèbre linéaire et que je tire en rgande partie les quelques choses que je parviens à garder en mémoire de ma familiarité avec la superposition quantique, elle-même limitée par ... mon manque de dextérité en algèbre linéaire snif.
Ce fil est bien entendu destiné à geo que je préviens par MP et aux experts GBZM, CQ, Pappus Foys et tous les amoureux des matrices du forum déjà un peu expérimentés (enfin je veux dire pour donner une indication, sans parler de preuve, en laquelle on puisse avoir confiance, dès lors que les preuves viennent avec, pas besoin d'être expert). En espérant ne pas avoir été trop vague (c'est la canicule et je ne suis vraiment pas courageux).
1/ regardons le groupe des permutations: qu'est-ce qui fait qu'une permutation est semblable à sa transposée? Bin, tout bêtement qu'elle est semblable à son inverse et que sa transposée, c'est son inverse. Si on décompose une permutation en produits de cycles, bin y a juste à échanger toutes les flèches de sens, ce qui consiste bien à renommer "la base" (ie trouver un isomorphisme de conjugaison)
2/ Il semble qu'un phénomène similaire soit à l'oeuvre pour les rotations et les symétries, ces dernières étant carrément égales à leur transposée. Pour les rotations, j'ai l'impression qu'il suffit de remplacer $e_1$ par $-e_1$ dans le plan pour gagner (ie juste changer l'orientation de la base de la manière la plus naturelle qui vient à l'esprit
3/ Une question que j'ai posée souvent et qui trouve justement une application ici, c'est que tout endomorphisme (disons donc, pour les inversibles, toute base) peut être vu comme obtenus ainsi à partir d'une base canonique: on la "sort de sa prison dimensionnelle" (la base canonique), entendons par là qu'on ajoute des dimensions à l'espace, qu'on prend la base avec ses mains comme un jouet SOLIDE d'enfant et qu'on la lève du sol. On la tourne dans cet hyper-espace "plus spacieux", jusqu'à obtenir au sol l'ombre (on imagine le soleil à la vertical et le sol est l'espace de départ) exacte de la base d'arrivée qu'on veut obtenir, à une homothétie près.
4/ Question: est-ce que ces 3 mouvements [soulèvement - application d'un opérateur othogonal - projection] "commutent" avec un acte de conjugaison avec la transposée? J'ai évidemment envie de dire que oui, mais ce n'est qu'un désir. D'une certaine manière c'est un peu ce que j'ai fait dans un autre fil, où je lie $2^p$ lignes d'une matrice ayant $p$ colonnes, pour in fine, "appuyer comme un malade sur cette accordéon pour le refermer", et ramener le $2^p$ à $p+1$.
5/ Je formalise juste les trois mouvements:
5.1/ Soit $f\in L(E,E)$. Il existe un surespace $F$ euclidien (pas beaucoup plus gros que $E$) de $E$ et une similitude*** $g\in L(F,F)$ tels que $\forall x\in E: f(x) = p(g(x))$, où $p$ est la projection orthogonale de $F$ sur $E$.
5.2/ Je ne rappelle plus (donc je pense que c'est oui) la réponse qu'on m'avait fourni pour (5.1), mais, maintenant peut-être est-ce inutile, peut-être pas, la question est : est-ce que les conjugaisons entre des endomorphismes simples et leur transposées dans $L(F,F)$ peuvent redescendre pour donner une conjugaisons entre $f$ et $^tf$ (où je confonds $f$ et sa matrice dans une base décidée canonique (une orthonormale pour le PS de $F$), pur que $^t\bullet$ ait un sens?
*** ie une composée d'une isométrie et d'une homothétie vectorielle
** il ne le fait que pour les matrices de Frobenius, mais du coup on ne sait pas s'il annonce que la symétrie de la forme bilinéaire vaut pour toutes, ou si elle ne vaut que pour les Frobenius, mais donne le résultat moins général pour toutes, ou encore que le fait que ça vaut pour les Frobenius (la présence de la symétrie) entraîne de manière évidente que ça vaut pour les toutes.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
Quand j'ai répondu, j'allais ajouté une ou deux phrases qui vont dans ton sens : un truc à capter.
J'allais même dire que je comprends la preuve sans la comprendre. Mais d'ailleurs, en Algèbre, je n'ai jamais "senti" les choses. Il me faut travailler jusqu'à ce que le truc me paraisse évident (jeu d'écriture, paraphrase, ...).
Tant qu'il ne l'est pas, je crois que je n'y comprends pas grand chose.
Je viens aussi de prouver de tête que (5.1) est vrai avec dim(F) ne dépassant pas le carré de dim(E). Bon j'ai visé large :-D
Tout le monde sait que la matrice compagnon du polynôme unitaire $P\in K[X]$ est la matrice de la multiplication par (la classe de) $X$ dans $K[X]/P$, dans la base des monômes.
La transposée de la matrice compagnon est la matrice de ce même endomorphisme dans la base des polynômes de Horner. Si $P=X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n$, cette base est $(X^{n-1}+a_1X^{n-2}+\cdots+a_{n-1},\ldots,X^2+a_1X+a_{2},X+a_1,1)$.
PS. La matrice de passage est non seulement symétrique, mais même de Hankel.
J'avais rédigé ce document reprenant (pompant...) les idées de GBZM.
Bien cordialement,
Ritchie
Merci CC
$$\begin{bmatrix} 2 & & \\ & 1 & \\ & & 1\end{bmatrix}$$
avec elle-même par la matrice de transposition échangeant $e_2$ et $e_3$.
Et là ça change même le titre initiale (:P)
La charte 4.9 dit :
4.9 - choisissez judicieusement le titre des discussions que vous créez : le titre doit être court, écrit en minuscules et doit permettre aux lecteurs d’identifier sans ambiguïté le contenu de la discussion ;
Je pose juste la question déjà posée (mais c'est un peu hors sujet / fil car je sais bien qu'il y a qu'à taffer la Doc abonde) en quoi c'est intéressant de s'occuper des matrices compagnons puisque de toute façon partant de M il faudra aller à C et on sait aussi aller de tM à C. Donc en dehors de la beauté pourquoi "s'amuser" à passer de C à tC?
Je vais modifier le titre.
Bon, après le cinéma, je regarderai l'objection de paf qui de toute façon semble fatale, sauf erreur, au but du fil si je ne me trompe pas: augmenter la dimension rendrait facile effectivement... à casser ce que je souhaitais faire, en rendant facile des conjugaisons pas possibles dans l'espace, trop petit de départ :-D
Merci à tous.
PS: je vois que mille et uns titres ont jalonné les posts du fil, mais je n'ai jamais compris, comment il se fait que les posts puissent avoir des titres différents du fil lui-même :-S et en plus on ne peut les voir (en gros) que quand on est en mode pas connecté et que les messages s'affichent pour le public. Mais en mode connecté, ils sont écrits en petit sous les pseudos. Pardon pour le titre initial qui a semblé dérangé
J'informe les lecteurs (c'est un peu HS) que Ritchie est historiquement le premier intervenant du forum qui a prouvé, d'un simple calcul (que j'ai fini par "deviner" des années plus tard après cogitation et incubation), que les matrices rectangulaires non carrées sont liées, quel que soit l'anneau! Un coup de sous-déterminant et hop. Ca peut aider de le savoir pour qui veut googler ce calcul.
Et bien sûr, mais Ritchie l'avait dit et on voit l'auteur sur celui de dom, je précise que tout ce monde est dans la Galaxie de GaBuZoMeu à Rennes, où l'algèbre a trouvé, semble-t-il, d'excellents promoteurs.
Intuitivement, je n'ai absolument aucune vision de ce qui se passe.
Quelqu'un est-t-il déjà passé par cette lacune et l'a résolue? (Je me doute que GBZM, Ritchie et autres experts savent de quoi il retourne, je ne sais pas si par contre quand ils étaient jeunes ils sont passé par le préjugé faux que je viens de raconter)?
Merci. (C'est un peu HS du fil, mais je vais partir en vacances peut-être sans emmener mon pc, alors... De plus, je suis prêt à programmer en CAML rapidement la fonction qui suit pour me décalaminer le cerveau, mais à la condition que l'on me dise que ce sera utile pour comprendre. Peut-être que cette fonction "est triviale"????
Fonction:
on donne une suite d'entiers $(a_1,..,a_n)$. On obtient la suite d'entiers unique telle que $u_i|u_{i+1}$ et $diag(a_1,..,a_n) $ semblable à $diag(u_1,...)$ , l'anneau étant $\Z$.
C'est ton titre "augmenter la dimension" qui m'a fait penser à "plongeons ça dans un corps plus gros".
Bref, pardon si c'est vraiment à des années lumières du sujet.
Ici !
Parmi les premières choses à faire : pour $a, b \in \Z$ non nuls, expliciter $P, Q \in \SL_2(\Z)$ vérifiant :
$$
P \pmatrix {a \wedge b&0 \cr 0 & a \vee b} = \pmatrix {a & 0 \cr 0 & b} Q
$$
$$\begin{aligned}
&\Z/120\Z\times \Z/36\Z\times \Z/75\Z\times \Z/64\Z\\
&\qquad {}\simeq\Z/64\Z\times (\Z/8\Z)^2\times\Z/4\Z \times \Z/9\Z\times (\Z/3\Z)^2\times \Z/25\Z\times \Z/5\Z\\
&\qquad {}\simeq \Z/14400\Z\times \Z/120\Z\times \Z/24\Z\times \Z/4\Z
\end{aligned}$$
sauf erreur de calcul (c'est juste un calcul mandarin).
En fait non je dois me tromper :-X ce serait bizarre.
Je n'ai pas trop regardé la première partie sur les nombres premiers peut être la mon tort.
Par exemple diag(3,5)==diag(1,15)
Et avec la forme de Frobenius ce serait pareil?
Et si tu médites sur mon exemple, tu verras que c'est impossible à demander.
1°) Réduire la matrice $XI_n-M$ à sa forme de Smith sur l'anneau euclidien $K[X]$ (diagonale avec chaque élément sur la diagonale unitaire et divisant celui qui précéde). La matrice $XI_n-M$ est équivalente à sa forme de Smith.
2°) Réduire la matrice $M$ à sa forme de Frobenius sur le corps $K$ (diagonale par blocs, chaque bloc matrice compagnon d'un polynôme unitaire divisant le polynôme unitaire associé au bloc diagonal précédant). La matrice $M$ est semblable à sa réduite de Frobenius.
Et lemme des noyaux donnerait une toute autre pseudo diagonalisation Frobeniusienne bien plus grossière c'est ça? (Métaphore dans un cas on obtient diag(1,15), dans l'autre diag(3,5)?)
Soient $M,N$ deux matrices de $M_n(K)$. Soient $P,Q$ deux matrices de $GL_n(K[X])$ et on suppose que $P(M+XJ)Q=N+XJ$ où $J$ est la matrice identité.
L'écriture de l'expression $PMQ+P(XJ)Q = N + (XJ)$ me semble, avec un peu de travail pouvoir entrainer que $PQ=J$, donc que $M$ est semblable à $N$ (bon certes à première vue dans $M_n(K[X])$, mais in fine dans $M_n(K)$.
C'est ça que je déclarais "savoir par coeur" (enfin pas le calcul idiot que je viens d'écrire, en tant que tel mais le moyen mnémotechnique pour se rappeler qu'il y a équivalence entre tes points (1) et (2))
Et ça donne:
# let m = [2;5;6];;
val m : int list = [2; 5; 6]
# smithdiag m;;
- : int list = [2; 1; 30]
# let m = [5;4;2;50;12];;
val m : int list = [5; 4; 2; 50; 12]
# smithdiag m;;
- : int list = [1; 2; 100; 2; 60]
# let m = [120;36;75;64];;
val m : int list = [120; 36; 75; 64]
# smithdiag m;;
- : int list = [120; 1; 12; 14400]
(Pardon, je n'ai pas trié).
> "si deux matrices de $M_n(K)$ sont telles que $M+XJ$ et $N+XJ$ ont
> même forme de Smith [sont équivalentes sur $K[X]$], alors elles sont semblables".
C'est la réciproque qui est évidente.
Par contre j'attends que tu me démontres que
> Soient $M,N$ deux matrices de $M_n(K)$. Soient $P,Q$ deux matrices de $GL_n(K[X])$
> telles que que $P(M+XJ)Q=N+XJ$ où $J$ est la matrice identité.
> Alors $PQ=J$,
$$\begin{aligned}
&\Z/120\Z\times \Z/36\Z\times \Z/75\Z\times \Z/64\Z\\
&\qquad {}\simeq\Z/64\Z\times \Z/8\Z\times\Z/4\Z \times \Z/9\Z\times (\Z/3\Z)^2\times \Z/25\Z\times \Z/5\Z\\
&\qquad {}\simeq \Z/14400\Z\times \Z/120\Z\times \Z/12\Z
\end{aligned}$$
Concernant PQ=J que tu me donnes en exercice tu l'annonce que c'est faux sauf cas particuliers ou que c'est bon mais que je progresserai en le faisant?
Moi je connais l'équivalence, je sais en gros la montrer (de plusieurs façons, mais il me faudrait travailler pour consolider les détails), mais aucune des façons que je connais ne montre ce que tu annonces. Bref, si tu ne bluffes pas, j'attends une démonstration de ce que tu annonces.
Je ferai l'exercice soigneusement car comme ça implique de manière totalement clair le résultat du fil ça vaut le coup!! Mais faudra que j'ouvre peut être le bloc note ou autre du coup (je travaille toujours de tete mais là ...). En tout cas merci de m'aider. Je vais rester un moment dans ce finitisme car au delà des théorèmes je veux "voir tous ces pliages" que la nature nous inflige (enfin la surnature car l'entité qui force l'ensemble des nombres premiers à être infini est peut être pas la même que celle qui fait pousser les arbres)
Je ne connais bien sur par coeur AUCUNE PREUVE. Je m'étais mis dans la tête que le petit calcul que j'ai ecirt aurait mais j'avais tort (enfin ça m'a aidé à me RAPPELER l'énoncé)
Je vais essayer de le réussir seul, je vous (les intervenants) remercie par avance de ne pas me mettre de solution trop visible.
J'ai aussi comme objectif de comprendre en profondeur ce que signifie qu'une matrice d'ajacence est semblable à sa transposée (qui est aussi une matrice d'ajacence, mais pour un grpahe quand-même nettement différent même si on voit bien que "sa répartition de poids" en quelque sorte est la même. J'ai déjà ouvert un fil là dessus, que je continuerai quand j'en aurai capté plus
Ce que j'en dis (ci-dessous, $K$ est un corps et $A, B \in M_n(K)$).
1. D'une égalité :
$$
XI_n - B = L \times (XI_n - A) \times R, \qquad L, R \in \GL_n(K[X])
$$
à l'aide d'un certain (sic) calcul, il est possible de produire $P,Q \in \GL_n(K)$ vérifiant $PQ = QP =I_n$ et $B = PAQ$.
2. Afin que je (= mézigue) comprenne d'où proviennent $P,Q$ et le certain calcul en question, je suis obligé de revenir à des fondamentaux structurels. Surtout pour m'expliquer d'où débarque $XI_n - A$. Je note $K^n_A$ le $K[X]$-module attaché à $A$ i.e. $Q \cdot x = Q(A).x$; alors le $K[X]$-module $K^n_A$ possède une présentation finie canonique qui est la suivante :
$$
\xymatrix @C=1.5cm {K[X]^n \ar[r]^{XI_n - A} & K[X]^n\ar[r]^\pi & K^n_A \ar[r] & 0}
$$
La flèche $\pi$ est celle qui envoie la base canonique de $K[X]^n$ sur celle de $K^n$ et présentation signifie que $\ker\pi = \text{Im}(XI_n-A)$.
3. On peut fournir des $a,b,d \in \Z$ tels que
$$
\hbox {la matrice $\pmatrix {a & b\cr 0 & d\cr}$ n'est pas semblable, sur $\Z$, à sa transposée}
$$
Cela dit, c'est marrant de chercher $a,b,d$
A terme, un de mes buts est d'importer les acquis de l'algèbre linéaire vers des ensembles $(E,+,\times)$ tels que $\forall x,y,z: x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ avec $+;\times$ qui sont associatives et commutatives, mais rien de plus
Tout le côté "déterminant et sa magie" a l'air de bien passer, j'ai vérifié. Pour le reste, je ne sais pas encore.
L'intérêt est que les phénomènes "importants" interdisent violemment que $+$ soit régulière, (donc que les opposés existent), l'exemple typique est où $\times:=et; +:=ou$. Dans ce cadre la matrice d'adjacence ne compte pas les chemins, mais trouvent les composantes connexes, etc.
Dans ce cadre généralisé, j'ai hâte de voir si "toute matrice est semblable à sa transposée" (déjà il serait important de voir si c'est le cas pour tous les anneaux (comment je pourrais les appeler: "réactifs", disons). Les anneaux de Boole sont réactifs par exemple.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1008195,1683894,page=17#msg-1683894
J'ai, à ma grande surprise, l'impression que Rached annonce (dans son livre "réduction des endomorphismes") que la question940 que je pose sur la similitude générale a une réponse non. Mais hier j'ai payé toute la journée de l'avoir lu un peu le matin avec mes lunettes de presbytes: j'ai été quasiment aveuglé tout le reste de la journée, donc, je me retiens de lire en ce moment (journaux, etc), et ne peux pas revérifier car je n'ai pas retenu la page et faudrait que je fouille.
PS : suis arrivé à des positions politiques.
1/ Jordan c'est bien. Je ne comprends pas pourquoi on le critique. En particulier pour le résultat du fil je le préfère largement. Certes il faut s'habituer à voir que les clôtures algébriques "n'ajoutent rien" (ce dont des quotients itérés) mais c'est juste psycho.
2/ le résultat ne sera jamais trivial (pour les permutations même infinies il dit que pour tout f existe g tel que f o g o f = g
3/ Étant donne une matrice carrée À je ne crois pas que X |----> AX soit toujours semblable à X|----> XA la variable X désignant une matrice carrée de la même taille que À
4/ Projectivement je crois qu'il y a moyen de voir toute matrice comme DIAGONALISABLE. En adaptant bien sur les concepts . Je dis ça car je pense que l'épine nilpotente peut être écrasée.
Bref je n'abandonne pas
Le plan était en gros le suivant : méthodes ordinaires (IPP, changement de variables et compagnie) et méthode extraordinaires (passer par les complexes, abaisser la dimension ou l’augmenter avec le théorème de Stokes…)
-- Schnoebelen, Philippe
Bon après, c'est un préjugé de ma part, je sais bien que dans cette communauté, il n'y a pas que les candidats, il y a aussi tout le staff des préparateurs, des amoureux des thématiques concernées, des jurys (bon, in some sense, eux les subissent aussi, mais l'enjeu est bien moins violent), des auteurs de livres, et de cours, etc.
Bon, je n'ai toujours pas éclairci le noeud probablement erroné de ma preuve d'Hadwiger et je tente depuis un certain temps d'acquérir une vision du "monde finitiste", et je dois bien avouer que ce conquêtes collectives du monde linéaire me rendent bien service. Mais je suis tellement béotien que c'est décourageant et aussi je vois ou devine que des éléments de politique scientifique ont coupé des branches que je voudrais exploré et développé des branches qui m'intéressent moins.
Et je dois partir en vacances, ça devient urgent (quand je dis en vacances, je veux dire aller dans des beaux endroits naturels, au sommet de montagnes).
1/ Est-ce que quelqu'un voudrait faire un geogebra où on promène 2 couples de vecteurs (de même déterminant) et où un objet dépendant de ces deux couples essaie de les rendre "semblable" (au sens qu'en tant que bases***, ces couples sont coujugués) et qui n'y parvient pas quand ils ne le sont pas en faisant apparaitre des ensembles disjoints? Je n'ai pas le niveau pour "trouver à quoi peut ressembler" cet objet visuel.
2/ Même question, mais cette fois-ci avec une seule base, et une base qui s'affiche qui la diagonalise (et qui quand il y a un résidu nilpotent, envoie ce qu'il faut à l'infini), ie par exemple, pour la base $(e_1, e_1+e_2)$, qui donne l'application linéaire $(x,y)\mapsto (x+y,y)$, archétype en 2D de matrices non diagonalisable, la base qui "la rend diagonalisable" envoie laisse $e_2$ inchangé, multiplé par $1/\infty$, mais envoie $e_1$ sur $\infty .e_1$ (ie le point de la droite à l'infini qui coupe l'axe des abscisses).
3/ Autre projet possible avec geogebra (qui manipule très bien les images), j'ai remarqué pour ce qui me concerne que je suis TOTALEMENT INCAPABLE de savoir si elles sont conjuguées** quand on me donne 2 images linéairement déformées d'une même image de départ servant de référence. (Bon, j'ai bien compris qu'il faut qu'il n'y ait pas d'agrandissement, mais c'est un peu court). J'aimerai bien devenir un "sportif réflexe" de cette compétence (ie on me montre deux images et "je vois tout de suite" si elles sont ou non conjuguées (évidemment, il faut que ce soit de "belles photos" en couleur, avec un paysage varié)
4/ après tout ça, c'est la 3D qui donnera peut-être des attentes, mais déjà si je deviens compétent en 2D, je serai content.
*** ce sont des matrices au sens qu'elles représentent les vecteurs colonnes d'une matrice dans la base canonique de geogebra
** ie il existe deux applications linéaires semblables, dont elles sont l'image de la photo de référence par elle.