Borne inf ultrafiltre

superpower · July 2018

Bonjour,
On se place dans une algèbre de Boole complète infinie atomique.
Quelle est la borne inférieure de l’ultrafiltre qui contient tous les coatomes?
Merci d’avance

Maxtimax · July 2018

Il n'y a pas, a priori, d'unique tel ultrafiltre. Comme contrexemple prendre n'importe quel $\mathcal{P}(X)$ pour $X$ infini : il y a alors beaucoup de tels ultrafiltres.

En fait on sera toujours dans cette situation, puisqu'une algèbre de Boole atomique complète est isomorphe à $\mathcal{P}(X)$ pour $X$ l'ensemble de ses atomes. Donc il y a toujours plusieurs tels ultrafiltres. Cependant, la borne inférieure est donc toujours la même, et c'est aussi la borne inférieure des coatomes: $\emptyset$ (donc $0$ pour une algèbre de Boole abstraite)- et on peut le prouver sans même cet isomorphisme; et en fait on n'a pas besoin de la complétude.

Soit en effet $b$ un minorant des coatomes. Si $b$ n'est pas $0$, comme $B$ est atomique, il existe un atome $a\leq b$. Mais $b\leq \neg a$. Donc $a\leq \neg a$, ce qui est absurde puisque $a\neq 0$. Donc $b=0$. En particulier, $0$ est la borne inf.

christophe c · July 2018

SuperPower :-X, bon sang, mais si tu détaillais plus, on pourrait mieux t'aider!!!! Ca fait des années que tu fais ça!

superpower · July 2018

Pardon pardon
Merci de vos réponses
D’accord j’ai une autre question
On choisit un ultrafiltre qui contient les coatomes
Soit une chaîne dans cet ultrafiltre qui n’a pas de minorant dans cet ultrafiltre
Savez vous quel va être sa borne inf?
Merci d’avance

Maxtimax · July 2018

Non on ne peut pas savoir en général. Prenons par exemple $B=\mathcal{P}(\N)$. Alors tout ultrafiltre non principal contient les coatomes. En particulier, si j'exhibe deux chaînes dans le filtre de Fréchet (le filtre des ensembles cofinis, qui est inclus dans tout tel ultrafiltre) qui ont une borne inf différente, ça prouve qu'il n'y a pas de valeur fixée.

Eh bien là c'est très simple : $\N\setminus [0,n], n \in \N$ est une chaîne dans ce filtre de borne inf $\emptyset$; et $\N\setminus [1,n], n \in \N$ est une chaîne dans ce filtre de borne inf $\{1\}$. Evidemment on peut modifier pour obtenir tout ensemble fini comme borne inf; et en fait on peut trouver un exemple d'ultrafiltre et de chaîne pour tout ensemble infini coinfini; i.e. tout ensemble qui n'est pas dans le filtre engendré par les coatomes (le filtre de Fréchet !)

christophe c · July 2018

@SUPER c'est toute une spécialité: mots clés "ordre de Rudin Keisler + degrés de Tukey"

Borne inf ultrafiltre

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