Définition formelle de $\mathbb K[X]$
Bonjour à tous,
On a vu passer des fils sur la définition de fonctions : le triplet ou bien "que" le graphe etc.
Je pose deux questions désormais :
a) qu'est-ce qu'une indéterminée (si ça se définit sans rien d'autres) ?
b) quelle est la définition de $\mathbb K[X]$ où $\mathbb K$ est, disons, un corps ?
J'imagine qu'on peut se restreindre à un anneau.
Pour le b) j'ai déjà vu des constructions avec les suites (1,0,0,0...) ; (0,1,0,0,0,...) ; (0,0,1,0,0,0...) presque nulles.
Une autre idée ?
"Il faudrait" (si possible) une définition qui s'accord avec $\mathbb K[X,Y]$ et les autres...
On a vu passer des fils sur la définition de fonctions : le triplet ou bien "que" le graphe etc.
Je pose deux questions désormais :
a) qu'est-ce qu'une indéterminée (si ça se définit sans rien d'autres) ?
b) quelle est la définition de $\mathbb K[X]$ où $\mathbb K$ est, disons, un corps ?
J'imagine qu'on peut se restreindre à un anneau.
Pour le b) j'ai déjà vu des constructions avec les suites (1,0,0,0...) ; (0,1,0,0,0,...) ; (0,0,1,0,0,0...) presque nulles.
Une autre idée ?
"Il faudrait" (si possible) une définition qui s'accord avec $\mathbb K[X,Y]$ et les autres...
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Réponses
Je suis un débutant bien maladroit, et ne possède aucune expertise dans le domaine. J'ai cependant été amené à me frotter à un travail basique sur les polynômes l'an passé, et en voulant en savoir un peu plus sur la construction "rigoureuse" de ces derniers, je suis tombé sur la vidéo suivante : Polynômes - vidéo 1
Ce ne sera peut-être pas suffisant pour des connaisseurs, mais j'ai trouvé que c'était nettement plus clair et plus propre que ce que j'avais dans ma bibliothèque. Ce petit cours contient un passage avec l'indéterminée à partir de 9 minutes, les suites presque nulles sont abordées avant. Tes questions devraient donc y trouver des éléments de réponse.
En espérant t'avoir aidé, au moins un peu...
Cordialement.
jcc
La définition avec les suites presque nulles est la définition standard; je n'en connais pas d'autre. On peut aussi le définir comme la $K$-algèbre de monoïde de $\mathbb{N}$ (on obtient la même définition, l'avantage est qu'on peut généraliser). Alors $K[X,Y]$ est celle sur $\mathbb{N}^2$, etc.
La caractérisation que j'apprécie le plus est "la $K$-algèbre libre sur un élément", c'est-à-dire $F(\{x\})$ où $F: Set\to K-Alg$ est le foncteur adjoint à gauche du foncteur d'oubli $U: K-Alg \to Set$ . Cela ne définit $K[X]$ qu'à isomorphisme près; mais on peut ainsi prouver qu'elle existe sans rentrer dans trop de détails (l'existence de $F$ découle d'abstract nonsense + d'une petite majoration de cardinal classique en algèbre abstraite). Pour le coup cela se généralise très bien à $K[X,Y]$, qui est simplement la $K$-algèbre libre sur ... $2$ éléments, soit $F(\{x,y\})$ où $x\neq y$
(évidemment, par du abstract nonsense sur les adjoints/ sur les objets initiaux, toutes ces définitions sont uniques à des uniques isomorphismes près; unique isomorphisme sous $K$)
Il s'agit du langage des catégories d'après ce que je peux comprendre.
J'ai à peine vouvoyé ces notions, en maîtrise à l'époque.
Merci bien !
Merci aussi à @jcc.
Si tu veux sans langage catégorique, la même chose : $(K[X],X)$ est une $K$-algèbre vérifiant : pour tout couple $(A,a)$ où $A$ est une $K$-algèbre et $a\in A$, il existe un unique morphisme de $K$-algèbres $f:K[X]\to A$ tel que $f(X) = a$.
Cette propriété caractérise $(K[X],X)$ à unique isomorphisme près parmi les couples $(A,a)$ ($K$-algèbre et élément de cette $K$-algèbre).
La vidéo est sympathique, pas mal du tout.
Je vais lui faire un reproche que l'on peut faire à toutes : si on sait de quoi il parle, alors c'est compréhensible ; si on ne sais pas de quoi il parle, je crois que c'est incompréhensible (c'est certainement très difficile à suivre et il faudrait faire "pause" tout le temps pour quelqu'un qui découvre).
Mais ce n'est pas un vrai reproche, c'est davantage une remarque sur les choses qu'on met "en boîte" ou encore sur les articles de vulgarisation.
On a une question à la fin en prime, certains vont-ils s'y coller ? Problème ouvert ?
Je le récris : (j'espère être propre sur l'énoncé voir les messages suivants pour une bonne transcription de l'énoncé)
Sait-on caractériser les anneaux $\mathbb A$ pour lesquels on a un isomorphisme (d'anneaux) entre $\mathbb A[X]$ et l'ensemble des fonctions polynômes de $\mathbb A$ dans $\mathbb A$ ?
Déjà au delà des anneaux intègres, il y a les produits d'anneaux intègres (qui ne sont jamais intègres sauf si tous les facteurs sauf éventuellement un sont triviaux). Au vu des réponses ici, une réponse semble compliquée (et au vu de la belle classification dans le cas noethérien, on ne peut vraiment espérer de super caractérisation dans le cas général)
Merci ;-)
Un monôme est une application presque nulle d'un ensemble $Z$ (que tu appelleras ensemble d'indéterminées si tu veux) vers $\N$.
Un polynôme une application presque nulle de l'ensemble $M$ des monômes ci-dessus vers $A$ ton anneau.
C'est tout. N'est-ce pas ça que tu fais très exactement, même quand tu es avec des enfants? A la différence que tu vas leur faire manipuler des étapes de calcul alors qu'ici tu n'as que la forme développée à l'arrivée. Je te laisse définir l'addition et la multiplication à titre d'exercice, c'est la partie facile.
Attention la constante nulle sur $Z$ "est" le $1$ de l'anneau alors que la constante nulle sur $M$ "est" le $0$ de l'anneau (pour tes définitions)
Maxtimax :
Tu peux nous en dire un peu plus sur ta phrase, " on peut ainsi prouver qu'elle existe ... " ?
1) la catégorie des $K$-algèbres a tous les petits produits et les égaliseurs et ils commutent avec $U$ ; donc elle a toutes lees limites, et elles commutent avec $U$ (en particulier elle est complète)
2) par la majoration de cardinal, on a une condition technique sur $U$ qui permet d'appliquer le théorème du foncteur adjoint (général) qui donne l'existence de $F$.
Remarques : -selon notre théorie fondatrice pour les catégories, on a potentiellement besoin d'un axiome du choix sur les classes pour obtenir ça, ou potentiellement d'univers de Grothendieck. Mais en fait, pour un ensemble $X$ fixé, en suivant la preuve du théorème suscité, on n'en a pas besoin: c'est pour obtenir la foncteur défini partout qu'il le faut.
- c'est "un peu de la triche" au sens où pour prouver la majoration de cardinal à laquelle je pense, il faudra sûrement passer par ses ensembles du type $\{\displaystyle\sum_{k=0}^d a_k x^k, x\in X\}$; même si formellement on n'utilise pas la notion de polynômes, on sait que moralement c'est eux qui se cachent derrière (mais après tout puisque c'est d'eux qu'on parle, c'est attendu, non ?)
Si l'on considère la définition des polynômes comme l'ensemble des suites presque nulles, on pourrait être tenté de définir la multiplication des polynômes comme la multiplication usuelle de deux suites : $(u_n) \times (v_n) = (u_n \times v_n)$. D'ailleurs, si l'on munit l'ensemble des suites presque nulles à coefficients dans un anneau commutatif unitaire $A$, que je noterais pour l'instant $S(A)$, de l'addition usuelle pour les suites, de la multiplication par un scalaire usuelle pour les suites, et de la multiplication usuelle pour les suites, $(S(A),+, \cdot , \times)$ est aussi une $A$-algèbre (associative et unitaire).
Mais on ne prend pas cette multiplication-là quand on parle de polynômes. Sans passer par l'écriture habituelle des polynômes, donc du type $\displaystyle \sum_{k=0}^d a_k X^k$, qui fait intervenir l'indéterminée $X$ que je préfèrerais pouvoir définir "après coup", peut-on justifier que la multiplication "qui n'est pas celle usuelle pour les suites" est bien la plus "naturelle" pour les suites presque nulles (ie les polynômes) ? Maxtimax parlait de la notion d'algèbre libre sur un singleton, peut-être que c'est là-dedans qu'il y a la réponse ???
1) Si on dit qu'une série (un polynôme) à coefficients dans $A$ est une fonction $f:\mathbb N \to A$ (à support fini), le produit est le produit de convolution des fonctions : $(f\star g)(n)=\sum_k f(k)g(n-k)$.
2) Exercice : définir une multiplication sur les suites à support fini d'élément de $A$ telle que la structure de $A$-algèbre obtenue par la structure standard de $A$-module et cette multiplication soit celle de l'algèbre des polynômes en $X_1,X_2,\ldots,X_n,\ldots$ à coefficients dans $A$.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1683268,1683338#msg-1683338
Je me doute sue je suis peu lu ça ne me dérange pas de faire ce rappel au cas où des gens vireraient vers discussion sur ce point formel
Édit lien corrigé merci dom
Pour moi la question c'est plutôt, face à un débutant, qui a découvert comment multiplier des suites en cours d'analyse (donc : multiplication terme à terme), comment lui donner l'intuition que l'autre multiplication est plus intéressante pour les polynômes mais en début de cours. Donc avant d'avoir introduit l'indéterminée, avant d'avoir introduit l'écriture d'un polynôme en combinaison linéaire. Comment, juste avec "un polynôme c'est une suite presque nulle" on fait pour donner l'intuition que la multiplication des polynômes est plus adaptée que la multiplication usuelle des suites.
C'est sûr qu'un débutant, je l'assomerais pas avec des notions d'algèbre libre, mais si c'est ça la réponse, ben, c'est ça la réponse quoi :-D
Quelqu'un qui découvre les polynômes formels connait déjà les fonctions polynomiales, et il a déjà une idée de ce qu'est un polynôme; c'est comme ça qu'on lui justifierait.
D'ailleurs on ne se pose pas vraiment la question de ce "calcul littéral" en tant que structure.
Edit : "avais" corrigé en "avait" selon maître @GaBuZeau d'Vichy !
(N'y voyez pas un rappel aux heures sombres mais juste un jeu de mots à la con avec l'ancien monsieur de « Les jeux de 20 heures »)
J'en rajoute, dans le genre chiant. Ici, c'est une affaire de logique : Quel est le sujet de "avais" ?
Je vais creuser un peu plus les histoires d'algèbre libre sur un singleton...
Mais je ne m'en plains pas.
@GBZM : je me disais bien qu'un truc clochait
@Homo Topi: tu avais des profs nuls dans cet aspect alors; s'ils ne t'ont pas expliqué ce qu'on essayait de modéliser avec ces suites presque nulles
La somme joue un peu le rôle de dessins disjontionnant la présentation en 1D cachant l'attente réelle: le produit de deux sommes présentées en ligne chacune renvoie d'abord vers un tableau 2D à ce une case pour chaque couple de monomes puis une sorte "de volonté d'indifférence naturelle à l'ordre des termes de cette SOMME GLOBALE" permet des regroupements. Mais cette commutativité de + est plus universelle. Le mélange des deux donne la spécialité de recherche "algèbre commutative" avec quelques dizaines de de millions de crédits pour la financer. Et le déterminant comme graal central (encore mal cerné je crois tant il est puissant et révèle des factorisations inattendues)
$A[X]$ est la $A$-algèbre libre sur un ensemble singleton
$A[X_1 , ... , X_n]$ est la $A$-algèbre libre sur un ensemble fini
peut-on définir une $A$-algèbre libre sur un ensemble infini dénombrable ? Si oui, c'est quoi ? Dans le sens, c'est un objet standard ?
encore plus loin : sur un ensemble infini indénombrable ?
J'ai appris que si $K$ est un corps, l'ensemble $K(X)$ des fractions rationnelles est le corps des fractions de $K[X]$. Je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas généraliser ça au cas de plusieurs variables. Du coup, avec un ensemble infini dénombrable de variables, ça marche encore ? Et avec un ensemble infini indénombrable ?
Sinon, il y a l'algèbre $AX$ des séries formelles. Là encore, je pense qu'on peut généraliser ça sans problème au cas de plusieurs variables, mais pour un ensemble infini dénombrable/indénombrable de variables ?
Les séries formelles se généralisent aussi mais je ne lui connais pas (mais c'est sûrement mon inculture qui joue) de rôle de "machin libre" (peut-être "algèbre avec un nilpotent libre", mais elle n'a pas elle-même de nilpotent, donc elle jouerait un rôle externe bizarre - en tout cas ce n'est pas ça qui me plairait)
De plus on appellera $K$-algèbre un couple $(A,f)$ où $f$ est un morphisme d'anneau de $K$ dans $A$ tel que pour tous $x\in k$, $f(x)$ commute avec tous les éléments de $A$ (cette exigence permet de munir $A$ d'une structure de $K$-module pour lequel son produit est une application $K$-bilinéaire. Elle est bien sûr automatiquement vérifiée lorsque $A$ est commutatif).
Soit $E$ un ensemble. Une $K$-algèbre de polynômes indexée par $E$ est un triplet $\left( A,i,(x_p)_{p \in E}\right)$ où $(A,i)$ est une $K$-algèbre commutative et $x_p \in A$ pour tout $p$, tel que pour tout autre triplet $\left( B,j,(y_q)_{q \in E}\right)$ où $(B,j)$ est une $K$-algèbre et $y_q\in B$ pour tous $q$, il existe un unique morphisme d'anneaux $\varphi: A \to B$ tel que $\varphi \circ i = j$ et $ \varphi(x_r)=y_r$ pour tout $r$ dans $E$.
Informellement, cette définition dit qu'un anneau de polynômes est un anneau idéal d'expressions algébriques construites avec les "lettres" $(x_p)_{p \in E}$, $K$ jouant le rôle d'ensemble de coefficients. Citons deux propriétés importantes qui découlent de cette défintion.
On dira par abus de langage (lorsque le contexte ne permet pas d'ambiguïté) "$A$ est une algèbre de polynômes" au lieu de "$\left( A,i,(x_p)_{p \in E}\right)$ est une $K$-algèbre de polynômes".
1) Deux $K$-algèbres de polynômes sur un même ensemble $E$ sont toujours isomorphes.
Précisément, si $\left( A,i,(x_p)_{p \in E}\right)$ et $\left( A',i',(x'_p)_{p \in E}\right)$il existe un unique isomorphisme d'anneaux $\theta:A \to A'$ tel que $\theta \circ i = i'$ et $\theta(x_p)=x_p'$ pour tout $p\in E$.
L'existence et l'unicité d'un morphisme $\theta$ vérifiant $\theta \circ i = i'$ et $\theta(x_p)=x_p'$ pour tout $p\in E$ est garantie par la définition d'algèbre de polynômes. Reste à montrer qu'il s'agit d'un isomorphisme. Considérons également le morphisme $\tau:A' \to A$ tel que $\tau \circ i' = i$ et $\tau(x'_q)=x_q$ pour tout $q$ (puisque $A'$ est aussi une algèbre de polynômes). Alors $(\tau \circ \theta )\circ i = i$pour tout $p \in E$, $(\tau \circ \theta )(x_p) = x_p$. Or il s'avère que l'identité de $A$ vérifie aussi ces propriétés à savoir $id_A \circ i = i$ et $id_A (x_p)=x_p$ pour tout $p\in E$ et donc, par unicité d'un morphisme vérifiant ces conditions (cf définition verte), on a $\tau \circ \theta = id_A$.
On a pour les mêmes raisons ($A'$ étant une algèbre de polynômes) $\theta \circ \tau = id_{A'}$ et donc $\theta$ et $\tau$ sont des isomorphismes réciproques.
C'est ce résultat qui amène les gens à dire "L' algèbre de polynômes" au lieu de "une algèbre de polynômes": on manipule un objet essentiellement unique.
2) Si $\left( A,i,(x_p)_{p \in E}\right)$ est une $K$-algèbre de polynômes sur $E$, $i$ est injectif.
Soit $z$ l'application qui à $u \in E$ associe $0 \in K$. L'application de la définition au triplet $(K,id_K,z)$ fournit un morphisme $\psi:A \to K$ tel que $\psi \circ i = id_K$ (et $\psi(x_p)=0$ pour tout $p$ mais ça importe peu ici).
Ainsi on a $\psi \circ (a)=a$ pour tout $a\in K$ d'où l'injectivité de $i$.
Ce résultat permet de traiter $K$ comme un sous-anneau de la $K$ algèbre des polynômes sur $E$ et d'identifier systématiquement $u$ et $i(u)$ pour tout $u \in K$. On note usuellement $\alpha x_1^2+\beta x_2x_3$ (et non pas $i(\alpha) x_1^2+i(\beta) x_2x_3$).
Exercices faisables avec ce qui précède:
a) Montrer que si $\left (A,i,(x_p)_{p \in E} \right)$ est une algèbre de polynômes alors le plus petit ensemble contenant $K=i(K)$ (cf 2) et remarque précédente), tous les $x_p$ quand $p$ parcourt $E$ et qui est stable par somme et par produit, n'est autre que $A$ lui-même (ceci renforce l'idée que $A$ est un ensemble d'expression algébriques).
b) On suppose que pour tout anneau commutatif $B$ et tout $n\in \N$, $B[X_1,X_2,...,X_n]$ désigne une $B$-algèbre de polynômes sur un ensemble à $n$ éléments.
Montrer que $K[X_1,...,X_n]$ et $K[X_1][X_2]...[X_n]$ sont isomorphes ($K[X_1][X_2]...[X_i]$ désigne $K([X_1][X_2]...[X_{i_1}])[X_i]$- la définition par induction devrait être intuitable).
L'existence d'algèbres de polynômes pour tout anneau commutatif $K$ et tout ensemble d'indexation $E$ va être l'objet d'un prochain message (ou pas...). Il y a plusieurs méthodes plus ou moins absconses et bien sûr elles se valent toutes au vu du théorème 1) ci-dessus.
En fait on pourrait dire en une ligne que le foncteur de la catégories des $K$-algèbres commutatives vers la catégories des ensembles qui à un objet fait correspondre son ensemble sous-jacent, admet un adjoint à gauche (il en va de même bien sûr des catégories des magmas, monoïdes, groupes, espaces vectoriels, affines, etc... avec liens idoines entre ces objets dûs au fait que des foncteurs adjoints se composent).
Il y a un hic qui est qu'en général quelqu'un qui sait ce qu'est un foncteur adjoint a déjà une certaine familiarité avec les algèbres de polynômes. C'est pour ça qu'on devrait traiter ce genre d'exemple spécifique avant (mais ce n'est que mon avis).
(Personnellement je ne m'étais pas rendu compte de ce qu'était vraiment $k[X]$ avant d'en lire plus sur les algèbres libres en algèbre universelle)
Si $\Omega:C \to Ens$ est un foncteur covariant, un objet libre sur l'ensemble $I$ est un couple $(L,b)$ où $L$ est dans $C$ et $b:I \to \Omega(L)$ est une fonction tels que pour tout autre couple $(M,a)$ où $M$ est dans $C$ et $a \in \Omega(M)^I$, il existe un unique $\varphi: L \to M$ tel que $F(\varphi) \circ b=a$. $b$ 'appelle une base indexée par $I$.
Sous ces conditions $(L,b)$ est unique à (unique) isomorphisme près.
En fait la possibilité de construire systématiquement des objets libres pour $F$ pour tout ensemble $I$ est équivalente à l'existence d'un adjoint à gauche $\Lambda: Ens \to C$ pour $\Omega$.
Cette situation est fréquente, toutes les constructions algébriques "libres" des maths en sont des cas particuliers.
De nos jours ce que veut dire "théorie des catégorie" n'est plus très précis. Par exemple exprimer catégoriquement la notion de liberté ne don E qu'une satisfaction toute psychologique ça ne dispense pas de réfléchir quand il y a un os. Par exemple complétude et liberté fo t très mauvais (ou très puissant en impliquant Tout) menage mais la catégorisation ne changera pas la compréhension du phénomène (à part risquer de faire désirer des "faux" systèmes où ça marcherait (mais au prix fort)