Définition formelle de $\mathbb K[X]$

Bonsoir,

Je suis un débutant bien maladroit, et ne possède aucune expertise dans le domaine. J'ai cependant été amené à me frotter à un travail basique sur les polynômes l'an passé, et en voulant en savoir un peu plus sur la construction "rigoureuse" de ces derniers, je suis tombé sur la vidéo suivante : Polynômes - vidéo 1

Ce ne sera peut-être pas suffisant pour des connaisseurs, mais j'ai trouvé que c'était nettement plus clair et plus propre que ce que j'avais dans ma bibliothèque. Ce petit cours contient un passage avec l'indéterminée à partir de 9 minutes, les suites presque nulles sont abordées avant. Tes questions devraient donc y trouver des éléments de réponse.

En espérant t'avoir aidé, au moins un peu...

Cordialement.

jcc

Et évidemment dans le cas précis où tu veux une seule indéterminée, tu choisis comme $Z$ un singleton.

@Math Coss : pardon pour mon imprécision, je sous-entendais "commutative" dans "algèbre"

@moduloP : Si tu sais majorer en fonction de $|X|$ le cardinal d'une $K$-algèbre (commutative ou pas; mais comme j'ai commencé avec commutative, j'y reste) engéndrée par un ensemble de taille $X$, alors :

1) la catégorie des $K$-algèbres a tous les petits produits et les égaliseurs et ils commutent avec $U$ ; donc elle a toutes lees limites, et elles commutent avec $U$ (en particulier elle est complète)

2) par la majoration de cardinal, on a une condition technique sur $U$ qui permet d'appliquer le théorème du foncteur adjoint (général) qui donne l'existence de $F$.

Remarques : -selon notre théorie fondatrice pour les catégories, on a potentiellement besoin d'un axiome du choix sur les classes pour obtenir ça, ou potentiellement d'univers de Grothendieck. Mais en fait, pour un ensemble $X$ fixé, en suivant la preuve du théorème suscité, on n'en a pas besoin: c'est pour obtenir la foncteur défini partout qu'il le faut.
- c'est "un peu de la triche" au sens où pour prouver la majoration de cardinal à laquelle je pense, il faudra sûrement passer par ses ensembles du type $\{\displaystyle\sum_{k=0}^d a_k x^k, x\in X\}$; même si formellement on n'utilise pas la notion de polynômes, on sait que moralement c'est eux qui se cachent derrière (mais après tout puisque c'est d'eux qu'on parle, c'est attendu, non ?)

Je remonte ce fil de discussion pour une petite question subsidiaire...

Si l'on considère la définition des polynômes comme l'ensemble des suites presque nulles, on pourrait être tenté de définir la multiplication des polynômes comme la multiplication usuelle de deux suites : $(u_n) \times (v_n) = (u_n \times v_n)$. D'ailleurs, si l'on munit l'ensemble des suites presque nulles à coefficients dans un anneau commutatif unitaire $A$, que je noterais pour l'instant $S(A)$, de l'addition usuelle pour les suites, de la multiplication par un scalaire usuelle pour les suites, et de la multiplication usuelle pour les suites, $(S(A),+, \cdot , \times)$ est aussi une $A$-algèbre (associative et unitaire).

Mais on ne prend pas cette multiplication-là quand on parle de polynômes. Sans passer par l'écriture habituelle des polynômes, donc du type $\displaystyle \sum_{k=0}^d a_k X^k$, qui fait intervenir l'indéterminée $X$ que je préfèrerais pouvoir définir "après coup", peut-on justifier que la multiplication "qui n'est pas celle usuelle pour les suites" est bien la plus "naturelle" pour les suites presque nulles (ie les polynômes) ? Maxtimax parlait de la notion d'algèbre libre sur un singleton, peut-être que c'est là-dedans qu'il y a la réponse ???

Un ensemble sans opération n'est pas à priori doté d'opérations naturelles. Par exemple l'ensemble des suites presque nulles de réels à le me cardinal que IR (presque nulles ou pas d'ailleurs).

Deux remarques :
1) Si on dit qu'une série (un polynôme) à coefficients dans $A$ est une fonction $f:\mathbb N \to A$ (à support fini), le produit est le produit de convolution des fonctions : $(f\star g)(n)=\sum_k f(k)g(n-k)$.
2) Exercice : définir une multiplication sur les suites à support fini d'élément de $A$ telle que la structure de $A$-algèbre obtenue par la structure standard de $A$-module et cette multiplication soit celle de l'algèbre des polynômes en $X_1,X_2,\ldots,X_n,\ldots$ à coefficients dans $A$.

Mais à un débutant on ne lui dirait pas qu'un polynôme c'est une suite presque nulle !!
Quelqu'un qui découvre les polynômes formels connait déjà les fonctions polynomiales, et il a déjà une idée de ce qu'est un polynôme; c'est comme ça qu'on lui justifierait.

Polynôme, mais fonction polynomiale.

J'en rajoute, dans le genre chiant. Ici, c'est une affaire de logique :

Ce que m'avais dit @christophe

Quel est le sujet de "avais" ?

@Dom : oui, et il a raison, mais c'est essentiellement le théorème de complétude qui se cache derrière ça ! Puisque $K[X]$ est l'algèbre libre sur un singleton, tout calcul qui y est valable est valable dans toute algèbre, donc est démontrable (complétude) à partir des axiomes de $K$-algèbre sur une variable. C'est pour ça que ça se comporte de la même manière (et ce sera vrai pour n'importe quelle théorie algébrique ! Pareil pour le groupe libre sur un, deux, $\kappa$ générateurs, l'algèbre de Boole libre sur $\kappa$ générateurs, etc. à chaque fois "l'indéterminée" se comportera exactement comme une variable libre dans une démonstration formelle)

@GBZM : je me disais bien qu'un truc clochait

@Homo Topi: tu avais des profs nuls dans cet aspect alors; s'ils ne t'ont pas expliqué ce qu'on essayait de modéliser avec ces suites presque nulles

J'essaie de voir comment tous ces objets se généralisent.

$A[X]$ est la $A$-algèbre libre sur un ensemble singleton
$A[X_1 , ... , X_n]$ est la $A$-algèbre libre sur un ensemble fini
peut-on définir une $A$-algèbre libre sur un ensemble infini dénombrable ? Si oui, c'est quoi ? Dans le sens, c'est un objet standard ?
encore plus loin : sur un ensemble infini indénombrable ?

J'ai appris que si $K$ est un corps, l'ensemble $K(X)$ des fractions rationnelles est le corps des fractions de $K[X]$. Je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas généraliser ça au cas de plusieurs variables. Du coup, avec un ensemble infini dénombrable de variables, ça marche encore ? Et avec un ensemble infini indénombrable ?

Sinon, il y a l'algèbre $AX$ des séries formelles. Là encore, je pense qu'on peut généraliser ça sans problème au cas de plusieurs variables, mais pour un ensemble infini dénombrable/indénombrable de variables ?

Dans le reste du présent message, tous les anneaux envisagés sont unitaires et $K$ désigne un anneau commutatif.
De plus on appellera $K$-algèbre un couple $(A,f)$ où $f$ est un morphisme d'anneau de $K$ dans $A$ tel que pour tous $x\in k$, $f(x)$ commute avec tous les éléments de $A$ (cette exigence permet de munir $A$ d'une structure de $K$-module pour lequel son produit est une application $K$-bilinéaire. Elle est bien sûr automatiquement vérifiée lorsque $A$ est commutatif).

Soit $E$ un ensemble. Une $K$-algèbre de polynômes indexée par $E$ est un triplet $\left( A,i,(x_p)_{p \in E}\right)$ où $(A,i)$ est une $K$-algèbre commutative et $x_p \in A$ pour tout $p$, tel que pour tout autre triplet $\left( B,j,(y_q)_{q \in E}\right)$ où $(B,j)$ est une $K$-algèbre et $y_q\in B$ pour tous $q$, il existe un unique morphisme d'anneaux $\varphi: A \to B$ tel que $\varphi \circ i = j$ et $ \varphi(x_r)=y_r$ pour tout $r$ dans $E$.

Informellement, cette définition dit qu'un anneau de polynômes est un anneau idéal d'expressions algébriques construites avec les "lettres" $(x_p)_{p \in E}$, $K$ jouant le rôle d'ensemble de coefficients. Citons deux propriétés importantes qui découlent de cette défintion.
On dira par abus de langage (lorsque le contexte ne permet pas d'ambiguïté) "$A$ est une algèbre de polynômes" au lieu de "$\left( A,i,(x_p)_{p \in E}\right)$ est une $K$-algèbre de polynômes".


1) Deux $K$-algèbres de polynômes sur un même ensemble $E$ sont toujours isomorphes.
Précisément, si $\left( A,i,(x_p)_{p \in E}\right)$ et $\left( A',i',(x'_p)_{p \in E}\right)$il existe un unique isomorphisme d'anneaux $\theta:A \to A'$ tel que $\theta \circ i = i'$ et $\theta(x_p)=x_p'$ pour tout $p\in E$.
L'existence et l'unicité d'un morphisme $\theta$ vérifiant $\theta \circ i = i'$ et $\theta(x_p)=x_p'$ pour tout $p\in E$ est garantie par la définition d'algèbre de polynômes. Reste à montrer qu'il s'agit d'un isomorphisme. Considérons également le morphisme $\tau:A' \to A$ tel que $\tau \circ i' = i$ et $\tau(x'_q)=x_q$ pour tout $q$ (puisque $A'$ est aussi une algèbre de polynômes). Alors $(\tau \circ \theta )\circ i = i$pour tout $p \in E$, $(\tau \circ \theta )(x_p) = x_p$. Or il s'avère que l'identité de $A$ vérifie aussi ces propriétés à savoir $id_A \circ i = i$ et $id_A (x_p)=x_p$ pour tout $p\in E$ et donc, par unicité d'un morphisme vérifiant ces conditions (cf définition verte), on a $\tau \circ \theta = id_A$.
On a pour les mêmes raisons ($A'$ étant une algèbre de polynômes) $\theta \circ \tau = id_{A'}$ et donc $\theta$ et $\tau$ sont des isomorphismes réciproques.

C'est ce résultat qui amène les gens à dire "L' algèbre de polynômes" au lieu de "une algèbre de polynômes": on manipule un objet essentiellement unique.

2) Si $\left( A,i,(x_p)_{p \in E}\right)$ est une $K$-algèbre de polynômes sur $E$, $i$ est injectif.
Soit $z$ l'application qui à $u \in E$ associe $0 \in K$. L'application de la définition au triplet $(K,id_K,z)$ fournit un morphisme $\psi:A \to K$ tel que $\psi \circ i = id_K$ (et $\psi(x_p)=0$ pour tout $p$ mais ça importe peu ici).
Ainsi on a $\psi \circ (a)=a$ pour tout $a\in K$ d'où l'injectivité de $i$.

Ce résultat permet de traiter $K$ comme un sous-anneau de la $K$ algèbre des polynômes sur $E$ et d'identifier systématiquement $u$ et $i(u)$ pour tout $u \in K$. On note usuellement $\alpha x_1^2+\beta x_2x_3$ (et non pas $i(\alpha) x_1^2+i(\beta) x_2x_3$).

Exercices faisables avec ce qui précède:

a) Montrer que si $\left (A,i,(x_p)_{p \in E} \right)$ est une algèbre de polynômes alors le plus petit ensemble contenant $K=i(K)$ (cf 2) et remarque précédente), tous les $x_p$ quand $p$ parcourt $E$ et qui est stable par somme et par produit, n'est autre que $A$ lui-même (ceci renforce l'idée que $A$ est un ensemble d'expression algébriques).

b) On suppose que pour tout anneau commutatif $B$ et tout $n\in \N$, $B[X_1,X_2,...,X_n]$ désigne une $B$-algèbre de polynômes sur un ensemble à $n$ éléments.
Montrer que $K[X_1,...,X_n]$ et $K[X_1][X_2]...[X_n]$ sont isomorphes ($K[X_1][X_2]...[X_i]$ désigne $K([X_1][X_2]...[X_{i_1}])[X_i]$- la définition par induction devrait être intuitable).

L'existence d'algèbres de polynômes pour tout anneau commutatif $K$ et tout ensemble d'indexation $E$ va être l'objet d'un prochain message (ou pas...). Il y a plusieurs méthodes plus ou moins absconses et bien sûr elles se valent toutes au vu du théorème 1) ci-dessus.

C'est déjà pas mal même sans les séries formelles. Il faut que je me replonge un peu dans ces histoires de groupes libres, algèbres libres etc. Toujours la même histoire, j'en ai entendu parler mais comme c'est pas strictement au programme de l'agreg, on nous en a pas dit plus que ça... si quelqu'un a un PDF que je puisse lire sur les objets libres, et qui est un peu plus détaillé que Wikipédia (je commence à me lasser de toujours trouver les choses sur Wikipédia...) je suis preneur.

@foys : non bien sûr je pense que ta présentation est importante (il ne faudrait juste pas que quelqu'un pense que ce que tu fais est spécifique aux anneaux)
(Personnellement je ne m'étais pas rendu compte de ce qu'était vraiment $k[X]$ avant d'en lire plus sur les algèbres libres en algèbre universelle)

Décidément, faut vraiment que je me mette à la théorie des catégories :-D

C'est un pdf en ligne au fait pas un livre tu le téléchargés avec google