Généralisation naïve de Artin Rees

christophe c
christophe c
dans Fondements et Logique
L'énoncé qui suit est trop beau pour être vrai. Cela dit ce n'est pas un théorème de logique affine mais la logique annelée est strictement t plus forte de toute façon. Alors avec des anneaux noetheriens....

Cependant je ne veux pas passer ded heures à en chercher une preuve si il est faux ne vous sollicite donc pour lui trouver un contre exemple. De mon téléphone.

Énoncé: da s tout anneau noetherien on a pour tous idéaux que

J inter K inclus dans (J => K) fois J

où X=> Y désigne l'ensble des à tels que aX est inclus dans Y

Merci d'avance!!
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Réponses

  • marco
    marco
    Bonjour,

    Dans l'anneau $\R[X,Y]$, on choisit $K=(Y)$, et $J=(X,Y)$, alors $J \cap K=(Y)$,
    et $J =>K=(Y)$, et $(J=>K)J=(XY,Y^2)$.
    Donc, on n'a pas $J \cap K \subset (J=>K)J$.
  • christophe c
    christophe c
    Époustouflant de rapidité !!!!! Merci! Tu viens de sauver ma matinée. J'aurais cherché à le prouver (addiction).
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  • christophe c
    christophe c
    Pas grave.

    Est-ce que quelqu'un sait s'il y a une "grosse marche" formelle à monter de Nakayama général * à Artinien Rees?

    * Pour tout anneau A et M module quotient d'un A^n et tout idéal J tel que M inclus dans JM il y a dans J un élément t de J tel que pour tout x de M: tx=x.

    t s'obtient facilement par Caylay Hamilton en prenant une matrice S qui raconte des combinaisons linéaires à coef dans J des générateurs . Comme elle agit comme l'identité sur A^n au noyau près qui transforme A^n en M et que P(S) est nul tout élément U de M vérifie P(1) U = 0 où P est le polycar de S. Prndres alors t tel que 1+(-t) = P(1)

    Pas besoin du déterminant : on peut aussi rendre inversibles les éléments de la forme 1+x avec x dans J (c'est stable par produit) faire le célèbre Nakayama-anneau-local et remultiplier par les dénominateurs utilisés quand c'est fini.

    Mais Artin Rees à l'air "un peu plus fort"
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  • christophe c
    christophe c
    Ce fil emballe pas les foules pourtant je suis sur qu'avec un preuve de 3 lignes d'Artin Rees on aurait un bel outil informatif. Les gens intéressés peuvent consulter par exemple wiki et verront que les gribouillis écrits à la rubrique "preuve" sont tout sauf probants pour le quidam de la rue.
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  • christophe c
    christophe c
    Je pense qu'il y a une hypothèse à faire sur l'idéal pour obtenir

    À inter B inclus dans (À=>B) fois À

    Mais que ça vaut le coup de la chercher. Si l'hypothèse (A^2 => B ) inclus dans À=> B suffit alors là encore on a À.R.
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  • christophe c
    christophe c
    Mon discours a peut être été frustrant pour les lecteurs je rappelle comment prouver Artin Rees dans se fatiguer:

    Je ne nomme pas l'anneau et il est noetherien

    1/ A, B étant des idéaux , prouver l'existence de n tel que A^n inter B inclus dans À fois B

    2/ Contempler la preuve et la formater à un module de type fini ou un anneau produit pour avoir le résultat légèrement plus fin de A.R.

    Pour (1) decomposer A en (e) + C et prendre un idéal (e^n)=>(B+C) en choisissant n de sorte qu'il soit maximal.

    Le reste est routine.

    Mais il serait bien d'avoir un truc encore plus pur.
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  • christophe c
    christophe c
    uis-je bête. ARTIN Rees est "évident". Bon la preuve de mon téléphone est un peu sale pardon.


    L'anneau s'appelle À

    Idéaux I,J. Supposons I générés par n générateurs e1,..en. Passer dans l'anneau produit A^n et regarder l'idéal PRINCIPAL dont le generzteur est (e1,..,en). Remplacer J par l'idéal K de A^n composé par les uplets dont la somme des coordonnées est dans J.

    Artin Rees découle immédiatement des définitions quand l'idéal I est principal, à conditions de regarder la suite croissante des idéaux I^n => J.

    Donc il vaut dans notre anneau produit A^n et il suit trivialement qu'il vaut dans la situation de départ.

    Quelqu'un peut-il bien me latexifier cette preuve? (Sinon je le ferai mais à la montagne bof bof)

    Grosse faute de ma part l'ensemble pour B n'est pas un idéal. Seul mon post précédent reste d'actualité.
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  • christophe c
    christophe c
    Par évident j'e tends bien sûr ici "formel" au sens de quelques étapes basées uniquement sur les définitions.
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  • christophe c
    christophe c
    Ça m'a demandé au moins 5-6H sans lâcher le morceau mais EUREKA j'ai réussi. Artin Rees est bien un simple cas particulier d'un théorème "pur" sur les ordres. Mais la difficulté était que je cherchais une propriété des idéaux qui impliquerait celle que Marco a cassé pour ceux là alors qu'il n'y en pas. C'est un pur phénomène ANS:

    Le théorème est : si a est fuyant et b standard alors inf(a,b) = ((a=>b) tenseur a)

    "X est fuyant" abrège "pour tout a standard si X tenseur X inclus dans a alors X inclus dans a et X est dans le standardisé des éléments qu'il dépasse".

    Je suis content !!!! (remarque l'énoncé et la définition de fuyant rendent routine de trouver la preuve). Dans le cas des anneaux noetheriens si n est supergrand J^n est évidemment fuyant. D'où Artin Rees
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  • christophe c
    christophe c
    L'hypothèse du théorème est bien sûr que l'ordre est noetherien.
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  • christophe c
    christophe c
    Pour information j'ai retrouvé par google un post où je recopias en mode béotien une preuve de afk de Artin Rees:

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,692156,692828#msg-692828
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