Somme indicatrice dénominateur

Les $A_i$ sont des sous-ensemble fermés et bornés de $ \mathbb{R}^2 $ (et disjoints) . $f$ et $g$ sont définies sur un domaine $\Omega \in \mathbb{R}^2 $ . En plus $\cup_{i\in I}A_i = \Omega$.

Je ne pense pas que l'origine du problème soit trop importante ici ; mais je le précise tout de même.

$f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur un borné $ \Omega $ de $\mathbb{R}^2$, et vérifiant le système d'EDP

\begin{equation}
(1)\left \{
\begin{aligned}
\dfrac{\partial\,f}{\partial t}(t,x)&= -\dfrac{f(t,x) g(t,x) }{f(t,x) + g(t,x) }+ \Delta f(t,x) \\
\dfrac{\partial\,g}{\partial t}(t,x)&= \dfrac{f(t,x) g(t,x) }{f(t,x) + g(t,x) }- g(t,x)+\Delta g(t,x)\\
x\in \Omega
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
avec conditions de Neynman au bord.
On considère un maillage du domaine $ \Omega $ ( de pas $ h $, 0< h< 1 ) , les cellules de ce maillage sont des petits carrés $ A_i$ centrés en les points $ x_i$ de la grille.
Les sytème discrétisé correspondant au système précedent est alors donné par
\begin{equation}
(2) \left\{
\begin{aligned}
\frac{d f_h}{dt}(t,x_i) &= -\dfrac{ f_h(t,x_i)g_h(t,x_i)}{f_h(t,x_i)+g_h(t,x_i)}+\Delta_h f_h(t,x_i) \\
\frac{d g_h}{dt}(t,x_i) & = \dfrac{f_h(t,x_i)g_h(t,x_i)}{f_h(t,x_i)+g_h(t,x_i)}-g_h(t,x_i) +\Delta_h g_h(t,x_i)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$\Delta_h$ est le Laplacien discret.
( $f_h $ et $g_h$ sont donc constants sur les $A_i $ et ont pour valeurs $f_h(t,x_i) $ , $g(t,x_i) $ sur $A_i$ ).
Par suite , je pose
$$\tilde{f}(t,x)=\sum_{i\in I} f_h(t,x_i)\mathbf{1}_{A_i}(x) \; \; et \; \; \tilde{g}(t,x)=\sum_{i\in I} g_h(t,x_i)\mathbf{1}_{A_i}(x)\; \; pour\; x\,\in \,\Omega \, $$
Je veux montrer que le systéme vérifié par $ \tilde{f} $ et $\tilde{g}$ converge (dans $L^2$ ou $L^{\infty} $) vers le système (1) quand quand le pas $ h$ de la grille tend vers 0.
Pour cela j'ai besoin de savoir que
$$ \sum_{i\in I} \dfrac{f_h(t,x_i)g_h(t,x_i)}{f_h(t,x_i)+g_h(t,x_i)}\mathbf{1}_{A_i}(x)= \dfrac{\tilde{f}(t,x)\tilde{g}(t,x)}{\tilde{f}(t,x)+\tilde{g}(t,x)}$$
pour pouvoir écrire
\begin{equation}
(3) \left\{
\begin{aligned}
\frac{d \tilde{f}}{dt}(t,x) &= -\dfrac{ \tilde{f}(t,x)\tilde{g}(t,x}{\tilde{f}(t,x)+\tilde{g}(t,x)}+\Delta \tilde{f}(t,x) \\
\frac{d \tilde{g}}{dt}(t,x) & = \dfrac{\tilde{f}(t,x)\tilde{g}(t,x)}{\tilde{f}(t,x)+\tilde{g}(t,x)}-\tilde{g}(t,x) +\Delta\tilde{g}(t,x)
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
( en fait on multiplie les équations du systèmes (2) par $ \mathbf{1}_{A_i}(x)$ puis prendre la somme sur tout les noeuds de la grille )