Relation symétrique et antisymétrique

Bonjour,

Attention aussi au vocabulaire qui n'est pas standard. C'est mieux d'employer les termes que tout le monde utilise, sauf si tu le précises de façon claire. Tu emploies le mot relation pour deux choses différentes :

"dans l'une [des deux relations], touteS leS relationS ont leur reciproque etc."

Il vaut mieux dire : "dans l'une, tous les couples en relation ont leur symétrique etc."
ou encore "tous les couples appartenant à la relation etc."

Le terme symétrique semble d'ailleurs plus adapté que réciproque pour qualifier $(a,b)$ par rapport à $(b,a)$.

Pour le coup on peut parler de réciproque d'une relation, même si ça n'est pas très courant je crois, mais tout le monde comprendra que [$R$ est la réciproque de $R'$]veut dire la même chose que [tout couple $R$ si et seulement si son symétrique appartient à $R'$]

Une fois qu'on sait bien de quoi on parle, les choses s'écrivent précisément et sont sans ambiguïtés. Dis-nous quand tu auras trouvé;)

@tuta : bien vu : effectivement une relation binaire sur $A$ qui est symétrique et antisymétrique ne peut être que l'égalité sur $A$ (c'est à dire la diagonale de $A\times A$ )
Par contre je n'ai pas très bien compris ce que tu ecris

celle ci ne s’applique que lorsque dans le couple (a,b), a=/=b. Donc si a = b la relation devient l’égalité

car j'ai l'impression que tu mélanges du langage courant au langage maths, ce qui n'est pas trop grave, s'il n'y a pas d'ambiguïté, mais outre que tu n'as pas défini ton symbole a=/=b, je ne comprends pas "Donc si a=b, la relation devient l'égalité"

Peux-tu , même si tu as trouvé la réponse, donner une démonstration rigoureuse de :

"Si $R\subset A\times A $ est symétrique et anti symétrique, alors pour tout $(a,b)\in A\times A$, $(a,b)\in R\Leftrightarrow a=b$


ça m'aidera à répondre à la partie de ton dernier message qui m'est adressée, car je ne suis pas certain qu'on se soit compris... En particulier, quand tu parles de relations que ce soit dans ton premier post ou dans ton dernier, parles-tu de relations sur disons un ensemble $A$ ( une relation binaire sur $A$ est, par définition, INCLUSE dans $A\times A$) ou bien parles-tu de couples en relation (c'est à dire les éléments qui APPARTIENNENT à une relation donnée). Si ce que tu dis dans le premier post est coherent il semble que relations signifie couple en relation (appartenant à la relation qui est à la fois antisym et sym) et si tu as bien compris la nuance que j'ai pointée et que je décris encore ici, l'emploi de "relations" dans le dernier post, est bien relatif (si j'ose dire) cette fois à une relation (incluse dans l'ensemble des couples $(a,b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$, qu'on note $A\times A$), mais tu emploies encore le terme au pluriel ce qui me fait suspecter que la confusion persiste peut-être...

Peut-être que Queysanne lui-même parle de relations pour dire couples en relation, ce qu expliquerait que tu en parles et rendrait peut-être inutile ce que je te dis, en tous cas, pour être fixé, et si tu as le temps ou l'envie, je t'encourage à écrire une démonstration rigoureuse de

Si $R\subset A\times A$ est symétrique et anti symétrique, alors pour tout $(a,b)\in A\times A$, $(a,b)\in R\Leftrightarrow a=b$ "

En plus, même si tu as compris que sym et anti sym équivaut à =, ça sera un bon exercice très profitable, et on pourra te dire si tu te "trompes d'étage" entre appartenir et être inclus, ou tout autre erreur, s'il y en a

Bon courage, et n'hésite pas à faire ce petit exo simple et formateur (savoir ecrire des demos precises, même si elles sont simples, est obligatoire pour faire des maths "universitaires", c'est à dire e que les matheux appellent des maths)

Bonjour,

J'ai essayé de faire la petite démonstration proposée par lesmathspointclaires ci-dessus.

Pour l'implication de la gauche vers la droite, je n'ai pas eu de problème.

Mais pour démontrer l'implication de la droite vers la gauche, il me semble qu'il faut rajouter que R est réflexive.

Merci par avance pour vos réponses,

Didier

D'accord!
Merci beaucoup Maxtimax,