Nommer un objet en théorie des ensembles

AlexSco · August 2018

Bonjour,

Si je comprends bien, lorsque l'on voit la théorie des ensemble comme une théorie en logique premier ordre, on ne dispose que du symbole d'appartenance et de l'égalité. Mais dans des développements mathématiques "informels", on utilise constamment des symboles qui font référence à des objets dont on a établi l'existence préalablement. Par exemple, le nombre 42, l'ensemble vide, l'ensemble des réels etc...

Comment traduirait-on en "logique pure" des propositions qui font référence à ces objets ? du style, "pour tout entier n, n + 0 = n". On fait ici référence à l'entier 0, à la fonction "+", et à l'ensemble N.

Maxtimax · August 2018

Il y a différentes manières de faire : tu peux dire "il existe $+,0,\N$ qui vérifient [insérer la définition de ces objets] et tels que [insérer la propriété dont on veut parler" ou inversement "pour tous $+,0,\N$ qui vérifient [insérer la définition de ces objets] , on a [insérer la propriété dont on veut parler".

Si les définitions en question sont bien des définitions (i.e. caractérisent un unique objet qui existe) alors ces deux versions seront équivalentes.

Un autre point de vue (mais qui sort de la théorie, dans la métathéorie) est de dire qu'une définition (au même sens que juste au-dessus) change le langage de la théorie en ajoutant un symbole de constante, de fonction, de relation; et que la nouvelle théorie obtenue est conservative (en fait même plus) au-dessus de la théorie initiale et que donc c'est pas grave

Nommer un objet en théorie des ensembles

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