Exercice Bourbaki

Bonjour,
Je poste ce message ici car c'est à propos d'un exo du Bourbaki théorie des ensembles (E III.74, 22d)
J'ai un gros doute sur la question d) de cette exercice.

Les notations utilisées sont :
$[x,\rightarrow[$ = les majorants de $x$
$R(E)$ = les ouverts réguliers de $E$

Voici l'énoncé introductif :

Soit $E$ un ensemble ordonné. On dit qu'une partie $U$ de $E$ est un ensemble ouvert si pour tout $x\in U$, $U$ contient l'intervalle $[x,\rightarrow[$. On dit qu'un ensemble ouvert $U$ est régulier s'il n'existe aucun ensemble ouvert $V\supset U$, distinct de $U$, tel que $U$ soit cofinal dans $V$.

et voici la question d) :
Si $E_1$ et $E_2$ sont deux ensembles ordonnés, tout ensemble ouvert dans $E_1\times E_2$ est égal à un produit $U_1\times U_2$, où $U_i$ est ouvert dans $E_i$ pour $i=1,2$ ; l'ensemble $R(E_1\times E_2)$ est isomorphe à $R(E_1)\times R(E_2)$.

Ma question est la suivante : je veux bien qu'un ouvert (tel que défini ci-dessus) soit une réunion d'ensembles de type $U_1\times U_2$ mais peut-il être un produit ? (a priori contre-exemple dans $\mathbb R^2$ : l'ensemble des $(x,y)$ tels que $x\geq 0$ et $y\geq 0$ mais dont on aurait enlevé le triangle ABC avec $A=(1,0)$, $B=(0,0)$ et $C=(0,1)$)

Merci d'avance pour vos lumières !