Exemples de principe de minimum

Bonjour,

Tu peux remplacer une récurrence par ce principe.

Par exemple, pour tout $n$ entier, $P(n): n+1\geq 1.$
On suppose qu’il existe un plus petit entier $m$ tel que $P(m)$ est faux.
On a $P(0):1\geq 1$, qui est vrai.
Donc $m\neq 0$,
Donc $m\geq 1$,
Donc $m-1\geq 0$ est un entier, et comme $m-1< m$, on a $P(m-1)$ vrai d'après ce qu’on a supposé.
On a donc $P(m-1): m\geq 1$ vrai et donc $m+1\geq 2\geq 1$ : c’est à dire $P(m)$ vrai. Contradiction.
Donc pour tout $n$ entier, $P(n).$