Exercices sur les quantificateurs

Tu as sûrement traduit "bornée" au lieu de "majorée", le «2.».

Je pense qu'on peut écrire : Soit $f : \mathbb R \to \mathbb R$, ou alors mettre plus généralement, si cela suffit $E \to F$ en préambule.
Aussi, «$\exists M \in$» n'est pas dans les possibilités si j'ai bien ccompris. Mais on peut certainement écrie $\exists M \, M \in \mathbb R$. Ou bien coder l'appartenance par une "propriété P". Pour moi, il faut dire qui est $x$ mais je peux me tromper...

Salut Gebrane, très bonne idée !

Je crois qu'il faut préciser les règles : celles du fil original.

Je disais de mettre $f : E \to F$ dans l'énoncé, pas dans la quantification.
Les ":", que sont-ils ?

Mais je questionne davantage que je critique.

Ok.
Je voyais les ":" comme séparateur de mon côté...
J'ai tenté une réponse sur l'autre fil mais à part un message sibyllin...

Dis-nous @GaBuZoMeu, les écritures quantifiées utilisées dès la L1, que sont-elles ?

Je ne comprends pas ta question, Dom.

Si on veut jouer à un jeu, il faut fixer les règles.

Je propose une façon de fixer les règles sérieusement.

1°) On a un langage : des variables $x,y,z,\ldots$, des symboles fonctionnels (à un argument) $f,g,\ldots$ et des symboles de relations : $=$ et $\leq$.

2°) On construit les termes du langage de la manière suivante :
- une variable est un terme
- si $t$ est un terme et $f$ un symbole fonctionnel, $f(t)$ est un terme.

3°) Les formules atomiques du langage sont les $t=u$ et $t\leq u$, où $t$ et $u$ sont des termes.

4°) On construit les formules du langage ainsi :
- une formule atomique est une formule,
- si $A$ et $B$ sont des formules, alors $A \text{ et } B$, $A\text{ ou }B$, $A \Rightarrow B$, $\text{non } A$ sont des formules (on peut si l'on préfère utiliser $\wedge$, $\vee$ et $\neg$),
- si $A$ est une formule et $x$ une variable $\exists x\ A$ et $\forall x\ A$ sont des formules (les occurrences de $x$ dans $A$ sont dites occurrences liées dans $\exists x\ A$ et $\forall x\ A$).
Un énoncé est une formule où toutes les occurrences des variables sont liées.

On peut s'autoriser des abréviations : $s<t$ pour $\text{non } t\leq s$, $s\neq t$ pour $\text{non } s = t$.

On utilise des parenthèses pour que l'ordre des opérations sur les formules ne soit pas ambigu.

On interprète ensuite les formules dans $\mathbb R$ de la manière standard que je ne détaille pas, en choisissant des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ pour interpréter les symboles fonctionnels. En particulier on sait alors donner une valeur de vérité "vrai" ou "faux" à tout énoncé.

La question 2 est alors : écrire un énoncé avec le symbole fonctionnel $f$ tel que cet énoncé devient vrai si et seulement si la fonction choisie pour interpréter le symbole fonctionnel $f$ est bornée.
On s'aperçoit alors que la question 11 est un intrus dans la liste.

GBZM : Rien n'interdit d'ajouter un symbole relationnel d'arité $1$, $\N$

Au temps pour moi, j'ai lu trop vite et mal.

Gebrane : tu as mis des espacements " \quad " donc ça ne va pas :-D

Pour la 1) Gebrane, c'est la définition donnée en L1. Cela me va très bien.
Mais avec les règles posées, ce n'est pas syntaxiquement juste.
Par exemple ce doit être de la forme $\exists M P$ où $P$ est une formule.

Ça dépend des règles avec lesquelles tu joues. Si tu joues avec les règles que j'ai posées ici, ça ne répond pas aux règles de construction des formules. Une machine programmée pour reconnaître les suites de symboles correctement formées suivant les règles que j'ai données rejettera ta suite de symboles ; ce qu'une machine peut faire pour analyser une suite aussi courte de symboles, tu peux aussi le faire, n'est-ce pas ?
Après, on peut accepter dans les règles du jeu les quantificateurs bornés $\exists x \in \mathbb R$ etc.

L'énoncé $\exists x\ \forall y\ f(y)\leq x$ est formé suivant les règles que j'ai données et une fonction qui interprète le symbole fonctionnel $f$ est majorée si et seulement si l'énoncé est vrai pour cette interprétation.
Encore une fois, tu n'es pas obligé de jouer avec mes règles, qui sont les règles d'un langage du premier ordre formalisé.
La phrase "Il existe un réel $x$ tel que, pour tout réel $y$, $f(y)$ est inférieur ou égal à $x$" est une traduction en termes de quantificateurs de l'expression "$f$ est majorée".

Non. Vu qu'on ne considère dans l'interprétation des formules que des structures où l'univers est $\mathbb R$ et $\leq$ est interprété comme l'ordre usuel sur $\mathbb R$. (Une structure pour un langage du 1er ordre, c'est un ensemble $U$ ("l'univers") et des interprétations pour les symboles fonctionnels et relationnel - par exemple l'interprétation d'un symbole relationnel binaire est une relation binaire sur $U$, etc.)

Maintenant, on peut aussi interpréter les formules dans une structure où l'univers est $\mathbb N$ et où $\leq$ est interprété comme la relation de divisibilité, si ça nous chante.

Le caractère archimédien ne peut pas vraiment s'exprimer si on n'a rien pour parler des entiers. On peut ajouter un symbole fonctionnel $\lceil \rceil$ si on veut, ou encore un symbole relationnel $\N$

La 11bis dit simplement que f ne prend que des valeurs entières, par exemple f est la fonction nulle.

Cordialement.

Exact !
Ceci dit, il est sans doute plus naturel ;-) d'introduire un symbole de relation unaire qui s'interprète par la propriété "être entier naturel" dans $\mathbb R$. Et rien n'empêche de noter "$\cdot\in \mathbb N$" ce symbole de relation unaire. Si l'on y réfléchit d'ailleurs, ça correspond bien à ce qu'on a en tête dans ce contexte : être entier naturel, c'est une propriété vérifiée par certains réels, ce n'est pas appartenir à telle ou telle réalisation de l'ensemble des entiers naturels dans ZF.

Minuscules remarques. Pour exprimer que $f$ prend toutes les valeurs dans $\N$ au lieu de $\Z$, il n'y a qu'à ajouter un carré : $\forall y\in\R,\ \exists x\in\R,\ f(x)=\lceil y\rceil^2$.

Merci à Dom pour l'idée de comparer « $\forall x,\ \exists y,\ f(y)=\lceil x\rceil$ » et « $\forall x,\ \exists y,\ f(x)=\lceil y\rceil$ ».
Dans le même genre, on peut interpréter « $\forall x,\ \exists y,\ f(x)=f(y)$ » et « $\exists y,\ \forall x,\ f(x)=f(y)$ » ; et puis tant qu'on y est : « $\forall x,\ \forall y,\ f(x)=f(y)$ » et « $\exists x,\ \exists y,\ f(x)=f(y)$ ».

Rappel l'usage est de ne pas mettre de virgules car "forall x P" abrège "forall x (P)" ce qui est mal rendu par "l'esprit-virgule" :-D

Comme ça, ça va puisqu'on balaye quand même tous les entiers, non ?

Ha oui, c'est fâcheux. Je pensais à autre chose et j'en ai oublié l'essentiel...

Faut mettre \, (:P)