Exercices sur les quantificateurs
Bonjour,
Quelle est votre réponse ! . Dans la quantification, il est interdit d'utiliser les "virgules " " tel que" "et" "ou"
Vous pouvez utiliser les parenthèses lorsque cela est nécessaire mais avec modération.
Merci d'avance pour votre participation .
Je salue Dom ;-)
[ Voir les règles là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1695154,1695216#msg-1695216 AD]
Quelle est votre réponse ! . Dans la quantification, il est interdit d'utiliser les "virgules " " tel que" "et" "ou"
Vous pouvez utiliser les parenthèses lorsque cela est nécessaire mais avec modération.
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Le 😄 Farceur
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Réponses
Je m'y essaie sans avoir rien appris en logique.
1. $f$ est majorée
J'écris :
$\displaystyle \exists M:[\forall x: |f(x)| \leq M]$
Je ne sais pas comment écrire que $f$ est une fonction, que $x$ est un réel, que $M$ est un réel. Si j'écris :
$\displaystyle \exists M \in \R:[\forall x\in \R: |f(x)| \leq M]$ il me manque toujours à écrire ce qu'est $f.$
Je pense qu'on peut écrire : Soit $f : \mathbb R \to \mathbb R$, ou alors mettre plus généralement, si cela suffit $E \to F$ en préambule.
Aussi, «$\exists M \in$» n'est pas dans les possibilités si j'ai bien ccompris. Mais on peut certainement écrie $\exists M \, M \in \mathbb R$. Ou bien coder l'appartenance par une "propriété P". Pour moi, il faut dire qui est $x$ mais je peux me tromper...
Salut Gebrane, très bonne idée !
Je crois qu'il faut préciser les règles : celles du fil original.
Donc pour le 2. $f$ est bornée. Voici mais c'est vraiment louche :
$\displaystyle (f: \R \to\R) \exists M \,M\in \R:[\forall x \,x\in\R: |f(x)| \leq M]$
Les ":", que sont-ils ?
Mais je questionne davantage que je critique.
Mais je ne sais pas écrire un 'énoncé.' Si je peux l'écrire en français, alors pourquoi s'embêter avec les quantificateurs pour le reste ?
Le $:$ dans mon esprit c'est parce que la synthaxe est $\forall x: P(x)$ ou $\exists x:P(x)$... du moins c'est ce que j'ai lu dans d'autres messages du forum. Sinon, on écrit sans le $:$
$f$ fonction de $\R$ dans $\R$ bornée devient
$\displaystyle f:\R \to \R\, \exists M\,M\in \R \,\forall x\,x\in \R\,|f(x)|\leq M$
J'ai toujours le $:$ pour définir la fonction. J'attends de voir d'autres réponses.
Je voyais les ":" comme séparateur de mon côté...
J'ai tenté une réponse sur l'autre fil mais à part un message sibyllin...
Quant à "$f$ est une fonction $\R\to \R$" je ne pense pas que l'énoncé demande d'écrire ça; ça n'a pas l'aor d'être son but...
Si on veut jouer à un jeu, il faut fixer les règles.
Je propose une façon de fixer les règles sérieusement.
1°) On a un langage : des variables $x,y,z,\ldots$, des symboles fonctionnels (à un argument) $f,g,\ldots$ et des symboles de relations : $=$ et $\leq$.
2°) On construit les termes du langage de la manière suivante :
- une variable est un terme
- si $t$ est un terme et $f$ un symbole fonctionnel, $f(t)$ est un terme.
3°) Les formules atomiques du langage sont les $t=u$ et $t\leq u$, où $t$ et $u$ sont des termes.
4°) On construit les formules du langage ainsi :
- une formule atomique est une formule,
- si $A$ et $B$ sont des formules, alors $A \text{ et } B$, $A\text{ ou }B$, $A \Rightarrow B$, $\text{non } A$ sont des formules (on peut si l'on préfère utiliser $\wedge$, $\vee$ et $\neg$),
- si $A$ est une formule et $x$ une variable $\exists x\ A$ et $\forall x\ A$ sont des formules (les occurrences de $x$ dans $A$ sont dites occurrences liées dans $\exists x\ A$ et $\forall x\ A$).
Un énoncé est une formule où toutes les occurrences des variables sont liées.
On peut s'autoriser des abréviations : $s<t$ pour $\text{non } t\leq s$, $s\neq t$ pour $\text{non } s = t$.
On utilise des parenthèses pour que l'ordre des opérations sur les formules ne soit pas ambigu.
On interprète ensuite les formules dans $\mathbb R$ de la manière standard que je ne détaille pas, en choisissant des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ pour interpréter les symboles fonctionnels. En particulier on sait alors donner une valeur de vérité "vrai" ou "faux" à tout énoncé.
La question 2 est alors : écrire un énoncé avec le symbole fonctionnel $f$ tel que cet énoncé devient vrai si et seulement si la fonction choisie pour interpréter le symbole fonctionnel $f$ est bornée.
On s'aperçoit alors que la question 11 est un intrus dans la liste.
Ma question était celle dont la réponse a été donnée par Maxtimax.
En gros, quand on débarque en MPSI ou en L1 on ne décortique pas tout ça.
On introduit les deux quantificateurs mais on ne met pas ces règles "drastiques" du langage.
Bien entendu, il y a des règles, mais j'ai l'impression qu'elles sont implicites.
L'intrus $11$ n'est intrus qu'à cause de $\mathbb N$ j'imagine...?
Il faudrait aussi mettre dans le langage la constante $0$, les symboles fonctionnels $-$ (unaire) et $+$ (binaire) (avec interprétation fixée dans $\mathbb R$).
@Dom : quelle coquille sur la négation de $\leq$ ?
$\exists M\in \R\quad \forall x\in\R\quad f(x)\leq M$
des critiques?
Ta critique est bien reçue et enregistrée :-D
Mais avec les règles posées, ce n'est pas syntaxiquement juste.
Par exemple ce doit être de la forme $\exists M P$ où $P$ est une formule.
Après, on peut accepter dans les règles du jeu les quantificateurs bornés $\exists x \in \mathbb R$ etc.
Encore une fois, tu n'es pas obligé de jouer avec mes règles, qui sont les règles d'un langage du premier ordre formalisé.
La phrase "Il existe un réel $x$ tel que, pour tout réel $y$, $f(y)$ est inférieur ou égal à $x$" est une traduction en termes de quantificateurs de l'expression "$f$ est majorée".
C'est ce qui me gênait (dans l'autre fil !).
Maintenant, on peut aussi interpréter les formules dans une structure où l'univers est $\mathbb N$ et où $\leq$ est interprété comme la relation de divisibilité, si ça nous chante.
$\exists M \forall x \forall y [ (x,y) \in f \Rightarrow y\leq M] $
(c'est équivalent mais si je voulais traduire à la lettre ça donnerait un truc plus long)
6) Puisque la traduction suivante est incorrecte $\exists T \in \R^*\quad \forall x\in \R \quad f(x+a) = f(x)$ Il semble aussi que la traduction $\exists T \, \forall x \; f(x+a) = f(x)$ est incomplète
Non ?
et pour la 11 tu mets quoi à la place de $\forall n\in \N\, \exists x\in\R\, \, f(x) = n$?
Edit : d'ailleurs, on a dit qu'on admettait les propriétés de $\mathbb R$ donc aussi son caractère archimédien.
Et puis, $\mathbb R$ ne s'est pas fait en un jour, il vient de $\mathbb N$, non ?
$\forall x \, \exists y \, f(y)=\lceil x \rceil \qquad$ Edit : en fait ce n'est pas tout à fait l'assertion souhaitée, je laisser chercher l'erreur...
Question subsidiaire : que signifie l'assertion suivante ?
11bis : $\forall x \, \exists y \, f(x)=\lceil y \rceil$
Cordialement.
Ça dit : $f$ atteint toutes les valeurs de $\mathbb Z$ (c'est donc une condition suffisante pour le 11 mais pas nécessaire)
J'ai corrigé ma coquille cependant...8-) "je laisser chercher", ça fait mauvais genre...
@Gérard0
Yes !
Ceci dit, il est sans doute plus naturel ;-) d'introduire un symbole de relation unaire qui s'interprète par la propriété "être entier naturel" dans $\mathbb R$. Et rien n'empêche de noter "$\cdot\in \mathbb N$" ce symbole de relation unaire. Si l'on y réfléchit d'ailleurs, ça correspond bien à ce qu'on a en tête dans ce contexte : être entier naturel, c'est une propriété vérifiée par certains réels, ce n'est pas appartenir à telle ou telle réalisation de l'ensemble des entiers naturels dans ZF.
(1) Une qui humaine , celle choisie ici , où les interlocuteurs s'entendent.
(2) Une autre qui est "responsable" (dans le sens sécurisé d'un constructeur de téléphérique) où le plus possible doit être irréfutablement prouvé.
Le point clé ici N'EST pas de justifier qu'une phrase est bien formée (en suivant par exemple la définition de GBZM) mais de justifier à un quidam qu'une phrase N'EST PAS bien formée. Car cette affirmation est d'u.e forme universelle (aucun chemin respectant les règles ne la construit)
Le seul autre choix "scientifiquement responsable" est d'infliger la charge totale de la preuve de bonne formation au quidam.
Le sujet est ENTIÈREMENT ACADEMIQIE et comme dans l'autre fil je rappelle le titre de chapitre:
<< Grammaires algébriques , langages algébriques >>
Je pense que les docs du net doivent être généreux en cours et petits exercices.
Merci à Dom pour l'idée de comparer « $\forall x,\ \exists y,\ f(y)=\lceil x\rceil$ » et « $\forall x,\ \exists y,\ f(x)=\lceil y\rceil$ ».
Dans le même genre, on peut interpréter « $\forall x,\ \exists y,\ f(x)=f(y)$ » et « $\exists y,\ \forall x,\ f(x)=f(y)$ » ; et puis tant qu'on y est : « $\forall x,\ \forall y,\ f(x)=f(y)$ » et « $\exists x,\ \exists y,\ f(x)=f(y)$ ».
Oui, j'ai aussi regardé toutes ces variations ;-)
@Maxtimax : en effet !