Récurrence descendante

Salut, je m'excuse pour ma réponse tardive je propose ma solution pour l'exo.

a- Soit $m \in N $ notons $P(m)$ la propriété: << $2^m \in A $ >>
- On a $1 \in A$ donc $P(0)$ est vérifiée
- Soit $m \in N$ supposons que $P(m)$ est vérifiée et montrons que $P(m+1)$ est vérifiée
On sait que $2^m \in A $ alors d'après $i)$ $2^m \times 2 \in A $ c'est à dire $2^{'m+1} \in A $ par conséquent $P(m+1)$ est vérifiée
Ainsi selon le principe de récurrence simple on a:
($ \forall m \in N$): $2^{m} \in A$
b- Comme $A$ est une partie de $\mathbb{N^*}$ alors: $A \subset \mathbb{N^*} $
Montrons que: $ \mathbb{N^*} \subset A$
Il suffit de démontrer que:
($\forall k \in \mathbb{N^*}$)($\forall m \in \mathbb{N}$) tel que: $k \leq 2^m$,$k \in A$
-Si $n=2^m$ alors $n \in A$
-D'aprés $ii)$ on a ($\forall n \in N$): si $n+1 \in A$ alors $n \in A$ donc d'après le principe de récurrence descendante on a:
($\forall k \in \mathbb{N^*}$)($\forall m \in \mathbb{N}$) tel que: $k \leq 2^m$,$k \in A$ par suite: $ \mathbb{N^*} \subset A$
et finalement $A = \mathbb{N^*}$

Merci ltav pour ta réponse et tes conseils je comprends ta démonstration jusqu'au le passage où tu évoques on conclut par la propriété (*)

Merci pour votre réponse j'ai essayé de rédiger l'exo à ma manière veuillez signaler toute erreur ou imperfection qui vous semble je serais très reconnaissant.

$b)$ Puisque $A$ est une partie de $\mathbb{N^*}$ donc: $A \subset \mathbb{N^*}$
Établissons que : $ \mathbb{N^*} \subset A$
-On commence par démontrer que:
($\forall k \in \mathbb{N^*}$)($\exists m \in \mathbb{N}$): $k \leq 2^m$
On procède par récurrence simple.Soit $k \in \mathbb{N^*}$ , notons $P(k)$ la propriété suivante:
<<Il existe un entier naturel m tel que $k \leq 2^m$>>
On a $P(1)$ est vérifiée car il suffit de prendre $m=0$
Supposons que $P(k)$ pour un certain rang $k \in \mathbb{N^*}$ et démontrons $P(k+1)$.
On a: ($\exists m \in \mathbb{N}$): $k \leq 2^m$
donc: ($\exists m \in \mathbb{N}$): $2k \leq 2^{m+1}$
et comme $k+1 \leq 2k$ (car $k \in \mathbb{N^*}$)
alors ($\exists a \in \mathbb{N}$ ): $k+1 \leq 2^a $ avec $a=m+1$
par conséquent $P(k+1)$ est vérifiée.
Ainsi selon le principe de récurrence simple:
($\forall k \in \mathbb{N^*}$)($\exists m \in \mathbb{N}$): $k \leq 2^m$
-Montrons maintenant que: ($\forall k \in \mathbb{N^*}$)($\forall m \in \mathbb{N}$): $K \in [\![1;2^m]\!] \implies K \in A$
Soit $m \in \mathbb{N}$ et $K \in \mathbb{N^*}$ tel que: $K \in [\![1;2^m]\!]$
notons $Q(k)$ la propriété: <<$k \in A$>>
D'après la question $a)$ on $2^m \in A$ alors: $Q(2^m)$ est vérifiée
Soit $K \in [\![1;2^m]\!]$ supposons que $Q(k)$ est vérifiée c'est-à-dire $k \in A$ donc selon la propriété $ii)$ on $(k-1) \in A$ d'ou $Q(k-1)$ est vérifiée.
Ainsi selon le principe de récurrence descendante on a: ($\forall k \in \mathbb{N^*}$)($\forall m \in \mathbb{N}$): $K \in [\![1;2^m]\!] \implies K \in A$ et puisque ($\forall k \in \mathbb{N^*}$)($\exists m \in \mathbb{N}$): $k \leq 2^m$ alors:
($\forall k \in \mathbb{N^*}$): $k \in A$
c'est-à-dire:$ \mathbb{N^*} \subset A$
Finalement: $A=\mathbb{N^*}$

Merci beaucoup ltav