Partie pleine et partie vide
Bonjour, nous savons que l'ensemble vide est un sous-ensemble de tout autre ensemble, et de même pour la partie pleine de tout ensemble.
Néanmoins, j'aperçois souvent ceci : A = {1;2;3}. Mais dans cet ensemble, où est l'ensemble vide et la partie pleine ? En effet ici je ne vois que P(A) = { {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}} (je sais que cela est faux qu'il manque l'ensemble vide et la partie pleine mais c'est pour être plus explicite).
J'ai peut-être une réponse à cela mais je ne sais pas si c'est la bonne, je vous demande donc s'il vous plaît de me dire si ce que je pense est juste ou non. Je pense que ces ensembles ne sont pas montrés car ils appartient à TOUS les ensembles, donc qu'ils n'est pas nécessaire de le préciser pour chaque ensemble. Est-ce que mon interprétation est bonne ? Merci !
Néanmoins, j'aperçois souvent ceci : A = {1;2;3}. Mais dans cet ensemble, où est l'ensemble vide et la partie pleine ? En effet ici je ne vois que P(A) = { {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}} (je sais que cela est faux qu'il manque l'ensemble vide et la partie pleine mais c'est pour être plus explicite).
J'ai peut-être une réponse à cela mais je ne sais pas si c'est la bonne, je vous demande donc s'il vous plaît de me dire si ce que je pense est juste ou non. Je pense que ces ensembles ne sont pas montrés car ils appartient à TOUS les ensembles, donc qu'ils n'est pas nécessaire de le préciser pour chaque ensemble. Est-ce que mon interprétation est bonne ? Merci !
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Réponses
Mais pourquoi ne vois-tu pas $A$ dans $\mathcal P (A) $ ?
Bonsoir, merci de ta réponse, car A n'est pas écrit comme A = {1;2;3, {1;2;3}}.
Que veux-tu dire par classique ? Que mon interprétation est bonne ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Que ce sont des "questions classiques".
Pour la partie pleine, cela ne m'a jamais (?) posé de problème. C'est une partie d'elle-même.
En fait, je vois ça comme quand on demande un nombre plus petit que $3$. Certains s'interrogent, et c'est naturel, sur le fait qu'on ait le droit, ou non, à $3$. Ici, c'est un peu le même raisonnement sur la relation "inclusion".
Sur le vide, je laisse répondre ceux qui n'ont pas de problème :-D
L'ensemble vide est un sous-ensemble de tous les ensembles, or lorsqu'on définit un ensemble on le définit par ses éléments, par exemple l'ensemble A = {1;2;8;9}, or nous venons de dire que l'ensemble vide est un sous-ensemble de A alors .. ou est passé l'ensemble vide dans A ? Parce que sinon nous devrons expliciter l'ensemble A comme ceci A = {1;2;8;9,{}}. Et j'ai de ce fait pensé que nous ne prenons pas la peine d'expliciter dans l'écriture en extension l'ensemble vide car celui ci est présent dans tous les ensembles et que de ce fait il n'était d'aucune utilité de préciser que l'ensemble vide appartenait à A.
Ou sinon peut-être que vu que nous caractérisons un ensemble uniquement par ses éléments, nous ne pouvons pas y mettre un sous-ensemble (donc l'ensemble vide) HORMIS si cet ensemble est l'ensemble des parties d'un ensemble auquel cas l'ensemble vide serait un éléments et non plus un sous-ensemble de cet ensemble.
L’ensemble vide est une partie de n’importe quel ensemble, mais pas nécessairement un élément!
Tuta : Soit E le sous-ensemble de l'ensemble $\mathbb R$ des réels constitué par les réels de carré strictement négatif : $E=\{x\in \mathbb R\mid x^2<0\}$;
par sa définition, c'est bien un sous-ensemble de $\mathbb R$ et c'est l'ensemble vide.
Reste à savoir pourquoi il n'y a qu'un seul ensemble vide : cela vient du fait que deux ensembles qui ont exactement les mêmes éléments (*) sont par définition égaux (**). C'est le cas de tous les ensembles vides, ce qui veut dire qu'ils sont le même ensemble vide.
Cordialement.
(*) c'est-à-dire que tout élément de l'un est élément de l'autre et tout ce qui n'appartient pas à l'un n'appartient pas à l'autre. Comme rien n'appartient à un ensemble vide ...
(**) intuitivement, "égaux" veut dire que c'est la même chose.