Cardinaux huge

Martial
Martial
dans Fondements et Logique
Bonjour à tous,
Je lis quelque part la définition suivante (c'est la traduction brute de décoffrage d'un truc trouvé sur le Cantor's Attic).
Définitions : Soit $j:V\to M$ un plongement élémentaire non trivial de $V$ dans une classe transitive $M$, d'ordinal critique $\kappa$.
Alors :
$\kappa$ est $n$-huge de cible (target) $\lambda$ ssi $\lambda=j^{n}(\kappa)$ et $M^{\lambda}$ est inclus dans $M$.
$\kappa$ est $n$-huge ssi il est $n$-huge de cible $\lambda$ pour tout $\lambda$.
$\kappa$ est super $n$-huge ssi pour tout $\gamma$, il existe un certain $\lambda>\gamma$ pour lequel $\kappa$ est $n$-huge de cible $\lambda$ (c'est-à-dire si la cible peut être rendue arbitrairement grande).
Ce qui me contrarie c'est que je ne vois pas la différence entre les $n$-huge et les super $n$-huge. En effet, tel que c'est écrit on a franchement l'impression que c'est la même chose, non ?
À mon avis il y a une ambiguïté ou un manque de rigueur dans ces définitions, mais je ne vois pas où.
Merci d'avance pour vos éclairages.
Martial

Réponses

  • Martial
    Martial
    Bon, je viens de vérifier, c'est moi qui me suis tôlé en traduisant.
    C'est dans la deuxième définition que j'ai buggé.
    Voici la définition correcte :
    $\kappa$ est $n$-huge ssi il est $n$-huge de cible $\lambda$ pour UN CERTAIN $\lambda$
    (et non pas pour tout $\lambda$)
    Sorry
  • christophe c
    christophe c
    La quantification doit aussi porter sur j.

    Les 1 huge sont largement suffisants en pratique pour t'initier de toute façon. Je ne connais pas de résultats marquant permis par un 46 huge mais ne m'étant pas pas par un 11 huge :-D

    Le point célèbre et simple est que quand e est la borne sup des j^n(kappa) on ne peut pas avoir M^e inclus dans M. Et donc (c'est un des rares phénomènes en maths de ce genre) il existe un entier n et une famille indicée par j^n(kappa) d'éléments de M qui n'est pas dans M. (On passe de pas possible pour oméga à pas possible pour un certain n)

    Les 1 huge sont des inaccessibles vérifiant Vopenka, ie tout ensemble de structures inclus dans Vkappa mais pas élément de kappa contient deux structures dont l'une de plongé dans l'autre. Ça me paraît le seuil marquant franchi par cette hauteur.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    @Christophe :

    "La quantification doit aussi porter sur j."
    Oui, tu as raison, la définition est plutôt mal écrite.

    "Le point célèbre et simple est que quand e est la borne sup des j^n(kappa) on ne peut pas avoir M^e inclus dans M"
    Oui OK, c'est la borne de Kunen, en fait ? (enfin, une variante, c'est ça ?).
    Donc il ne peut pas exister de cardinal omega-huge en ce sens.

    "(On passe de pas possible pour oméga à pas possible pour un certain n)".
    Je ne comprends pas bien cette phrase : sous-entends-tu qu'il ne peut pas exister de cardinal qui soit n-huge pour tout n ?
    Il me semblait pourtant que s'il existe un cardinal I3, alors il est précédé d'un ensemble stationnaire de cardinaux qui sont n-huge pour tout n.

    Pour le reste c'est bon, j'ai compris, merci
  • christophe c
    christophe c
    Non je parle bien sur avec un même j.

    Si pour tout n, M^j(n) inclus dans M alors M^e aussi est inclus dans M.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    Oui bien sûr, où avais-je la tête ?
    Bon, mais il y a quand même un truc que je ne comprends pas.
    Mettons qu'il existe un cardinal I1, donc un plongement élémentaire $j$ de $V_{\lambda+1}$ sur lui-même, d'ordinal critique $\kappa$.
    Donc $\lambda$ est égal à la borne sup des $j^{n}(\kappa)$ pour $n$ entier, on est bien d'accord ?
    Mais $\lambda$ appartient à $V_{\lambda+1}$, et comme $j(\lambda)=\lambda$ j'ai bien l'impression que $M^{\lambda}$ est inclus dans $M$, avec $M=V_{\lambda+1}$, non ?
    Peux-tu me dire à quel moment je délire ?
  • christophe c
    christophe c
    :-D bin M n'est pas V indice lambda +1. Ce dernier est juste l'ensemble des parties de V indice lambda.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    Ben oui, oeuf corse, j'ai encore confondu.
    Dans le cas de I1 le j ne va pas de V dans M mais d'un bout de V dans lui-même, donc ma question n'avait aucun sens.
    Sorry une fois de plus
  • christophe c
    christophe c
    Pas grave. De toute façon même sans Kunen il est facile de voir que le j de I1 ayant le plus petit point critique possible n'est pas fineau puisqu'il n'envoie évidemment pas le plus petit "lambda-temoinI1-critik-ordinal" sur lui-même.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    Je dois avoir le cerveau grave englué aujourd'hui, mais c'est quoi que tu appelles le plus petit "lambda-temoinI1-critik-ordinal" ?

    Avec les notations usuelles, il me semble qu'on a bien $j(\lambda)=\lambda$, non ?
  • christophe c
    christophe c
    Flemme de mon téléphone: ce que je voulais dire c'est que l'ensemble des points critiques kappa possibles pour au moins un plongement plaisant (ie de V lambda +1 dans lui même), n'est pas reconnu par tous les j, puisque le plus petit d'entre eux n'est jamais de la forme j(kappa).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    Oui d'accord, je crois que je comprends : admettons que tu aies tous les j plaisants dans ta besace. Eh ben même dans ces conditions, le plus petit tel $\kappa$ ne pourra être reconnu que par en dessus, mais pas par en dessous, c'est ça ?
  • christophe c
    christophe c
    Soit kappa le plus petit cardinal bougeable par un j plaisant. Soit j qui le bouge. Alors j(kappa) n'est pas le plus petit bougeable.

    Donc être bougeable par un j plaisant n'est pas définissable au niveau V lambda +1. Il l'est évidemment au niveau V lambda+2 mais c'est trop haut.

    Ces mécanismes de quelques lignes sont généraux avec les GC. C'est une des raisons pour lesquelles des énoncés difficiles voire improuvables se retrouvent souvent prouvés en peu de lignes via les GC. En gros ça simplifie très fortement les bonnes fondations des histoires de definissabilites qui à bas niveau feraient très mal au crâne.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Une petite pointe de poivre que j'ai oublié à chaque post, l'outil à la mode pour les GC est aussi le seul à ma connaissance qui donne une définition mathématique de "canonique" qui soit LOCALE (habituellement on associe à une forme une façon de choisir dans des items un element sans axiome du choix) tandis que la on peut dire ce qu'est un élément canonique de E "tout seul".
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Autre chose à laquelle on peut ne pas penser vue la cofinalite oméga de lambda c'est que V lambda est un très joli modèle de ZFC. La suite non bornée des j^n(kappa) ne se voit pas de manière DEFINISSABLE (loin s'en faut) dans ce modèle.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    @Christophe : la deuxième partie de ta phrase, j'avais bien compris.
    Mais peux-tu m'expliquer pourquoi ce truc est modèle de ZFC ?
  • christophe c
    christophe c
    C'est routinier mais très très long! V indice j^n(kappa) est un inaccessible qui est sous modèle élémentaire du suivant et Vlambda n'est qu'essentiellement ce que :-D certains aiment appeler la limite inductive.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    Merci.
    Ton explication me suffit, j'avais juste besoin d'une idée globale.
    Les détails sont laissés au soin du lecteur, comme on dit puis dans les chaumières lol
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