Ensemble bien ordonné...

Que penses-tu de $\omega_1$ ?
Bon en fait $2^{\aleph_0}$ marche aussi, mais c'est moins facile à montrer (la preuve que je connais utilise le lemme de König, qui n'est pas compliqué, mais qu'il faut connaître)

Pourquoi veux-tu absolument savoir comment bien les ordonner ? Il suffit de savoir que tu peux le faire pour savoir que ton truc existe :-D

Quant au lemme de König, je faisais effectivement référence à un autre lemme de König (que wikipedia appelle théorème de König )

Et si tu ne veux pas d'ordinaux, voici la preuve que $\omega_1$ existe, sans parler de $\omega_1$ (et comme de toute façon cette preuve est "nécessaire" pour montrer qu'$\omega_1$ existe, christophe ne m'en voudra pas de circonvenir aux ordinaux :-D ):

Considère l'ensemble $F$ des bons ordres $<$ sur $\mathbb{N}$, quotienté par la relation "est isomorphe à", et ordonné par la relation "est isomorphe à un segment initial de".
Montre que cette relation est un ordre, puis que c'est en fait un bon ordre (la preuve la plus simple passe peut-être par l'axiome du choix, mais je ne crois pas qu'il soit nécessaire); que c'est un bon ordre indénombrable; et finalement que chacun de ses segments initiaux est dénombrable. Conclus

Je ne sais pas comment modifier des pages wikipédia encore moins de mon téléphone, mais vraiment ne serait ce que par respect pour feu Konig il faudra nettement la corriger.

La dernière phrase n'a pas grand sens et est à 98% fausse
L'énoncé du théorème est très inélégant
L'usage, snob ici pour le public de la somme à la place de la réunion, exclut plein de jeunes.

Je rappelle juste que si deux familles a,b sont indicées par le même ensemble et que si f va de la réunion de a dans le produit de b et que pour chaque i , l'élément x(i) est dans b(i) sans être de la forme f(y) (i) pour un y dans a(i) alors x n'a pas d'antécédent par f.

Autrement dit l'hypothèse n'est pas a(i) < b(i) mais "il y a pas de surjection"

De plus ce phénomène est un cas particulier appliqué aux cardinaux d'un mécanisme général qui est très usité , qui par exemple marche aussi pour les puissances de téléphones (quoique ça veuille dire: si une domme majore un produit indicé pareil que la.somme la majoration de produit pour au moins un item) or c'est une généralisation considérable des cardinaux et d'une manière générale vaut quand si pour chaque i on a un témoin ti que ai n'est pas dépassé par bi alors le "produit des ti" témoigne que le produit des ai n'est pas dépassé par la somme des bi.

Par exemple dans un anneau un témoin que qu'un idéal J n'est pas inclus dans un idéal K peut consister à dire qu'il s'agit d'un x dans J tel que 1+x est dans K, et bien là aussi ça marchera.

@JL: il était normal que sans inspiration tu sois bloqué car il est crucial d'evoquer le fait que IR se SurJecte sur IR^IN

Sauf si $A$ est vide

Non, ce n'est pas ça "un bon ordre sur $\mathbb{N}$". Un bon ordre sur $\mathbb{N}$ c'est une relation d'ordre sur $\mathbb{N}$ qui est ... un bon ordre.
Et d'ailleurs comme le fait remarquer christophe, même dans ce cas là il te manque plein de classes d'equivalences ! Quid de $\mathbb{N}$ où $0$ est décrété plus grand que tout le monde, et le reste ordonné usuellement ?

J'ai récapitulé avec soin d'un pc certaines de mes participations dans divers fils: cliquez sur ce lien si ce que j'ai écrit ici est trop sale