Théorème d' Emmy Noether

" sans utiliser des termes surfaits comme Lagrangien hamiltonien "

Je crois que ça se passe de commentaire ...

Et j'ajoute que je trouve ça quand même super déconcertant. Tu sembles avoir un haut niveau en théorie quantique et relativité générale et tu n'aimes pas les notions de base de la mécanique classique. Tu ne connais pas la notation $\dot{q}$ (qui abrège "dérivée de $q$ par rapport au temps"), etc ... C'est comme si quelqu'un savait rouler en moto tout terrain mais pas à vélo.

christophe c a écrit:

Je paie un restau à qui me l'énoncé SERIEUSEMENT sans parler de trucs physiques sans utiliser des termes surfaits comme Lagrangien hamiltonien etc . Merci d'avance!!!

Le problème est que ledit théorème (la version que je connais) suppose ouvertement que les phénomènes physiques concernés sont décrits par un lagrangien. Et une fois cette hypohèse faite, c'est une lapalissade calculatoire...

Christophe tu peux lire le Chapitre 10 Calcul des Variations du livre Calcul Différentiel de Avez. Quelques pages seulement...

(la chapitre est théorique, c'est un "vrai" de maths...)

On pourrait mettre « d'Emmy » plutôt que « de Emmy » svp ?

Il serait absolument scandaleux que personne n'ait eu l'idée de retirer ce mot pour un théorème établissant " quelque soit la fonction L vérifiant telle hypothèse blabla" et je soupçonne de plus en plus que c'est ce que je vais découvrir angry smiley angry smiley angry smiley

@CC : Mais EVIDEMMENT que c'est ça.
J'ai copié la version wikipedia car je pensais que tu connaissais la mécanique classique. Mais c'est évident que le théorème est un "bête résultat" sur des fonctions $C^1$ vérifiant certaines hypothèses. Je le redis, c'est un exercice de L2 sur la dérivation des fonctions composées. S'il le faut vraiment, je le réécrirai en version exercice de fac mais je pense vraiment que tu pourrais comprendre les preuves de wikipedia.

Soit $U$ un ouvert de $\R^d$, $I \subseteq$ un intervalle, $L: U\times \R^d \times I \to \R$ une application de classe $C^2$ dont les dérivées partielles seront notées $\frac{\partial L}{\partial X_1},\frac{\partial L}{\partial X_2}, ... ,\frac{\partial L}{\partial X_d},\frac{\partial L}{\partial V_1}, \frac{\partial L}{\partial V_2},...,\frac{\partial L}{\partial V_d}, \frac{\partial L}{\partial T}$ dans toute la suite.
Soient $a,b \in I$ tels que $a<b$.
Soient $x_a,x_b \in U$
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f$ de classe $C^2$ de $[a,b]$ dans $U$ telles que $f(a)=x_a$ et $f(b)=x_b$, que l'on munit de la distance $d:(f,g) \mapsto \sup_{a \leq t \leq b} \|f(t)-g(t)\|+ \sup \|f'(t)- g'(t) \|$. Enfin soit $\Phi$ l'application qui à $g \in E$ fait correspondre le réel $\int_a^b L \left( g(t), g'(t),t\right) dt$.

On appelle extrémale de $(L,a,b,x_a,x_b)$ un minimum local de $\Phi$ sur $(E,d)$.


Si $\gamma$ est une extrémale , pour tout $t \in [a,b]$ et pour tout $i\in \{1,...,d\}$ on a (*)
$$\frac{\partial L}{\partial X_i}\left ( \gamma(t), \gamma'(t),t\right ) = \frac{d}{dt} \left [ \frac{\partial L}{\partial V_i} \left (\gamma(t), \gamma'(t), t\right ) \right ] \tag{E}$$
(équation d'Euler-Lagrange)



En effet, si $\varphi: [a,b] \to \R^d$ est $C^2$ et nulle en $a$ et en $b$, il existe $\varepsilon>0$ tel que $\gamma +s\varphi \in E$ pour tout $s\in ]-\varepsilon, \varepsilon[$ et de plus l'application $s \mapsto \Phi(\gamma +s \varphi )$ est dérivable, de dérivée en $s=0$ $$0 = \int_a^b \sum_{i=1}^n \left ( \frac{\partial L}{\partial X_i}\left ( \gamma(t), \gamma'(t),t\right ) \varphi(t) + \frac{\partial L} {\partial V_i} \left ( \gamma(t), \gamma'(t), t\right )\varphi'(t) \right )dt = \int_a^b \left (\sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial X_i}\left ( \gamma(t), \gamma'(t),t\right ) - \frac{d}{dt}\left [\frac{\partial L} {\partial V_i} \left ( \gamma(t), \gamma'(t), t\right )\right ] \right ) \varphi (t ) dt $$ Ce nombre vaut $0$ simplement parce que $\gamma$ est un extrémum local et l'égalité de droite découle d'une intégration par parties. Comme $\varphi$ est arbitraire on en déduit le résultat.


*********

On pose lorsque $(x,v,t) \in U \times \R^d \times I$, $\mathcal E(x,v,t):= \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial V_i}(x,v,t)v_i - L(x,v,t)$. Alors pour toute extrémale $\delta$, on a $$\frac{\partial L}{\partial T} \left (\delta(t), \delta'(t),t \right ) = \frac{d}{dt} \left ( \mathcal E\left ( \delta(t), \delta'(t),t\right ) \right )$$
En particulier si $\frac{\partial L}{\partial T}$ est identiquement nulle (i.e. si $L$ est indépendant du temps), $\mathcal E$ garde une valeur constante le long des extrémales (loi de conservation de l'énergie).


Une des raisons (entre autres) de la popularité de cette approche est que si $\psi$ est un difféomorphisme de $V$ dans $U$, alors $\gamma$ est une extrémale de $L$ si et seulement si $\psi^{-1}\circ \gamma$ est une extrémale de $M$ où $M\left (y,w,t \right):= L \left (\psi(y),D_{y}\psi(w),t \right)$




[size=x-small](*)Le terme du membre de droite n'est qu'un abus de langage pour désigner $M'(t)$ où $M$ désigne $a \mapsto \frac{\partial L}{\partial V_i} \left (\gamma(a), \gamma'(a), a\right )$. La quantité de calculs qui apparaît dans ce genre de sujet fait que sans ça, on ne pourrait pratiquement rien faire.[/size]

Petite coquille Foys tu as écrit $\frac{\partial L}{\partial X_T}$ au lieu de $\frac{\partial L}{\partial T}$ vers la fin

Il me semble que Foys a surtout reformulé le principe variationnel qui est la clé pour démontrer Noether. (Le vrai phénomène intéressant est le principe variationnel, pas Noether.)

Je ne sais pas si j'ai quelque chose d'intéressant à rajouter à ce qu'a dit Foys mais je tenterai un post plus élaboré ce w-e.

> J'ai la vie détruite

Ah, quel malheur !

Coucou !

Christophe a écrit:

Je rappelle à tous que comme le principe de moindre action peut être déduit du paradigme quantique je dis bien DEDUIT*** ce que raconte foys est essentiel (ce n'est pas juste un caprice de d'intéresser aux extremales)

*** Facilement et sans calculs. Je le réraconterai si on me demande mais d'un téléphone... Bof.

Oui, oui, ça m'intéresse :-D