Bon, je tente un poste qui va peut-être satisfaire cc.
Je vire toute notation liée à la physique et je l'écris version "exercice d'analyse basique de L1".
Soit $f : \R^3 \to \R$ une fonction de classe $C^2$. Je note $\partial_{1}f, \partial_{2}f, \partial_{3}f : \R^3 \to \R$ les trois fonctions dérivées partielles.
Soit $q : \R^2 \to \R$ une fonction de classe $C^2$. Je note également $\partial_1q$ et $\partial_2q$ les deux dérivées partielles de $q$. Je crée une nouvelle fonction $g : \R \to \R^3$ en posant $$g(t) = (q(t,0), (\partial_1q)(t,0), t) \quad \forall t\in \R.$$
HYPOTHESE 1 : On a $$\frac{d}{dt} (\partial_2 f \circ g) = \partial_1 f \circ g.$$
Je définis de manière plus générale pour chaque $s\in \R$ une fonction $g_s : \R \to \R^3$ par $g_s(t) = (q(t,s), (\partial_1q)(t,s), t)$ pour tout $t\in \R.$ En particulier $g_0 = g.$
HYPOTHESE 2 : On a $$f \circ g_s = f \circ g, \quad \forall s \in \R.$$
J'introduis enfin ma dernière notation. Soit $\varphi : \R \to \R$ la fonction définie par $$\varphi(t) =(\partial_2 f \circ g)(t) \cdot (\partial_2 q)(t,0).$$
THEOREME DE NOETHER : Sous les hypothèses $1$ et $2$ la fonction $\varphi$ est constante.
PREUVE : Il suffit de prouver que $\frac{d\varphi}{dt} = 0$. On a pour tout $t\in \R$
\begin{align*}
\frac{d \varphi}{dt}(t)& \underset{Hyp \: 1}= (\partial_1 f \circ g)(t)\cdot(\partial_2 q(t,0)) + (\partial_2 f \circ g)(t) \cdot \frac{d}{dt}(\partial_2 q(t,0))\\
& = (\partial_1 f \circ g)(t)\cdot(\partial_2 q(t,0)) + (\partial_2 f \circ g)(t) \cdot \partial_1 \partial_2 q(t,0)\\
& = (\partial_1 f \circ g)(t)\cdot(\partial_2 q(t,0)) + (\partial_2 f \circ g)(t) \cdot \partial_2 \partial_1 q(t,0)\\
& = (\partial_1 f \circ g)(t)\cdot(\partial_2 q(t,0)) + (\partial_2 f \circ g)(t) \cdot \frac{d}{ds} (s \mapsto \partial_1 q(t,s))(0)\\
& = \frac{d}{ds} (s \mapsto f \circ g_s(t))(0)\\
& \underset{Hyp \: 2}= 0.
\end{align*}
Comme promis, juste de la dérivation (fastidieuse) de fonctions composées et le théorème d'interversion des dérivées de Schwarz.
Remarque finale : Si on retourne à la physique où $f$ est un lagrangien et $q$ une coordonnée généralisée, alors l'hypothèse $1$ est toujours vérifiée. En effet, elle est impliquée par l'axiome de Newton "somme des forces = m fois a". Donc le théorème se reformule simplement en disant que si $f \circ g_s$ est invariant par rapport à $s$ alors on peut construire une fonction "intéressante" $\varphi$ qui est en fait constante. Cette fonction est par exemple l'énergie.
C'est un peu hors sujet mais peut-on ainsi "noetherianiser" RH en montrant que la partie imaginaire des zéros d'une fonction L complète est conservée en considérant un lagrangien adéquat ?
Il y a encore autre chose que je ne comprends pas. Pourquoi suppose-t-on que $ f $ est définie sur $\mathbb{R}^{3} $ alors que la troisième variable n'intervient pas ? Ça ne marche pas avec une fonction définie sur $ \mathbb{R}^{2} $?
Je reviens à mon idée de noetherianisation de RH : n'y a-t-il pas une analogie formelle entre les équations canoniques de Hamilton et celles de Cauchy-Riemann ?
Tu ne connais pas les bases mathématiques de la mécanique hamiltonienne, Cc - de là à tes prétentions en...relativité ou MQ (où le Hamiltonien trouve son terrain de choix). "No bike, no motorbike" : tout simplement. Je comprends mieux ta manière d'aborder les sciences en "bénévole" - ce qui explique du coup nombre de tes erreurs techniques du passé, mais surtout ton impossibilité à les voir et à saisir la portée de mes corrections.
N.B. Un joli prolongement du théorème de Noether est le théorème de Arnold-Liouville - que j'ai beaucoup utilisé avec la mécanique hamiltonienne relativiste lors d'un projet du Commissariat à l'énergie atomique (application de la théorie du chaos aux lasers à très hautes intensités). Noether donne les constantes du mouvement nécessaires au théorème de Liouville.
que j'ai beaucoup utilisé avec la mécanique hamiltonienne relativiste lors d'un projet du Commissariat à l'énergie atomique (application de la théorie du chaos aux lasers à très hautes intensités).
C'était avant ou après avoir conçu les moteurs de fusée Ariane?
où j'ai singé Noether avec une argumentation dans calcul de 3lignes j'ai odieusement exagéré volontairement la traduction de "moindre action" en supposant l'hypothèse 3.10.6 (premier post du fil)
Je pourrais cyniquement le justifier en disant que toutes les histoires ont même début et fin en termes de dates. Mais bien sûr c'est tricher.
CEPENDANT on ne peut plus rien m'objecter si je dis que :
s flèche P(s,deb(s)) - P(s,fin(s)) est constante pour des fonctions C infinies sur lesquelles on ne suppose rien d'autre. En effet toutes les histoires indice s doivent avoir la même intégrales d'action puisqu'elles sont toutes recordwomen.
Je ne peux absolument pas faire de calcul (ni papier ni pc) donc je viens quémander votre aide. Est-ce que ca suffit à entraîner l'hypothèse 1 de Cyrano?
L'avantage serait qu'au lieu de passer par une preuve d'Euler Lagrange qui suppose officiellement un extremum parmi toutes les histoires on n'aura supposé seulement que les histoires indice s so t recordwomen au sein de leur seul ensemble.
Bon certes ce sera anecdotique mais ça m'egayerait... Merci
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Je te le redis cc mais les équations d'Euler-Lagrange sont impliqués par $\sum F = m \cdot a$
Je suppose que tu acceptes quand même cet axiome de Newton non ? :-D
Pas juste "impliquées" : la loi F = ma est strictement équivalente aux équations d'Euler-Lagrange.
La différence entre les deux formalismes newtonien et lagrangien est surtout pratique : le second s'illustre principalement par sa facilité à faire apparaître des constantes temporelles du mouvement, sans passer par l'intégration des équations différentielles "newtoniennes" en $\ddot{q}$ (équations souvent complexes en mécanique du solide). En mécanique lagrangienne, on ne dérive pas tout de suite $L = T - V$ (*) par rapport au temps mais d'abord par rapport aux coordonnées généralisées $q_i$ et leurs dérivées temporelles $\dot{q}_i$, ce qui permet de simplifier les équations en annulant beaucoup de termes "constants" vis-à-vis des opérateurs $\frac{\partial}{\partial q_i}$ et $\frac{\partial}{\partial \dot{q}_i}$.
(*) $L(q_i, \dot{q}_i,t)$ est le Lagrangien, défini comme la différence entre l'énergie cinétique $T$ et l'énergie potentielle $V$ du système.
@Cyrano: bin justement non vu que je cherche à évaluer le contenu mathématique. Je ne veux pas faire l'hypothèse que l'histoire concerne des forces et des masses !!!!!
Mais de toute façon je ne discute pas la véracité real life de ton hypothèse 1 et en plus foys l'a prouvée en redemontrant EL sans parler des masses, forces.
Je veux juste mettre au clair la façon dont, en remplaçant l'intégrale de foys quand il prouve EL , et qui ne met pas de bornes à son signe "\int" , j'ai abusé en ne mettant pas de bornes dans ma traduction par une primitive (qui aurait été trouvée par exemple par FDP de manière formelle avec un jeu d'expressions polynômiales, dont on ne peut donc pas me faire le reproche d'avoir remplacé une intégrale par un primitive sauf raisons serieuses de non dérivabilité suffisante des fonctions deb et fin de mon post précédent), en particulier je m'intéresse à la RÉPARATION de cet abus.
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Erratum: foys met des bornes mais toujours les mêmes (ie c'est comme s'il n'en mettait pas, comme s'il écrivait que tout va de [0,1] dans IR).
Or si ça c'était maintenu c'est la preuve que j'ai donnée qui remporte la palme haut la main :-D car Noether devient alors corollaire anecdotique ET TRIVIAL de Schwarz. (Mais ça ne sera évidemment pas maintenu :-D c'est juste pour vous motiver )
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Si tu t'en tiens juste "aux maths", il faut de toute façon faire une hypothèse 1.
Foys a fait l'hypothèse de l'existence d'une extrémale et en a déduit l'hypothèse 1 mais dans tous les cas "ce n'est pas gratuit".
100% d'accord. Je veux juste savoir si MON hypothèse 3.10.6 peut être relaxée en la version que j'ai proposé ci-dessus.
Est-ce que ma rédaction est si fastidieuse dans l'autre fil? Si oui je reformule tout d'un PC de mon hôtel ce soir si tu veux?
Schwarz c'est juste pour tous x,y : g(x)' (y) = h(y)' (x) quand
Pour tous x,y : g(x)(y) = f(y)'(x) et h(y)(x) = t(x)'(y) et t(x)(y) = f(y)(x). (En espérant ne pas avoir fait d'erreur de frappe de mon téléphone. (Hypothèses de dérivabilités siffiszntes faites)
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Ok, donc le théorème d'interversion des dérivées. Comme tu l'as vu dans la preuve, il joue un rôle central en effet.
Maintenant quant à la "relaxation" de ton hypothèse, j'avoue que je ne comprends pas trop. Essaie de faire un post propre en latex pour qu'on y voit plus clair. :-D
Ok merci je ferai ça ce soir mais comme l'hôtel*** où je suis a été saboté par ses femmes (ou hommes) de ménage (elles sont parties sans le faire ni rien dire les clients débarquent par booking et découvrent le forfait :-D ) je vais arriver tard. Bienvenue à Toulouse :-D
*** Une grosse chaîne.
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1/ On simplifie la problématique en considérant que toutes les fonctions sont $C^\infty$. Ca évite de gaspiller de l'encre et demander chaque fois en plus au lecteur de faire des vérifications stériles. Comme toujours, je note indifféremment $f(x)(y)$ ou $f(x,y)$, etc.
2/ On dispose de $P$ allant de $\R^2$ dans $\R$ et de $f$ allant $\R^2\to \R$ ainsi que de $L$ allant $\R^3\to \R$
3/ Pour tous $t,s : (P(t))' (s) = L(f(s,t), (f(s))'(t),t)$
Remarque: cette hypothèse est juste la "FdP"-traduction du fait qu'on aura besoin de calculer des
$$ \int_a^b L(f(s)(t), (f(s))'(t), t) dt$$
que (par exemple) foys a calculé "comme une brute" sans passer par une recherche de primitive. J'imagine (la physique manipulant des expressions calculatoires relativement simples) donc qu'on a appelé "FdP" à l'aide (quitte à le payer***) et qu'il nous a filé une primitive générale pour qu'ensuite on n'ait pas à se fatiguer pour sommer l'action totale d'une histoire.
4.1/ Si on supposait que toutes les histoires commencent à $t:=0$ et terminent à $t:=1$, ce serait trop facile: la conclusion du théorème de Noether sera une Lapalissade pure et dure from Schwarz. C'est ce que j'ai montré à mon post où j'ai rédigé (je vous l'ai mis en lien), et faire cette hypothèse "foutage de gueule" revient à supposer 3.10.6 de mon post.
4.2/ Pourquoi serait-ce du "foutage de gueule". Et bin tout simplement parce que l'invariance par rapport à $s$ est implicitement une hypothèse qui n'est pas, non pas physique, mais issue du fait qu'on prétend changer de repère et disposer de l'invariant $L$. Il est donc malhonnête de prétendre que quand on change de repère, on ne touche pas aux débuts et fins des histoires.
5/ Voilà ce que j'appelle "relaxer un peu cette hypothèse 3.10.6": on suppose que chaque histoire $f(s)$ a un début $d(s)$. Comme à tout instant, on calcule où elle en est, c'est à dire
$$ \int_{d(s)}^t L(f(s,t), (f(s))'(t),t) dt$$
pas besoin, en fait de parler de fin.
6/ Affirmer qu'à tout instant (en effet, la Nature, je le suppose gratuitement, ne peut pas deviner que l'histoire ne va pas être stoppée cash et brutalement en $t$, donc la "moindre action" est "réalisée à tout instant") le PMA (principe de moindre action, mince, le sigle est choquant) s'applique, c'est donc prétendre que:
$$ s\mapsto [P(t,s) - P(d(s), s)] $$
est une fonction constante.
7/ L'autre hypothèse, interne, est qu'on a une $g$ telle que:
$$ \forall s,t: L(f(s,t),(f(s))'(t),t) = g(t)$$
*** ce n'est pas sarcastique, je rends hommage à son hobby en même temps que je rends plus clair la "faiblesse" de l'hypothèse (donc la force du théorème: il s'en faut de beaucoup pour que les expressions en jeu n'aient pas de primitives).
Ayant pu me connecter dans une salle, j'essaierai de faire moi-même le calcul, mais je suis ULTRALENT en calculs, donc si toi ou fys pouvez me dire si ça entraine***** qu'une fonction intéressante est temporellement constante** (ou tout simplement si ça entraine ton hypothèse 1**), j'en serais ravi.
***** "ça" voulant dire "les hypothèses 1+2+3+5+6+7
** $(s,t)\mapsto \phi(s,t) =(s,t) \mapsto h(s) $ pour des "bonnes" $\phi,h$
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Bon je reprends les notations de mon précédent message.
Pour tout $s$, on pose $P_s$ une primitive de $f \circ g_s.$
Soit l'hypothèse suivante :
Hypothèse 3 Il existe une fonction $h : \R \to \R$ suffisamment régulière telle que $\frac{d}{ds} (s \mapsto P_s(t) -P_s(h(s))) = 0$ pour tout $t \in \R.$
En gros, les questions à se poser sont
Q1) A-t-on "Hypothèse 3 + 2 implique Hypothèse 1 + 2" ?
Q2) Si ce n'est pas le cas, est-ce que "Hypothèse 3 + 2" implique tout de même que le $\varphi$ défini dans mon post est constant ?
Q3) Si ce n'est toujours pas le cas, est-ce qu'au moins "Hypothèse 3 + 2" implique l'existence d'un $\varphi$ non-trivial qui est constant ?
Essayons un peu de traduire, cette hypothèse $3$. Si on fixe $t\in \R$ on a
$$0 = \frac{d}{ds} (P_s(t) -P_s(h(s))) = \frac{d}{ds} \int_{h(s)}^{t} (f\circ g_s)(y)dy \underset{Leibniz}=-h'(s) (f\circ g_s)(h(s)) + \int_{h(s)}^{t} \frac{d}{ds} (f\circ g_s)(y)dy.$$ Mais en utilisant l'hypothèse $2$, on voit donc bien que $$0 = \frac{d}{ds} (P_s(t) -P_s(h(s))) = -h'(s) (f\circ g)(h(s))$$ pour tout $s \in \R.$ Ceci permet d'exprimer ton hypothèse sous la forme simple $h' \cdot f \circ g \circ h = 0.$
@Cyrano et foys: au delà même de lire, le problème pour l'heure que je rencontre quand j'y pense de tête est le suivant et il est non pas que je n'arrive pas à prouver ceci ou cela, mais que de quelque manière que je m'y prenne, on a trop d'hypothèses et on obtient un peu trop facilement ce qu'on veut.
Je redis donc ce que j'ai déjà dit, en le formulant de la manière la plus simple possible.
1/ D'abord un slogan très simple: on a une fonction $C^\infty$ de $\R^2$ dans $\R$ dont on suppose que la dérivation par rapport à la première variable (je la noterai $a$) suivie de la dérivation par rapport à la deuxième (je la noterai $t$) donne la constante nulle. Et bien, les deux dérivées intermédiaires sont telles que l'une ne dépend que de $a$ et l'autre que de $t$. Or les hypothèses ont tout l'air de donner exprès ça :-S
2/ Plus rigoureusement, lorsqu'on calculera une action, on devra intégrer calculer quelque chose de la forme suivante:
$$ \psi(a) := \int_{d(a)}^{f(a)} \ L(a,t)dt$$
mais on peut très bien supposer qu'on a une primitive, ie que $L = [(a,t)\mapsto \frac{\delta P}{\delta t} (a,t)]$.
3/ Dire que $L(a,t)$ ne dépend que de $t$, c'est juste dire qu'après avoir dérivé $P$ par rapport à $t$, on va ensuite obtenir la constante nulle quand on va dériver par rapport à $a$, et par Schwarz , en dérivant d'abord $P$ par rapport à $a$, puis ensuite par rapport à $t$ on obtient la constante nulle, ce qui fait que la dérivée de $P$ par rapport à $a$ ne dépend pas de $t$ (et peut être appelée "un truc qui se conserve dans le temps")
4/ A bien noter que je ne suppose rien d'autre que LA SEULE EXISTENCE de $P$ suffisamment régulière, qui donne $L$ après avoir été dérivé par rapport à $t$. Par exemple, il n'y a pas "d'hypothèse1" à la Cyrano, il y a juste l'hypothèse2 évidente et assumée.
5/ De plus pas de considérations de vitesses, positions où je ne sais quoi.
6/ En bref, je voudrais savoir si ces Lapalissades sont "le théorème de Noether", car si oui, le scandale de sa présentation est encore plus saillante.
7/ En gros, je résume: quand tout est régulier et quand une fonction de $(a,t)$ ne dépend que de $t$ et dérive par rapport à $t$ d'une fonction $P$ de $(a,t)$ alors la dérivée de $P$ par rapport à $a$ ne dépend que de $a$ et peut s'appeler un "phénomène de conservation" si on pense à $t$ comme au temps.
8/ C'est juste une façon d'énoncer le lemme de Schwarz avec poésie!!!!!!! (Je ne critique pas Noether, je veux juste savoir quelle valeur ajoutée elle apporte et quelle hypothèse elle ne fait pas (puisque je n'en ai faite que deux: l'habituelle + l'existence de $P$
Il se peut aussi, j'ai tapé vite, que j'ai fait une grosse erreur de calcul ou un oubli
9/ Pour finir, si je faisais oeuvre de "pédagogisme", je dirais: "vous avez un $L$ (c'est un secret, ne le dites pas, c'est un machin qui s'appelle Lagrangien ou Hamiltonien dans un autre TD), tel que L(a,t) ne dépend que de t, et bé si vous voulez briller dans les diners en ville, vous en cherchez une primitive $P$ par rapport à $t$, que vous dérivez ensuite par rapport à $a$ et vous annoncez que vous avez découvert une loi de conservation issue de $L$ car $P(a,t)$ ne dépend que de $a$"
J'espère que Noether, ce n'est pas "que ça" quand-même :-S ????? J'ai buggué quelque part?
Algorithme issu de mes trivialités précédentes: partant de $(a,t\mapsto )L(a,t)$, primitiver par rapport à $t$, puis dériver par rapport à $a$, puis renvoyer le résultat et réclamez votre salaire.
Bon évidemment je pense que je viens de dire des trucs peut-être erronés ou pas très sérieux, mais sous la proba que j'ai raison, j'espère que Schwarz et Noether ont eu l'occasion de se voir et plus si affinités ... :-D
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Enfin cela dit, si Noether est un remixage à epsilon près de ça, ça reste quand-même très intéressant, non pas sur le p lan math, mais sur le plan physique où ça aide à prendre conscience de la force des hypothèses physiques et donc de jouer avec. (Les gens sont souvent inhibés et ne poussent pas les hypothèses dans leur retranchement. )
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Aaaaaah, que je suis bête, je n'ai pas fait d'erreur, mais juste pas vu où les trucs importants sont:
10/ Notre problème (ou celui de Noether) n'est pas de trouver un truc invariant dans le temps, mais de trouver "le bon".
11/ En effet, notre $P$ peut valoir n'importe quelle fonction de la forme $(a,t)\mapsto f(a)+g(t)$, où on a bien $g$, mais où n'importe quelle $f$ qui est $C^\infty$ fait l'affaire.
12/ Donc on n'arrive à rien avec l'algorithme non déterministe que j'ai proposé, car le quidam prendra n'importe quelle $f$ sans contrainte.
13/ En fait, du coup j'en reviens à ma relaxe: afin d'être honnête et si on voit ce cadre comme parlant en filigrane de changements de repère, on dispose d'une fonction DEBUT (que j'abrège par $d$ qui est telle que la BONNE $P$ cherchée vérifie :
où $h,m$ sont des fonctions qui nous sont imposées par le contexte ($d(a)$ est juste le début de l'histoire regardée dans le repère $R_a$ qu'on étudie, car il serait malhonnête de prétendre que le début des histoires est toujours le même quand on change de repère) et $m(a)$ le bilan de l'intégrale d'action de l'histoire vue dans le repère $R_a$.
14/ Et cette hypothèse supplémentaire ne laisse plus le choix au quidam, puisque qu'on doit avoir:
15/ Ce qui donne $P(a,t)=h(t) + (m(a) + P(a,d(a)))$ et ne laisse aucun choix sur quelle $f$ choisir puisque ça DOIT êrte forcément : $a\mapsto m(a) + P(a,d(a)) $
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Aaaah, je crois avoir compris ce que je ne comprends pas car j'ai lu quelque part durant les vacances que Noether avait trouvé une fonction "effectivement mesurable" qui était constante.
Or depuis tout à l'heure je galère à me demander quelles fonctions constantes sont importantes parmi la pléthorique liste de fonctions constantes qu'on peut déduire de la seule hypothèse 2 de Cyrano
En outre, en relisant foys, je m'aperçois qu'il intègre avec des bornes fixes, donc me relâchement ne sert à rien.
En fait, ce qu'est censé donner Noether c'est une fonction (une grandeur) qui pour tout $a,t$ peut être mesurée*** avec des instruments à l'instant $t$. Et ça ça m'avait complètement échappé. Donc vous pouvez oublier ce que j'ai dit avant, je n'ai raconté que des évidences vides, qui n'ont rien à voir avec la motivation. C'est comme si j'avais dit $\int_0^1 L(f'(a,t),f(a,t),t) dt$ ne dépend pas de $t$, ce qui est tautologique mais hors-sujet, car ce truc ne se mesure pas avec des compteurs, des pèse-personne, etc.
*** l'intégrale du Lagrangien ne peut pas tellement l'être puisque dépend de toute l'histoire passé.
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Bon déjà comme je désespère de comprendre les motivations, je vais recopier avec mes mots et le plus exactement possible ta preuve Cyrano, peut-être qu'après, j'y verrai plus clair.
Pour l'instant ma situation est la suivante: on a des constantes dans tous les sens, donc pourquoi choisir ta phi? :-S
Je ne m'attendais pas à ce problème: non pas de ne pas pouvoir prouver l'existence de constantes, mais d'en avoir plein et de se demander pourquoi "celle de Noether est chouette".
Pour l'heure j'en suis encore à ne pas "digérer" ton hypothèse1 que ta as métaphoré avec "somme des forces = ma", car bien évidemment que si on dit remplace $f$ par une $f-g$ où on fait exprès que $g" = f"$ par exemple, on obtient ce qu'on veut. Je n'ai jamais trouvé très légitime de créer des cases comptables pour équilibrer le bilan final or avec somme des forces = ma c'est très exactement ce qu'on fait (on dit ça accélère, inventons une force qui produit exactement cette accélération, comme ça, notre loi est préservée)
Preuve de Cyrano recopiée (où j'enlève quelques signes qui me gênent un peu la vue).
1/ Soit $L: \R^3$ dans $\R$, $q$ de $\R^2$ dans $\R$ (je reprends tes notations, sauf pour $L$). Je note $g:=(t\mapsto q(t,0))$ car je ne me servirai pas de la fonction que tu appelles $g$.
Je note $D_i$ l'opérateur qui dérive par rapport à la $i$ ième variable.
Ton hypothèse1 dit que $[t\mapsto D_2(L)(g(t), g'(t), t]' = [D_1(L)(g(t), g'(t), t)]$, sauf erreur. Je trouve ça assez fascinant et gratuit pour l'heure, mais comme je n'ai encore rien compris :-D (J'ai bien compris que foys le prouve et que ça s'appelle Euler-Lagrange)
Tu définis la fonction $\phi$ par $\forall t: \phi(t) := D_2(L)(g(t),g'(t),t) \times D_2(q)(t,0)$
L'hypothèse "Noethérienne" (ton hypothèse2) qui elle m'est TOTALEMENT familière est la suivante: il existe $h$ telle que
$$ \forall t,a: L(q(t,a), D_1(q)(t,a),t) = h(t)$$
C'est une hypothèse qui dit que nous regardons une histoire (décrite dans le repère $R_0$ par $g$ dans différents repères $R_a$ où elle apparait être $[t\mapsto q(t,a)]$ , mais comme L est un invariant...)
[large]Théorème de Noether: $\phi$ est contante[/large]
Voilà, voilà, j'ai déjà réécrit ce que tu m'as donné avec mes notations sans quotient ni deltas. Avant de recopier ta preuve, je vais aller boire un apéro et réfléchir, pour déjà voir si je ne peux pas "guess tout seul".
Au post suivant, je recopierai ta preuve.
En tout cas grand merci à toi et foys pour vos informations. Je les mâche et digère, certes, à ma manière et dans un temps long, mais c'est ma marque de fabrique face aux calculs. J'essaie, même s'il me faut plusieurs mois, de "passer outre" pour avoir un truc "chevillé au corps" ensuite.
En espérant ne pas avoir fait d'erreur. Je ne vois pas trop pourquoi on considère que la grandeur $\phi$ se mesure avec des instruments, mais on verra ça plus tard.
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Réponses
Je vire toute notation liée à la physique et je l'écris version "exercice d'analyse basique de L1".
Soit $f : \R^3 \to \R$ une fonction de classe $C^2$. Je note $\partial_{1}f, \partial_{2}f, \partial_{3}f : \R^3 \to \R$ les trois fonctions dérivées partielles.
Soit $q : \R^2 \to \R$ une fonction de classe $C^2$. Je note également $\partial_1q$ et $\partial_2q$ les deux dérivées partielles de $q$. Je crée une nouvelle fonction $g : \R \to \R^3$ en posant $$g(t) = (q(t,0), (\partial_1q)(t,0), t) \quad \forall t\in \R.$$
HYPOTHESE 1 : On a $$\frac{d}{dt} (\partial_2 f \circ g) = \partial_1 f \circ g.$$
Je définis de manière plus générale pour chaque $s\in \R$ une fonction $g_s : \R \to \R^3$ par $g_s(t) = (q(t,s), (\partial_1q)(t,s), t)$ pour tout $t\in \R.$ En particulier $g_0 = g.$
HYPOTHESE 2 : On a $$f \circ g_s = f \circ g, \quad \forall s \in \R.$$
J'introduis enfin ma dernière notation. Soit $\varphi : \R \to \R$ la fonction définie par $$\varphi(t) =(\partial_2 f \circ g)(t) \cdot (\partial_2 q)(t,0).$$
THEOREME DE NOETHER : Sous les hypothèses $1$ et $2$ la fonction $\varphi$ est constante.
PREUVE : Il suffit de prouver que $\frac{d\varphi}{dt} = 0$. On a pour tout $t\in \R$
\begin{align*}
\frac{d \varphi}{dt}(t)& \underset{Hyp \: 1}= (\partial_1 f \circ g)(t)\cdot(\partial_2 q(t,0)) + (\partial_2 f \circ g)(t) \cdot \frac{d}{dt}(\partial_2 q(t,0))\\
& = (\partial_1 f \circ g)(t)\cdot(\partial_2 q(t,0)) + (\partial_2 f \circ g)(t) \cdot \partial_1 \partial_2 q(t,0)\\
& = (\partial_1 f \circ g)(t)\cdot(\partial_2 q(t,0)) + (\partial_2 f \circ g)(t) \cdot \partial_2 \partial_1 q(t,0)\\
& = (\partial_1 f \circ g)(t)\cdot(\partial_2 q(t,0)) + (\partial_2 f \circ g)(t) \cdot \frac{d}{ds} (s \mapsto \partial_1 q(t,s))(0)\\
& = \frac{d}{ds} (s \mapsto f \circ g_s(t))(0)\\
& \underset{Hyp \: 2}= 0.
\end{align*}
Comme promis, juste de la dérivation (fastidieuse) de fonctions composées et le théorème d'interversion des dérivées de Schwarz.
Remarque finale : Si on retourne à la physique où $f$ est un lagrangien et $q$ une coordonnée généralisée, alors l'hypothèse $1$ est toujours vérifiée. En effet, elle est impliquée par l'axiome de Newton "somme des forces = m fois a". Donc le théorème se reformule simplement en disant que si $f \circ g_s$ est invariant par rapport à $s$ alors on peut construire une fonction "intéressante" $\varphi$ qui est en fait constante. Cette fonction est par exemple l'énergie.
C'est un peu hors sujet mais peut-on ainsi "noetherianiser" RH en montrant que la partie imaginaire des zéros d'une fonction L complète est conservée en considérant un lagrangien adéquat ?
La j'avoue c'est limpide! Il me manquait l'hypothèse 1!!!
Si un jour je passe dans le coin, je te ferrai signe. :-D
N.B. Un joli prolongement du théorème de Noether est le théorème de Arnold-Liouville - que j'ai beaucoup utilisé avec la mécanique hamiltonienne relativiste lors d'un projet du Commissariat à l'énergie atomique (application de la théorie du chaos aux lasers à très hautes intensités). Noether donne les constantes du mouvement nécessaires au théorème de Liouville.
Voir 4.13.1, p. 131 :
http://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/intl/fr/marleau_mc2notes.pdf
N.B. Ah, et je n'ai jamais parlé de conception des moteurs d'Ariane (je travaillais sur la combustion).
Je suis un troll, mais bon si on tourne en rond, qui est/suit qui ?
S
Cette hypothèse dit juste que $g$ satisfait l'équation d'Euler-Lagrange pour le lagrangien $f$.
où j'ai singé Noether avec une argumentation dans calcul de 3lignes j'ai odieusement exagéré volontairement la traduction de "moindre action" en supposant l'hypothèse 3.10.6 (premier post du fil)
Je pourrais cyniquement le justifier en disant que toutes les histoires ont même début et fin en termes de dates. Mais bien sûr c'est tricher.
CEPENDANT on ne peut plus rien m'objecter si je dis que :
s flèche P(s,deb(s)) - P(s,fin(s)) est constante pour des fonctions C infinies sur lesquelles on ne suppose rien d'autre. En effet toutes les histoires indice s doivent avoir la même intégrales d'action puisqu'elles sont toutes recordwomen.
Je ne peux absolument pas faire de calcul (ni papier ni pc) donc je viens quémander votre aide. Est-ce que ca suffit à entraîner l'hypothèse 1 de Cyrano?
L'avantage serait qu'au lieu de passer par une preuve d'Euler Lagrange qui suppose officiellement un extremum parmi toutes les histoires on n'aura supposé seulement que les histoires indice s so t recordwomen au sein de leur seul ensemble.
Bon certes ce sera anecdotique mais ça m'egayerait... Merci
Je suppose que tu acceptes quand même cet axiome de Newton non ? :-D
La différence entre les deux formalismes newtonien et lagrangien est surtout pratique : le second s'illustre principalement par sa facilité à faire apparaître des constantes temporelles du mouvement, sans passer par l'intégration des équations différentielles "newtoniennes" en $\ddot{q}$ (équations souvent complexes en mécanique du solide). En mécanique lagrangienne, on ne dérive pas tout de suite $L = T - V$ (*) par rapport au temps mais d'abord par rapport aux coordonnées généralisées $q_i$ et leurs dérivées temporelles $\dot{q}_i$, ce qui permet de simplifier les équations en annulant beaucoup de termes "constants" vis-à-vis des opérateurs $\frac{\partial}{\partial q_i}$ et $\frac{\partial}{\partial \dot{q}_i}$.
(*) $L(q_i, \dot{q}_i,t)$ est le Lagrangien, défini comme la différence entre l'énergie cinétique $T$ et l'énergie potentielle $V$ du système.
Mais de toute façon je ne discute pas la véracité real life de ton hypothèse 1 et en plus foys l'a prouvée en redemontrant EL sans parler des masses, forces.
Je veux juste mettre au clair la façon dont, en remplaçant l'intégrale de foys quand il prouve EL , et qui ne met pas de bornes à son signe "\int" , j'ai abusé en ne mettant pas de bornes dans ma traduction par une primitive (qui aurait été trouvée par exemple par FDP de manière formelle avec un jeu d'expressions polynômiales, dont on ne peut donc pas me faire le reproche d'avoir remplacé une intégrale par un primitive sauf raisons serieuses de non dérivabilité suffisante des fonctions deb et fin de mon post précédent), en particulier je m'intéresse à la RÉPARATION de cet abus.
Or si ça c'était maintenu c'est la preuve que j'ai donnée qui remporte la palme haut la main :-D car Noether devient alors corollaire anecdotique ET TRIVIAL de Schwarz. (Mais ça ne sera évidemment pas maintenu :-D c'est juste pour vous motiver )
Foys a fait l'hypothèse de l'existence d'une extrémale et en a déduit l'hypothèse 1 mais dans tous les cas "ce n'est pas gratuit".
Par ailleurs, qu'appelles-tu Schwarz ici ?
100% d'accord. Je veux juste savoir si MON hypothèse 3.10.6 peut être relaxée en la version que j'ai proposé ci-dessus.
Est-ce que ma rédaction est si fastidieuse dans l'autre fil? Si oui je reformule tout d'un PC de mon hôtel ce soir si tu veux?
Schwarz c'est juste pour tous x,y : g(x)' (y) = h(y)' (x) quand
Pour tous x,y : g(x)(y) = f(y)'(x) et h(y)(x) = t(x)'(y) et t(x)(y) = f(y)(x). (En espérant ne pas avoir fait d'erreur de frappe de mon téléphone. (Hypothèses de dérivabilités siffiszntes faites)
Edit : trop tard à la soupe !
Maintenant quant à la "relaxation" de ton hypothèse, j'avoue que je ne comprends pas trop. Essaie de faire un post propre en latex pour qu'on y voit plus clair. :-D
*** Une grosse chaîne.
1/ On simplifie la problématique en considérant que toutes les fonctions sont $C^\infty$. Ca évite de gaspiller de l'encre et demander chaque fois en plus au lecteur de faire des vérifications stériles. Comme toujours, je note indifféremment $f(x)(y)$ ou $f(x,y)$, etc.
2/ On dispose de $P$ allant de $\R^2$ dans $\R$ et de $f$ allant $\R^2\to \R$ ainsi que de $L$ allant $\R^3\to \R$
3/ Pour tous $t,s : (P(t))' (s) = L(f(s,t), (f(s))'(t),t)$
Remarque: cette hypothèse est juste la "FdP"-traduction du fait qu'on aura besoin de calculer des
$$ \int_a^b L(f(s)(t), (f(s))'(t), t) dt$$
que (par exemple) foys a calculé "comme une brute" sans passer par une recherche de primitive. J'imagine (la physique manipulant des expressions calculatoires relativement simples) donc qu'on a appelé "FdP" à l'aide (quitte à le payer***) et qu'il nous a filé une primitive générale pour qu'ensuite on n'ait pas à se fatiguer pour sommer l'action totale d'une histoire.
4.1/ Si on supposait que toutes les histoires commencent à $t:=0$ et terminent à $t:=1$, ce serait trop facile: la conclusion du théorème de Noether sera une Lapalissade pure et dure from Schwarz. C'est ce que j'ai montré à mon post où j'ai rédigé (je vous l'ai mis en lien), et faire cette hypothèse "foutage de gueule" revient à supposer 3.10.6 de mon post.
4.2/ Pourquoi serait-ce du "foutage de gueule". Et bin tout simplement parce que l'invariance par rapport à $s$ est implicitement une hypothèse qui n'est pas, non pas physique, mais issue du fait qu'on prétend changer de repère et disposer de l'invariant $L$. Il est donc malhonnête de prétendre que quand on change de repère, on ne touche pas aux débuts et fins des histoires.
5/ Voilà ce que j'appelle "relaxer un peu cette hypothèse 3.10.6": on suppose que chaque histoire $f(s)$ a un début $d(s)$. Comme à tout instant, on calcule où elle en est, c'est à dire
$$ \int_{d(s)}^t L(f(s,t), (f(s))'(t),t) dt$$
pas besoin, en fait de parler de fin.
6/ Affirmer qu'à tout instant (en effet, la Nature, je le suppose gratuitement, ne peut pas deviner que l'histoire ne va pas être stoppée cash et brutalement en $t$, donc la "moindre action" est "réalisée à tout instant") le PMA (principe de moindre action, mince, le sigle est choquant) s'applique, c'est donc prétendre que:
$$ s\mapsto [P(t,s) - P(d(s), s)] $$
est une fonction constante.
7/ L'autre hypothèse, interne, est qu'on a une $g$ telle que:
$$ \forall s,t: L(f(s,t),(f(s))'(t),t) = g(t)$$
*** ce n'est pas sarcastique, je rends hommage à son hobby en même temps que je rends plus clair la "faiblesse" de l'hypothèse (donc la force du théorème: il s'en faut de beaucoup pour que les expressions en jeu n'aient pas de primitives).
Ayant pu me connecter dans une salle, j'essaierai de faire moi-même le calcul, mais je suis ULTRALENT en calculs, donc si toi ou fys pouvez me dire si ça entraine***** qu'une fonction intéressante est temporellement constante** (ou tout simplement si ça entraine ton hypothèse 1**), j'en serais ravi.
***** "ça" voulant dire "les hypothèses 1+2+3+5+6+7
** $(s,t)\mapsto \phi(s,t) =(s,t) \mapsto h(s) $ pour des "bonnes" $\phi,h$
Par exemple, dans mon post avec mes notations, par quoi veux-tu remplacer l'hypothèse $1$ ?
Pour chaque s, la dérivée de l'expression P(t,s) - P(d(s), s) par rapport à s est nulle
Et les deux autres hypothèses sont:
2/ Dérivée de l'expression P(t,s) par rapport à la variable t est égale à L(f(s,t),f'(s,t),t)
3/ L(f(s,t),f'(s,t),t) ne dépend que de t.
En notant f'(s,t) la dérivée de l'expression f(s,t) par rapport à t
Une reformulation de mon hyp1 est que P(t,s)-P(d(s),s) ne dépend que de t.
Pour tout $s$, on pose $P_s$ une primitive de $f \circ g_s.$
Soit l'hypothèse suivante :
Hypothèse 3 Il existe une fonction $h : \R \to \R$ suffisamment régulière telle que $\frac{d}{ds} (s \mapsto P_s(t) -P_s(h(s))) = 0$ pour tout $t \in \R.$
En gros, les questions à se poser sont
Q1) A-t-on "Hypothèse 3 + 2 implique Hypothèse 1 + 2" ?
Q2) Si ce n'est pas le cas, est-ce que "Hypothèse 3 + 2" implique tout de même que le $\varphi$ défini dans mon post est constant ?
Q3) Si ce n'est toujours pas le cas, est-ce qu'au moins "Hypothèse 3 + 2" implique l'existence d'un $\varphi$ non-trivial qui est constant ?
Ai-je bien reformulé tes idées ?
$$0 = \frac{d}{ds} (P_s(t) -P_s(h(s))) = \frac{d}{ds} \int_{h(s)}^{t} (f\circ g_s)(y)dy \underset{Leibniz}=-h'(s) (f\circ g_s)(h(s)) + \int_{h(s)}^{t} \frac{d}{ds} (f\circ g_s)(y)dy.$$ Mais en utilisant l'hypothèse $2$, on voit donc bien que $$0 = \frac{d}{ds} (P_s(t) -P_s(h(s))) = -h'(s) (f\circ g)(h(s))$$ pour tout $s \in \R.$ Ceci permet d'exprimer ton hypothèse sous la forme simple $h' \cdot f \circ g \circ h = 0.$
@Cyrano et foys: au delà même de lire, le problème pour l'heure que je rencontre quand j'y pense de tête est le suivant et il est non pas que je n'arrive pas à prouver ceci ou cela, mais que de quelque manière que je m'y prenne, on a trop d'hypothèses et on obtient un peu trop facilement ce qu'on veut.
Je redis donc ce que j'ai déjà dit, en le formulant de la manière la plus simple possible.
1/ D'abord un slogan très simple: on a une fonction $C^\infty$ de $\R^2$ dans $\R$ dont on suppose que la dérivation par rapport à la première variable (je la noterai $a$) suivie de la dérivation par rapport à la deuxième (je la noterai $t$) donne la constante nulle. Et bien, les deux dérivées intermédiaires sont telles que l'une ne dépend que de $a$ et l'autre que de $t$. Or les hypothèses ont tout l'air de donner exprès ça :-S
2/ Plus rigoureusement, lorsqu'on calculera une action, on devra intégrer calculer quelque chose de la forme suivante:
$$ \psi(a) := \int_{d(a)}^{f(a)} \ L(a,t)dt$$
mais on peut très bien supposer qu'on a une primitive, ie que $L = [(a,t)\mapsto \frac{\delta P}{\delta t} (a,t)]$.
3/ Dire que $L(a,t)$ ne dépend que de $t$, c'est juste dire qu'après avoir dérivé $P$ par rapport à $t$, on va ensuite obtenir la constante nulle quand on va dériver par rapport à $a$, et par Schwarz , en dérivant d'abord $P$ par rapport à $a$, puis ensuite par rapport à $t$ on obtient la constante nulle, ce qui fait que la dérivée de $P$ par rapport à $a$ ne dépend pas de $t$ (et peut être appelée "un truc qui se conserve dans le temps")
4/ A bien noter que je ne suppose rien d'autre que LA SEULE EXISTENCE de $P$ suffisamment régulière, qui donne $L$ après avoir été dérivé par rapport à $t$. Par exemple, il n'y a pas "d'hypothèse1" à la Cyrano, il y a juste l'hypothèse2 évidente et assumée.
5/ De plus pas de considérations de vitesses, positions où je ne sais quoi.
6/ En bref, je voudrais savoir si ces Lapalissades sont "le théorème de Noether", car si oui, le scandale de sa présentation est encore plus saillante.
7/ En gros, je résume: quand tout est régulier et quand une fonction de $(a,t)$ ne dépend que de $t$ et dérive par rapport à $t$ d'une fonction $P$ de $(a,t)$ alors la dérivée de $P$ par rapport à $a$ ne dépend que de $a$ et peut s'appeler un "phénomène de conservation" si on pense à $t$ comme au temps.
8/ C'est juste une façon d'énoncer le lemme de Schwarz avec poésie!!!!!!! (Je ne critique pas Noether, je veux juste savoir quelle valeur ajoutée elle apporte et quelle hypothèse elle ne fait pas (puisque je n'en ai faite que deux: l'habituelle + l'existence de $P$
Il se peut aussi, j'ai tapé vite, que j'ai fait une grosse erreur de calcul ou un oubli
9/ Pour finir, si je faisais oeuvre de "pédagogisme", je dirais: "vous avez un $L$ (c'est un secret, ne le dites pas, c'est un machin qui s'appelle Lagrangien ou Hamiltonien dans un autre TD), tel que L(a,t) ne dépend que de t, et bé si vous voulez briller dans les diners en ville, vous en cherchez une primitive $P$ par rapport à $t$, que vous dérivez ensuite par rapport à $a$ et vous annoncez que vous avez découvert une loi de conservation issue de $L$ car $P(a,t)$ ne dépend que de $a$"
J'espère que Noether, ce n'est pas "que ça" quand-même :-S ????? J'ai buggué quelque part?
Algorithme issu de mes trivialités précédentes: partant de $(a,t\mapsto )L(a,t)$, primitiver par rapport à $t$, puis dériver par rapport à $a$, puis renvoyer le résultat et réclamez votre salaire.
Bon évidemment je pense que je viens de dire des trucs peut-être erronés ou pas très sérieux, mais sous la proba que j'ai raison, j'espère que Schwarz et Noether ont eu l'occasion de se voir et plus si affinités ... :-D
10/ Notre problème (ou celui de Noether) n'est pas de trouver un truc invariant dans le temps, mais de trouver "le bon".
11/ En effet, notre $P$ peut valoir n'importe quelle fonction de la forme $(a,t)\mapsto f(a)+g(t)$, où on a bien $g$, mais où n'importe quelle $f$ qui est $C^\infty$ fait l'affaire.
12/ Donc on n'arrive à rien avec l'algorithme non déterministe que j'ai proposé, car le quidam prendra n'importe quelle $f$ sans contrainte.
13/ En fait, du coup j'en reviens à ma relaxe: afin d'être honnête et si on voit ce cadre comme parlant en filigrane de changements de repère, on dispose d'une fonction DEBUT (que j'abrège par $d$ qui est telle que la BONNE $P$ cherchée vérifie :
$$ \forall a,t: P(a,t) - P(a,d(a)) = h(t) + m(a)$$
où $h,m$ sont des fonctions qui nous sont imposées par le contexte ($d(a)$ est juste le début de l'histoire regardée dans le repère $R_a$ qu'on étudie, car il serait malhonnête de prétendre que le début des histoires est toujours le même quand on change de repère) et $m(a)$ le bilan de l'intégrale d'action de l'histoire vue dans le repère $R_a$.
14/ Et cette hypothèse supplémentaire ne laisse plus le choix au quidam, puisque qu'on doit avoir:
$$ \forall a,t : f(a)+g(t) - (f(a) + g(d(a))) = h(t) + m(a)$$
15/ Ce qui donne $P(a,t)=h(t) + (m(a) + P(a,d(a)))$ et ne laisse aucun choix sur quelle $f$ choisir puisque ça DOIT êrte forcément : $a\mapsto m(a) + P(a,d(a)) $
Or depuis tout à l'heure je galère à me demander quelles fonctions constantes sont importantes parmi la pléthorique liste de fonctions constantes qu'on peut déduire de la seule hypothèse 2 de Cyrano
En outre, en relisant foys, je m'aperçois qu'il intègre avec des bornes fixes, donc me relâchement ne sert à rien.
En fait, ce qu'est censé donner Noether c'est une fonction (une grandeur) qui pour tout $a,t$ peut être mesurée*** avec des instruments à l'instant $t$. Et ça ça m'avait complètement échappé. Donc vous pouvez oublier ce que j'ai dit avant, je n'ai raconté que des évidences vides, qui n'ont rien à voir avec la motivation. C'est comme si j'avais dit $\int_0^1 L(f'(a,t),f(a,t),t) dt$ ne dépend pas de $t$, ce qui est tautologique mais hors-sujet, car ce truc ne se mesure pas avec des compteurs, des pèse-personne, etc.
*** l'intégrale du Lagrangien ne peut pas tellement l'être puisque dépend de toute l'histoire passé.
Pour l'instant ma situation est la suivante: on a des constantes dans tous les sens, donc pourquoi choisir ta phi? :-S
Je ne m'attendais pas à ce problème: non pas de ne pas pouvoir prouver l'existence de constantes, mais d'en avoir plein et de se demander pourquoi "celle de Noether est chouette".
Pour l'heure j'en suis encore à ne pas "digérer" ton hypothèse1 que ta as métaphoré avec "somme des forces = ma", car bien évidemment que si on dit remplace $f$ par une $f-g$ où on fait exprès que $g" = f"$ par exemple, on obtient ce qu'on veut. Je n'ai jamais trouvé très légitime de créer des cases comptables pour équilibrer le bilan final or avec somme des forces = ma c'est très exactement ce qu'on fait (on dit ça accélère, inventons une force qui produit exactement cette accélération, comme ça, notre loi est préservée)
Preuve de Cyrano recopiée (où j'enlève quelques signes qui me gênent un peu la vue).
1/ Soit $L: \R^3$ dans $\R$, $q$ de $\R^2$ dans $\R$ (je reprends tes notations, sauf pour $L$). Je note $g:=(t\mapsto q(t,0))$ car je ne me servirai pas de la fonction que tu appelles $g$.
Je note $D_i$ l'opérateur qui dérive par rapport à la $i$ ième variable.
Ton hypothèse1 dit que $[t\mapsto D_2(L)(g(t), g'(t), t]' = [D_1(L)(g(t), g'(t), t)]$, sauf erreur. Je trouve ça assez fascinant et gratuit pour l'heure, mais comme je n'ai encore rien compris :-D (J'ai bien compris que foys le prouve et que ça s'appelle Euler-Lagrange)
Tu définis la fonction $\phi$ par $\forall t: \phi(t) := D_2(L)(g(t),g'(t),t) \times D_2(q)(t,0)$
L'hypothèse "Noethérienne" (ton hypothèse2) qui elle m'est TOTALEMENT familière est la suivante: il existe $h$ telle que
$$ \forall t,a: L(q(t,a), D_1(q)(t,a),t) = h(t)$$
C'est une hypothèse qui dit que nous regardons une histoire (décrite dans le repère $R_0$ par $g$ dans différents repères $R_a$ où elle apparait être $[t\mapsto q(t,a)]$ , mais comme L est un invariant...)
Voilà, voilà, j'ai déjà réécrit ce que tu m'as donné avec mes notations sans quotient ni deltas. Avant de recopier ta preuve, je vais aller boire un apéro et réfléchir, pour déjà voir si je ne peux pas "guess tout seul".
Au post suivant, je recopierai ta preuve.
En tout cas grand merci à toi et foys pour vos informations. Je les mâche et digère, certes, à ma manière et dans un temps long, mais c'est ma marque de fabrique face aux calculs. J'essaie, même s'il me faut plusieurs mois, de "passer outre" pour avoir un truc "chevillé au corps" ensuite.
En espérant ne pas avoir fait d'erreur. Je ne vois pas trop pourquoi on considère que la grandeur $\phi$ se mesure avec des instruments, mais on verra ça plus tard.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1699374,1700076#msg-1700076
Car je voudrais travailler ce phénomène logiquement dans le futur et vite retrouver le fil. Et je n'ai toujours pas cerné ce qu'il se passe.