Moindre action, entropie maximale etc.

D'abord, c'est l'entropie totale d'un système qui est censée augmenter au fil du temps : son entropie interne peut parfaitement bien diminuer. Voir par exemple le phénomène de cristallisation d'un liquide, avec perte de chaleur (seule énergie génératrice d'entropie) donc augmentation du désordre externe de l'atmosphère, mais "rangement" des molécules (baisse d'entropie) en réseau cristallin. Toutefois le désordre total augmente - je rappelle que l'entropie a été reliée par L. Boltzmann au nombre d'états microscopique du système.

A la "fin de l'univers" (en supposant une fin assez lointaine), la physique prédit un désordre total (entropie maximale) : les maths sont-elles un désordre de ce type ou plutôt...le contraire ?

Il faudrait donner plus de sens/cohérence à ta question. Tu sembles confondre "atemporel" et "à temps infini".

Bien sûr, ça n'empêche pas Cc de répondre.

On peut par exemple dériver tout et n'importe quoi , ça n'a pas de valeur scientifique mais ça fait réfléchir.

Oui, comme dériver toutes les vitesses possibles et imaginables en physique relativiste et y voir à chaque fois une valeur physique ("observateur en temps propre") derrière...

christophe c a écrit:

Réciter science et vie n'apporte pas forcément un éclairage très précis d'autant que l'approche de Boltzmann n'est pertinente et profonde que dans le cadre de la TQ et que c'est Carnot qui a présenté les bons arguments formels SANS SUPPOSER que "les choses dont composees de petites billes appelées "particules élémentaires".

Les résultats de Boltzmann sont juste des résultats de probas en bonne et due forme ...

Pardon j'ai été un peu sec foys. Je développé un peu mais on a déjà pas mal discuté tous les deux de notre "désaccord" non mathématique sur le chaos déterministe. Ta réplique est un écho à ça.

Par contre , en ce qui ME concerne je visais à signaler tout à fait autre chose: je précise donc.

1/ La thermodynamique N'est pas une théorie dite "fondamentale". Son statut est d'être "à toute fin pratique". D'où utilisation des statistiques.

2/ Boltzmann DEVIENT BIEN FONDAMENTAL mais SEULEMENT EN TQ où ça a un vrai sens absolu de perdre une information (en TQ elle disparaît au sens propre indépendamment de tout observateur elle n'est pas juste ignorée c'est dans le formalisme, il y a remplacement et non pas addition)

3/ Il est important de bien comprendre QU'AUCUN théorème de physique ni aucune loi physique n'établit le slogan "l'entropie monte". C'est un constat bête et méchant que l'on fait et qui est MYSTERIEUX. La plupart des physiciens disent que c'est parce qu'on est parti d'un univers Très ordonné. Autrement dit l'entropie ne monte ACTUELLEMENT que parce qu'on est à BASSE entropie. C'est une variable de "constat". Je rappelle que les lois de la physique sont REVERSIBLES (l'histoire du monde passée à l'envers respecte TOUTES les lois de la physique. Suffit juste de remplacer i par -i)

4/ La théorie de Boltzmann a l'avantage d'être simplissime (on met juste un log pour ne pas avoir des nombres trop grands) MAKS TROMPEUSE puisque seule la TQ dit qu'il y a "un nombre fini" de "configurations"

5/ Elle s'applique très mal à autre chose que des fluides perçus (et c'est discutable) comme à la période prequantique. Mais elle marche très bien post quantique (le paradigme quantique à tout fluidifié en quelque sorte :-D)

6/ Les thermodynamiciens ne l'utilisent que théoriquement pour des calculs de valeurs. Mais la bonne approche est celle de Carnot.

7/ L'un des petits cours de Feynman est limpide dur ce chapitre (et il range gentiment Boltzmann dans un paragraphe discret et raisonne complètement avec Carnot.

christophe c a écrit:

3/ Il est important de bien comprendre QU'AUCUN théorème de physique ni aucune loi physique n'établit le slogan "l'entropie monte". C'est un constat bête et méchant que l'on fait et qui est MYSTERIEUX.

Tu n'arrives toujours pas à renoncer à l'idée qu'il serait indispensable qu'il existe une sorte de force qui contraindrait la nature à "se compenser" car "sinon" les pièces "n'auraient pas 50% de pile mais 35%, 82%" etc (énoncés analogues avec des dés, ou des gaz à l'équilibre ou ce que vous voudrez).

C'est un peu cette erreur que commettaient les anciens quand ils pensaient que la chaleur est un fluide (à leur corps défendant ils n'avaient aucun moyen d'investigation physique, il a fallu des siècles pour comprendre ce qui se passe).

Les probas n'étudient pas des phénomènes causaux (et n'ont jamais prétendu le faire) mais décrivent des raretés de certains arrangements du réel.

christophe c a écrit:

Je rappelle que les lois de la physique sont REVERSIBLES (l'histoire du monde passée à l'envers respecte TOUTES les lois de la physique. Suffit juste de remplacer i par -i)

Le gaz rentre spontanément dans 10% du volume de l'enceinte après un temps moyen de 10^(100^100000) ans (au pif) et il n'y a plus de paradoxe. Pareil pour la blague du démon de Maxwell ou de l'oeuf cassé qui retourne dans sa coquille. Tout est affaire d'ordres de grandeur de durée.
Dans la même veine en fait l'entropie n'augmente pas sauf sur des périodes courtes (devant 10^100^1000 mais quand même très longues par rapport à une vie humaine).

christophe c a écrit:

4/ La théorie de Boltzmann a l'avantage d'être simplissime (on met juste un log pour ne pas avoir des nombres trop grands) MAKS TROMPEUSE puisque seule la TQ dit qu'il y a "un nombre fini" de "configurations"

On peut définir l'entropie pour des densités.
Soit $(X,\mathcal A,\mu)$ un espace mesuré et $f: X \to \R_+$ intégrable telle que $\int_X fd\mu = 1$. Alors on définit l'entropie comme étant le nombre $S(f):= \int_{u \in X} -f(u)\log \left ( f(u)\right) d\mu(u)$.

En fait $\mu$ est l'unité de volume de $X$ et $H$ mesure la dispersion de $f$ (par ex- avec $\mu(X)$ fini, $H(f)$ va être maximal et égal à $\log \left (\mu(X) \right)$ si et seulement si $f$ est constante, $S(f)$ est petit lorsque $f$ est très concentrée; si $N$ est grand les parties de $X^N$ qui ont un volume le plus petit possible au sens de $\mu^{\otimes N}$ mais quasiment égal à $1$ au sens de $f$, ont un $\mu$-volume dont le log est environ égal à $NS(f)$ etc).

@Ltab: merci de "rendre justice" à Clausius (je verifierai si ton info est historique est correcte)

Précision : je ne critique absolument ni Boltzmann ni Avogadro ni Clausius etc. Je n'ai d'ailleurs aucune connaissance historique. Et ces TRÈS GRANDS SAVANTS ont fini dans le suicide ou le malheur à cause de leurs pairs qui étaient bas du front et un peu bouchés ce qui est dramatique.

Mon positionnement est strictement logique (je rappelle où des hypothèses sont faites ou encore de manière équivalente où des trucs ne sont pas A PRIORI pour ce que j'en sais DÉDUITS du reste. )

Tes liens ne marchent pas

En abrégeant "amplitude de probabilité" par "aproba"

Cc : dans ta liste de savants, seul Boltzmann s'est suicidé dans la méconnaissance générale (et c'était plus pour des raisons personnelles), Clausius et Avogadro étaient très bien reconnus (le premier a même été décoré par l'ennemi français, qu'il a combattu lors de la guerre franco-prussienne).

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,1700134,1700820#msg-1700820

Attention, le paramètre de la température est parfaitement bien inclus dans la formule d'entropie de Boltzmann : le nombre de complexions $\Omega$ tient compte à la fois du volume et de la température macroscopiques (il s'agit simplement au niveau microscope de six degrés de liberté accordés à chaque particule pour définir sa complexion).

Les approches microscopique de Boltzmann et macroscopique de Clausius pour l'entropie sont tout à fait compatibles (c'est à la base de la thermodynamique) et c'est la première qui a justifié physiquement la seconde (les physiciens recherchent naturellement à poser leurs axiomes dans "l'infiniment petit").

Je n'ai pas trop le temps mais le reste de tes propos est également très discutable (au bas mot, pour rester gentil).

Cc: d'après mes souvenirs, Avogadro était aussi un juriste très engagé politiquement. C'est ce qui lui a causé des soucis lors de certaines nominations comme professeur d'université, etc.

Je préciserais pour la physique une fois sur un PC.

De mon téléphone.

O.K de rien.

Je reviens afin de te donner quelques éléments de réflexion. Comme je disais, on peut passer de l'entropie $S$ de l'équation de Boltzmann (fonction de grandeurs microscopiques comme la position r et la vitesse v des particules), $S = k_B \ln \Omega$, à une entropie fonction de grandeurs macroscopiques - l'énergie interne $U$ (somme des énergies cinétiques de toutes les particules), la température $T$ (mesure de l'agitation des particules, intimement liée à $U$) et le volume $V$ : c'est l'entropie au sens de Clausius.

1) L'approche microscopique fait intervenir 6 degrés de liberté par particule (3 de position + 3 de vitesse), d'où $6N$ degrés de liberté au total pour un gaz de $N$ particules.

2) L'approche macroscopique quant à elle n'utilise que 3 degrés de libertés : $U$ ou $T$, $V$ et $N$.

Pour justifier l'approche 1) à partir de l'approche 2), il faut réussir à exprimer le nombre de complexions $\Omega$ (nombre d'états microscopiques possibles du système) à l'aide de grandeurs macroscopiques.

C'est ce que réalise l'équation générale dite de Sackur-Tetrode (1912) :

$$S = Nk_B \left[ \ln \left(\frac{V}{N} \right) + \frac{3}{2}\ln \left(\frac{U}{N} \right) + \frac{3}{2}\ln \left(\frac{4\pi m}{3 h^2} \right) + \frac{5}{2} \right]$$

où $h$ est la constante de Planck, $m$ la masse de chaque particule.

Les deux derniers termes tiennent compte des caractéristiques internes "fixes" des particules et du principe d'incertitude de la mécanique quantique : elles ne dépendent pas des grandeurs macroscopiques. L'approche purement statistique de Boltzmann, ignorant ces caractéristiques, avait conduit à :

$$S = Nk_B \left[ \ln \left(\frac{V}{N}\right) + \frac{3}{2}\ln \left(\frac{U}{N}\right) + s_0\right] \quad (1)$$

où $s_0$ est une constante non déterminée jusqu'à Sackur et Tetrode, mais prédite par Boltzmann. Elle prend en compte le volume élémentaire sur lequel discrétiser l'espace des phases (position et vitesse des $N$ particules) : $V_0$ pour la position et $U_0^\frac{3}{2}$ pour la vitesse, constantes laissées inconnues par la physique classique (non quantique). Ces constantes sont nécessaires pour a-dimensionner les nombres de complexion.

Je ne détaille pas la démonstration un peu longue de $(1)$ (mais qui ne fait intervenir que des distributions statistiques classiques, dites de Boltzmann-Maxwell, des particules suivant leurs énergies, ainsi que des opérations de pur dénombrement).

Remarquons simplement que l'équation $(1)$ s'obtient entièrement à l'aide de la formule d'entropie de Boltzmann $S = k_B\ln \Omega$.

En effet, faisons d'abord apparaître à partir de la constante $s_0$ les volumes des phases élémentaires $V_0$ et $U_0^\frac{3}{2}$ respectivement pour la position et la vitesse d'une particule, en définissant une nouvelle constante $s'_0$ par : $s_0 = \ln s'_0 - \ln V_0 - \frac{3}{2}\ln U_0$.

Alors $(1)$ est équivalente à :

$$S = k_B \ln \left[ \left(\frac{V}{NV_0} \right)^N \right] + k_B \ln \left[ \left(\frac{U}{NU_0} \right)^{\frac{3N}{2}}\right] + k_B \ln \left(s'^N_0 \right)$$

qui peut s'écrire :

$$S = S_V + S_T + S_0\quad (2)$$

où $S_V = k_B \ln \Omega_V$, $S_T = k_B \ln \Omega_T$ et $S_0 = k_B \ln \Omega_0$.

Or, on peut montrer que $S_0=0$ grâce au 3ème principe de la thermodynamique (l'entropie est nulle à la température du zéro absolu ou $0 K$) : en effet, à $0 K$ toutes les entropies sont nulles car tout mouvement microscopique est littéralement "figé", soit $S=S_V = S_T=0$, d'où la valeur de la constante $s'_0=1$ et :

$$S = S_V + S_T\quad (2')$$

L'équation $(1)$ est donc équivalente à

$$S = k_B \ln \left[ \left(\frac{V/N}{V_0} \right)^N \right] + k_B \ln \left[ \left(\frac{U/N}{U_0} \right)^{\frac{3N}{2}} \right] \quad (1')$$

L'essentiel est de reconnaître dans les deux sous-entropies respectives du système, $S_V$ et $S_T$ (obéissant à l'équation de Boltzmann), les nombres de complexions : $\Omega_V = \left(\frac{V/N}{V_0} \right)^N$, lié au volume, et $\Omega_T = \left(\frac{U/N}{U_0} \right)^{\frac{3N}{2}}$, lié à la température.

Chacun d'entre eux exprime au niveau microscopique le nombre d'états possibles à l'équilibre de $N$ particules identiques où chacune aurait $\frac{V/N}{V_0}$ possibilités pour sa position, et $\left( \frac{U/N}{U_0} \right)^{\frac{3}{2}}$ possibilités pour sa vitesse dans les trois directions de l'espace.

En effet, tout se passe comme si à l'équilibre chaque particule avait à sa disposition un volume $V/N$ dont elle ne peut plus sortir (c'est-à-dire que les $N$ particules se partagent équitablement le volume total $V$). Or, chacun de ces petits volumes est composé de volumes élémentaires $V_0$, ce qui fait bien $\frac{V/N}{V_0}$ possibilités pour la position de la particule.

Même raisonnement pour la vitesse : on distribue à l'équilibre l'énergie interne $U$ entre les $N$ particules, on élève à la puissance $3/2$ pour avoir un volume de vitesses (dans l'espace 3D des vitesses), enfin on divise le résultat $(U/N)^\frac{3}{2}$ par le volume de vitesses élémentaire $(U_0)^\frac{3}{2}$.

Le nombre total d'états possibles des $N$ particules est alors (en respectant leurs degrés de libertés) : $\Omega = \Omega_V. \Omega_T$.

Il est alors facile de voir (règle de linéarisation des produits par les logarithmes) que :

$$S = k_B \ln (\Omega) = k_B \ln \left(\Omega_V.\Omega_T \right) = S_V + S_T$$

où l'on reconnaît l'équation $(2')$.

Sachant que l'on a la relation : $$U = 3N<\frac{1}{2}m v_x^2> = \frac{3}{2}N k_B T$$ (issue du théorème d'équipartition de l'énergie interne par degré de liberté), on peut aussi exprimer $U$ en fonction de la température :

$$S = Nk_B \left[ \ln \left(\frac{V}{NV_0} \right) + \frac{3}{2}\ln \left(\frac{3}{2U_0} k_B T \right) \right] \quad (3)$$

A présent, on peut montrer que cette relation est équivalente à la relation macroscopique de Clausius pour la variation d'entropie totale d'un gaz parfait lors d'une réaction réversible :

$$dS = \frac{\delta Q}{T} \quad (4)$$

L'entropie étant une grandeur extensive, on peut toujours se ramener à ce cas réversible pour calculer la variation d'entropie d'une transformation quelconque (réversible ou non).

D'après le second premier principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne est égale à la somme du travail et de la chaleur échangés par le système :

$$dU = \delta W + \delta Q$$

Par ailleurs, on sait que pour une transformation réversible :

$$\delta W = -PdV$$

En effet, la pression $P$ du gaz est une force surfacique $F/S$ travaillant lorsque le volume varie : la force $F$ est d'intensité égale mais de sens opposé à la force $F_{ext}$ due à la pression extérieure $P_{ext}$ dans le cas réversible. D'où le travail des forces extérieures sur le gaz parfait : $\delta W = P_{ext}dV = -PdV$.

Ainsi, $(4)$ est équivalente à :

$$dS = \frac{P}{T}dV + \frac{1}{T}dU \quad (5)$$

Maintenant, pour retrouver $(5)$ (entropie de l'approche macroscopique), nous allons différentier $(1)$ (entropie issue de l'approche microscopique), d'où :

$$dS = Nk_B \left[ \frac{dV}{V} + \frac{3}{2} \frac{dU}{U} \right] \quad (6)$$

Or, d'après ci-dessus : $U = \frac{3}{2}N k_B T$, d'où le second terme de $dS$ dans $(6)$ :

$$\frac{3}{2}Nk_B \frac{dU}{U} = \frac{1}{T}dU$$

Par ailleurs, d'après la loi des gaz parfaits : $$\frac{P}{T} = \frac{nR}{V}$$

où $n = \frac{N}{N_A}$ est le nombre de moles du gaz, $N_A$ la constante d'Avogadro et $R$ la constante des gaz parfaits telle que $k_B = \frac{R}{N_A}$, d'où : $Nk_B = nR$ et, pour le premier terme de $dS$ :

$$Nk_B \frac{dV}{V} = \frac{nR}{V}dV = \frac{P}{T}dV$$

En remplaçant dans $(6)$, on retrouve bien enfin la relation macroscopique $(5)$ :

$$dS = \frac{P}{T}dV + \frac{1}{T}dU$$

Les "deux" entropies sont donc strictement identiques, mais seulement grâce à l'approche atomique de Boltzmann. Comme je l'ai dit, elle permet de retrouver les grandeurs macroscopiques telle que la température $T$ (que tu croyais "réservée" à Clausius/Carnot), d'expliquer pourquoi l'entropie augmente et pour quelle raison l'équilibre du système est atteint à entropie maximale : c'est simplement l'état où il y a le plus de configurations microscopiques possibles, ou complexions $\Omega$ (grâce à la formule de Boltzmann, $dS \geq 0 \Leftrightarrow d\Omega \geq 0$).

A l'équilibre ($dS = 0$), le système devient stable et homogène, au sens où le nombre d'états microscopiques correspondant à son état macroscopique est maximal : il deviendra très "difficile" de faire sortir la Nature d'un tel état à l'aide de petites perturbations (irréversibilité).

Je te laisse avec ça pour l'instant (c'est déjà pas mal). Ne pas hésiter pour toute question.

Édits : précisions sur l’a-dimensionnement des nombres de complexion dans l'équation de Sackur-Tetrode. Justification de leur obtention par dénombrement des états possibles de positions-vitesses des particules. Démonstration de $S_0 =0$. Quelques détails de rédaction.

Précision : si tu ne prétendais pas prouver quelque chose mais signaler des formules ma réaction aurait plus positive.

En reformulant peut être seras tu plus suivable?

Ltav a écrit:

et indique-moi la première ligne qui te pose problème.

La première est: Je reviens vers toi afin de te donner quelques éléments de réflexion

Ca veut dire quoi précisément "me donner des éléments de réflexion" si ce n'est pas pour argumenter? Mettre quelques noms savants sur quelques formules???? :-S Est-ce que tu crois que quand on ne connait pas une formule, juste la lire va faire avancer le schmilblick?

La deuxième est: Comme je disais, on peut passer de l'entropie S de l'équation de Boltzmann (fonction de grandeurs microscopiques comme la position r et la vitesse v des particules), S = klnomega, à une entropie fonction de grandeurs macroscopiques

Ca veut dire quoi "on peut passer"? Moi je passe sans problème de 5pesetas à 10^60 euros. J'efface le chiffres 5 et les lettres pesetas et j'écris un 1, un zéro, etc

Ces deux premières lignes "qui me posent problème" sont les deux premières phrases de ton post

Je ne continue, tout est à l'avenant. Il n'y a rien qui distingue ton post d'un dialogue ou monologue de roman de science fiction: des phrases vides, et des formules savantes (probablement recopiées dans des documents fiables). Je ne parle même pas de ton incompréhension de la notion de degrés de liberté (encore un endroit où tu te risque à être précis et où tu chutes) et ta façon de les introduire comme différence entre macro et micro (mais comment tu peux écrire une idiotie pareille alors que probablement ton souci est au moins de donner le change :-S :-S ).

:-S, c'est dingue en plus, même les coquilles de l'auteur original du texte tu les recopies sans recul: exemple collector:

Ltav a écrit:

D'après le second principe de la thermodynamique, la variation d'énergie interne est égale à la somme du travail et de la chaleur échangés par le système :

Et je suis TOUT SAUF un expert en thermodynamique!!!!! Faut vraiment y aller pour perdre ma confiance dans un domaine où on a tout à m'apprendre.

Je m'arrête avec une dernière "interprétation" (??) signée par toi Ltav:

Ltav a écrit:

Les "deux" entropies sont [large]donc[/large] strictement identiques, mais seulement grâce à l'approche atomique de Boltzmann. Comme je l'ai dit, elle permet de retrouver les grandeurs macroscopiques telle que la température T (que tu croyais "réservée" à Clausius/Carnot), d'expliquer pourquoi l'entropie augmente

Annexe: je voulais écrire "de l'avis de tous" et non "de l'avais de tous"

Bonne chance à toi. Je crois que je viens de comprendre qui tu veux convaincre que tu t'y connais et ce n'est pas nous. Je ne veux pas te servir d'instrument.

Tu n'as même pas corrigé ta coquille et je soupçonne que tu ne la vois pas.

Il n'y a pas d'animosité. Je ne prétends pas que tu es un gourrou. Juste un homme qui se bat pour sauver la face auprès "d'obliges" locaux.

Ni les lecteurs du forum ni moi ne te disons tout ce que tu révéles de manière "criarde" avec tes notations et je pense ne pas être le seul à croire que tu souffres corporellement je veux dire. Je ne peux même pas me mettre à la place en imagination de quelqu'un qui recopié des formules savantes mais doit ronger son frein en se demandant s'il doit écrire plutôt << ln(2^3)>> ou plutôt << ln(2)^3>> : le mal aux yeux, au dos, aux mains qui résultent de ces corveed n'est en rien négligeable.

La seule "civilisation" que je connaisse qui souffre face à des parenthèses est celle composée des ados français de 15ans en première ES en 2018.

Etc etc. Bref, mon "bonne chance" est sincère et sans arrière pensée.

christophe c a écrit:

Moi je passe sans problème de 5pesetas à 10^60 euros

On n'en doute pas ! Mais pour qui a un rapport raisonnable aux réalités du monde qui l'entoure, le passage aboutirait plutôt à 0,03 euro.

Avant de mettre des liens savants (qui je le rappelle ne prouvent rien car NE DEDUISENT PAS. Ça ne leur enleve leurs autres éventuelles valeurs), pourquoi ne corriges-tu pas tes coquilles dans le premier post avec plein de formules savantes? C'est tout de même dommage de les laisser, non?

Les vois-tu lesdites coquilles au moins? (J'en ai évoqué deux, et me cité une). As-tu une pratique des parenthèses complètement étrangère aux conventions connues en Europe? Auquel cas ça mérite d'être explicité.

Cc, pour te répondre, tu parles des parenthèses à puissance dans les logarithmes ?

Au lieu de t'intéresser aux coquilles, tu as là une belle occasion de plus de poser des questions techniques utiles, apprendre un peu de physique sérieuse et même "vérifier mon niveau" si ça te chante. N'est-ce pas plus intéressant que de me pousser vers des exercices de CM2 ou collège qui n'arrangeront rien à ta pathologie sur les préjugés ?

Ici, je te propose directement d'échanger sur de la science de niveau universitaire - en sachant que tu avais déjà raté les occasions sur la MQ et la relativité, où j'avais bien compris que tu n'arrivais pas à suivre, ni à apprendre, en partie aussi à cause de tes préjugés. Essaie de faire mieux si possible.

Si tu ne veux pas qu'on te démasque ton dernier post est idiot. Tu pousses trop loin ton "film" au détriment des autres. Même si je ne mets pas sur un même pied un gars qui risque des trucs du genre "sa vie" (ou une pension?) dans tel ou tel pays et un simple insulte sur un forum mais la répétition continuelle de remarques comme celles de ton dernier post donne une fooooolle envie de "te dénoncer" et signaler en ligne ton niveau (preuves à l'appui**)

Alors conseil: évite , tu as déjà été très lourd. N'oublie pas que même si "Tes juges" sur place y connaissent rien en science tu as déjà laissé pas mal de traces sur le forum qui sont publiques et si tes contraigneurs locaux veulent d'évaluer il ne leur serait pas difficile de trouver DANS LEIR ENVIRONNEMENT proche quelqu'un pour les informer.

** Il te faudrait des heures pour effacer tous tes posts et en plus ce serait interprété à charge.

Précision: si tu places mal tes parenthèses et ne parviens pas à réparer (c'est plus cinquième que CM2 comme tu dis) comment veux tu qu'on sache ce que tu veux dire.

Ok ok bin écoute assume: je reconnais que je fais du roman couleur mais j'ai tenté de comprendre les causes de ton attitude et réuni les éléments dont on dispose, y compris les heures où tu postes.

Ça n'a rien de scientifique et j'ai déjà posté plus en détails mon cheminement dans l'autre fil hier il me semble. TANT MIEUX si je me trompe!

Mais du coup ça n'explique pas pourquoi tu simules comme ça (et le temps inouï que ça te prend quand on imagine que tu n'arrives même pas à choisir entre ln(2^3) et ln(2)^3 et le stress que ça induit de devoir choisir au hasard avec risque de plante) et ce que tu gagnes ou perds.

Je trouve clair que $\ln(x)^N = N.\ln(x)$ démontre une utilisation toute particulière des parenthèses ou une incompréhension totale.

Evidemment c'est $\ln(x^N) = N.\ln(x)$ qui est vrai.

Bonjour,

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/Logarith.htm#propr

http://www.mescours.info/maths-exponentielle__logarithme_neperien-30.xhtml

http://www.mathwarehouse.com/logarithm/rules-and-formula.php

etc.

Les deux notations semblent possibles tout en faisant attention aux ambiguïtés (espaces, etc.). J'avais considéré que la puissance $N$ avait la plus grande priorité (règle bien connue), tout simplement. J'ai quand même mis les crochets dans mon post pour éviter que le débat tourne inutilement autour d'une convention. Merci à petit-o pour l'échange privé sympa que l'on a eu sur cette question.

Cyrano a écrit:

Je trouve clair que $ln(x)^N=N.ln(x)$ démontre une utilisation toute particulière des parenthèses ou une incompréhension totale.

La seconde option est la bonne : l'utilisation des parenthèses n'est pas si particulière. Par contre, l'incompréhension de la physique est suffisamment totale pour s'attarder sur de petits détails de notation (*).

Cc : continue à tourner tout seul autour du pot. J'en conclus naturellement que soit tu n'as pas compris ma démonstration - comme d'habitude -, soit tu n'y vois aucune faille sérieuse (sinon tu penses bien que tu aurais sauté explicitement sur l'occasion). Cela me rappelle la fable du "renard et des raisins", je crois.

Aux vrais "sceptiques" (au sens scientifique noble) qui comprennent, je demande à nouveau de vérifier les preuves.

[small](*) Cyrano, tu ne trouves pas que ma "réputation" sur le forum est déjà assez "salie" comme ça par quelques ignorants et leurs complices ? Que veux-tu de plus ?[/small]