Exercices exutoires à partager

Exercice3 (j'aurais envie de dire "un très très grand classique") :

soit $f$ une fonction définie sur $A$ à valeurs dans $A$, sans point fixe. Prouver l'existence de $g:A\to 3$ telle que $\forall x\in A: g(x)\neq g(f(x))$.

J'ai trouvé ça en cherchant si je pouvais utiliser les ultrafiltres pour "gagner" des points fixes virtuels qu'on n'a pas en mode réel. L'exercice3 nous apprend que c'est vain, je le formalise dans l'exo4.

Exercice4:

Soit $E$ un ensemble et $f:E\to E$ définie sur $E$, sans point fixe. En vous aidant de l'exercice 3, ou autrement, prouver qu'il n'existe pas d'ultrafiltre sur $E$, fixe par $f$, autrement dit, que pour tout ultrafiltre $U$ sur $E$, il existe $A\in U$ tel que $f^{-1}(A)\notin U$

Pardon, je n'ai pas tenu ma promesse, je te mets un plan de mon bahut du coup.

Supposons qu'aucune intersection n'est finie: alors on a un ultrafiltre $W$ non pricipale qui les contient tous.

1/ Prouver qu'il existe une suite $u$ injective telle que $\{X\mid ImageDirecteDe(u) \subset X\}\in W$

2/ En déduire que $W$ est stable par intersections dénombrables

3/ Soit $A$ un ensemble infini. Prouver qu'il existe $\phi: A^\N\to A$ tel que pour toute partie $X$ de $A$ de même cardinal que $A$, et tout $a\in A$, il existe $u$ une suite à termes dans $X$ telle que $\phi(u)=a$

4/ Conclure

Pour 3: penser à $\sigma$ obtenu comme suit. On bien-ordonne l'ensemble des suites injectives à termes dans $A$. Pour toute suite injective $u$, on prend $\sigma(u):=$ la plus petite suite $v$ telle qu'il existe $b(u)>0$ vérifiant $\forall n: v_{n+b(u)} = u_n$, puis $\sigma_2(u):=\sigma(u)(b(u)-1)$. En notations, c'est lourd, mais idée très simple.

On a que pour toute suite injective $u$, il existe $n$ tel que pour tout $p>n: \sigma_2([u_{p+1}, u_{p+2},..>) = u_p$.

Soit alors $X_1\subset A$ tel que $ImageDirecteDePar(X_1,\sigma_2) \neq A$ avec $card(X_1)=card(A)$, puis $X_2$ tel que $NON(ImageDirecteDePar(X_2,\sigma_2) \supset X_1)$, etc, etc.

En prenant une suite $u$ telle que $\forall n: u_n\in X_n\setminus ImageDirecteDePar(X_{n+1},\sigma_2)$, tu obtiens une contradiction. Il suit qu'il existe $X_n$ tel qu'on ne peut pas construire $X_{n+1}$ vérifiant blabla, et ta $\phi$ est obtenue pour $X_n$, que tu peux transporter sur $A$ par bijection.

Tu ne croyais pas si bien dire avec ton jeu de mot, mais je ne peux pas en dire plus :-D