Les classes et les ensembles

Un peu après le début du 20ième siécle, il a été entériné par la communauté scientifique mondiale que ne serait autorisé à s'appeler "ensemble" que les "petits ensembles" (enfin le mot petit est relatif). Du coup, les gens utilisent "collection" ou "classe" pour respecter cette règle de vocabulaire et ne pas utiliser le mot "ensemble".

Cette fixation des normes langagières est venue du fait que si $a$ est l'ensemble des $x$ tels que
alors : $$(1): [a\in a\Rightarrow (a\in a\Rightarrow TEM)]
$$ quand j'abrège par TEM la phrase "tu es milliardaire".

Or les logiques usuelles considèrent que cette phrase entraîne que $$
(2) : [a\in a\Rightarrow TEM] $$ donc que $$ (3): [a\in a]
$$ mais alors que, puisqu'on a (2), que :
Ce qui a quand-même de fortes chances de t'étonner, même s'il existe peut-être au moins un milliardaire sur le forum.

Ce théorème est connu (ou rattaché) sous le nom de la crise qu'il a provoqué la crise des fondements.

La mauvaise décision a alors été prise, consistant à ne pas considérer que $a$ est un ensemble, mais une classe (au lieu de réaliser juste que $a\in a$ est égal à sa négation et donc, d'une certaine façon, a comme valeur "la moitié de Dieu", si on appelle "Dieu" la puissance qu'il faut pour forcer faux à être la même chose que vrai).

Pour plus de détails (et des choses moins correctement racontées hélas), les mots clés sont: "crise des fondements; paradoxe de Russel; paradoxe de Richard; barbier qui se rase lui-même (ou pas); etc". Bon googleage.

@CC,

Il n'existe pas (par exemple) d'ensemble a tel que $\forall x (x \in a \Leftrightarrow x \notin x) $. C'est un fait.
Tu parles d'une mauvaise décision qui aurait été prise. Laquelle ? Celle d'accepter qu'un fait est un fait ?
Quelle autre, bonne, décision (mathématique et non théologique :-) ) aurait-il fallu prendre ?
Pourrais-tu, s'il te plaît, l'exprimer en termes compréhensibles ?

Merci Maxtimax, mais je ne comprends pas. Je ne sais pas ce que tu entends par "la phrase $A \Leftrightarrow \neg A $ est (pourrait être) possible". Mais une logique qui admettrait qu'elle est vraie, alors qu'elle est manifestement (aussi) fausse, s'accommoderait d'une contradiction. Et ça, ça me dépasse.

(j'entendais par fait un théorème dans une théorie donnée avec des axiomes et des règles de déduction donnés)

@Cyrano : Ah bon ? Tu peux donner des détails ?

@naforito : Où en es-tu, au niveau mathématique ? Parfois, dans certains textes mathématiques, le mot "classe" peut être utilisé comme un synonyme du mot "ensemble". Mais quand on se rapproche de la logique et de la théorie des ensembles, il faut faire attention.

@GG max t'a parfaitement répondu. On a renoncé à ce que toute collection (toute valeur d'un adjectif qualificatif si tu préfères) soit un ensemble plutôt que renoncé à ce que "quelque chose dont la nature est d'être la valeur de vérité d'une phrase" puisse ne pas fonctionner comme fonctionne $\{vrai; faux\}$.

Si j'utilise le mot "mauvais", c'est parce que qu'on le boycotte ou pas, le théorème est là, on n'a pas pu l'annuler. On a refusé de "vivre avec" mais à un prix qu'il est difficile d'évaluer, justement parce qu'on est devenu trop familier de la situation actuelle et pas assez de ce que donnerait une évolution de la recherche "acceptant" l'existence d'une phrase $x$ telle que $non(x)=x$ (et de tout plein d'autres tout autant, voire plus ébouriffante).

En plus, on voit bien qu'il y avait "quelque chose" à cueillir car ce théorème est devenu à l'intérieur de ce boycott un truc appelé "procédé diagonal", qui a donné du jus, mais probablement incomparablement moins, me semble-t-il que si on l'avait accueilli à bras le corps (ses tentatives de s'exprimer aussi bridé que ça le rendent presque inaudible).

Pour info, la logique linéaire et la logique affine, même, ne démontre pas l'inexistence d'une phrase qui est point fixe de $non$. Par contre, il faut avouer que quelques modifications assez mineures cassent ces logiques aussi, mais quand je dis "mineur", je mets quand-même dedans la complétude des logiques (ie le fait que toute borne inférieure de phrases existe). Or, sans ça, et évidemment sans l'extensionnalité (qui casse tout aussi), on je ne connais pas de contradiction provenant de "toute collection est un ensemble".

Bref, il y a avait un embranchement, on en a prix un et laissé l'autre et ce qui est marrant c'est que çà s'est produit à la même époque à peu près où la physique de son côté accouchait de problèmes irrésolubles pour la même raison (garder $\{vrai; faux\}$)

OK, CC, merci. Je vois vaguement l'idée. Mais ça bouscule trop mes habitudes enracinées ! :-)

On s'interroge sur des définitions, sur une sémantique, donc cela ne m'étonne pas vraiment que ce soit dans "fondements".

Par contre, la réponse de Christophe (salut ;-))est peut-être la réponse d'un logicien mais on trouve ces mots un peu partout dans des ouvrages de L1-L2. Difficile de savoir s'ils font des erreurs ou si en mathématiques ces mots ont plusieurs sens ou acceptions.

C'est vrai, pratiquant le forum depuis un certain temps, on peut penser que c'est étonnant.
Mais le quidam qui passe par là...