Énigme des pirates

Bonjour,
Si par suite de votes négatifs, il ne reste que les deux plus jeunes, l'aîné de ces deux-là ne sert à rien puisque le plus jeune peut s'assurer de se débarrasser de lui tout en raflant les 10 lingots.

Si, par suite de votes négatifs, il ne reste que trois pirates, le plus âgé d'entre eux peut proposer de garder les 10 lingots pour lui : le deuxième acceptera aussi cette répartition puisqu'elle lui permettra de sauver sa peau.

Finalement ,à la place du plus âgé, je propose: $$6+0+0+2+2$$
Me laisserez-vous la vie et mes six lingots :-S ?

Bonjour gerard0,
Nous sommes bien d'accord que nous avons là un problème de logique et que la présentation est totalement fictive. Je m'étonne que tu sembles t'en émouvoir 8-)

gerard0 a écrit:

Le 4 n'a jamais intérêt à voter pour la proposition

Là, je pense que tu fais erreur: si le 1 fait une proposition lui donnant une part non nulle , il aura intérêt à l'accepter, car si on élimine le 1 avec sa proposition, c'est le 2 qui est à la manœuvre, et celui-là pourra obtenir le vote du 3 par une proposition telle que $(9,1,0)$, comme le suggère liberty ou $(10,0,0)$ qui permet au moins au 3 de sauver sa peau !

J'ai le sentiment, gerard0, que tu balaies le problème d'un revers de manche un peu trop intempestif.
Cordialement. jacquot

Je crois, gerard0, que tu n'as pas bien lu l'énoncé:

message initial a écrit:

les pirates sont avides et intelligents

Sur $(7,0,2,1)$ les pirates 1, 3 et 4 votent pour puisqu'ils ne peuvent pas espérer gagner davantage en votant contre.
Bien sûr, 2 vote contre, mais il se retrouve en stricte minorité.

Cordialement. jacquot

Bonsoir Enpassant,
Cette solution est bonne si une majorité de 50% des voix est suffisante.
Dans mon interprétation de l'énoncé (et, je crois, celle de liberty) majorité stricte signifie un nombre de voix strictement supérieur à la moitié. C'est ce que l'on appelle plus couramment une majorité absolue

À préciser.
Amicalement. jacquot

Oui,

depuis le début, je parle de majorité stricte, donc 3 ou 4 s'ils sont 4, 2 s'ils sont 3 ou 2. Ce qui fait qu'avec le partage des voix, le plus vieux meurt.

Jacquot, s'ils sont avides, il voteront contre la proposition de 1après accord avec 2 pour qu'il propose (5,3,2). Et comme 2 n'a pas d'autre choix que d'accepter la proposition de 2, une fois 1 éliminé ....

Cordialement.

Je n'adapte rien.

C'est tout le problème de ces "énoncés logiques" posés pseudo-concrètement : Il n'y a pas de règle stricte à cause du concret.
"Je n'avais pas vu la règle comme ça" n'est pas une raison de refuser une analyse différente. Les mots de l'énoncé ne sont pas précis.
Autre chose : Le seul qui est obligé de voter c'est 3 : il vote pour 2 une fois 1 éliminé sinon il meurt.

Cordialement.

Jacquot,

où lis-tu que les pirates ne peuvent se concerter avant de voter ???
Je te trouve un peu "gonflé" de qualifier de "mauvaise foi" une différence d'interprétation d'un texte flou. Je t'ai connu moins rigide :-)

Cordialement.

D'accord avec Jacquot et Liberty sur la solution. Je trouve l'énoncé relativement clair. En tout cas, une règle claire pour moi est que chaque pirate agit à chaque instant (vote ou proposition) de façon à assurer son gain maximal (il est avide), et donc ne respectera aucun accord préalable contrevenant à cette règle. L'histoire de la répartition (5,3,2) de Gérard après élimination du pirate le plus vieux ne tient pas, puisque le deuxième pirate est sûr d'empocher 9 au lieu de 5 s'il propose (9,1,0) parce que le troisième pirate n'a aucun intérêt à voter contre.

Non. Les pirates 2 et 4 votent contre.

Petit enfant au cartable,

quelle est la différence entre la stricte majorité
et
la majorité absolue
?

Je signale à la modération que j'aime de tout mon amour de mon coeur que le vendredi c'est permis.

S

Je pense qu'il faut préciser l'énoncé, en expliquant que dans le cœur des pirates il y a 3 objectifs à atteindre, par ordre de priorité décroissante :
1) Rester en vie
2) Toucher un max de thunes
3) Flinguer le plus grand nombre possible de leurs aînés.
Et il faut préciser aussi que chaque pirate sait que ses potes sont intelligents et qu'ils ont le mode de pensée ci-dessus.
Si on part sur cette base je penche pour la solution (8,0,1,1).
Mon raisonnement :
3 sait que s'il a la main il est mort.
2 sait que s'il a la main il est sûr de rafler le magot, car 2 va voter pour sa proposition quelle qu'elle soit, simplement pour rester en vie.
Donc, 2 va voter contre la proposition de 1 quelle qu'elle soit pour pouvoir récupérer la main. (Même si 1 lui propose les 10 lingots il préfère quand même le flinguer avant).
Il faut donc absolument que 1 fasse en sorte que 3 et 4 votent pour lui, afin d'avoir sa majorité et de sauver sa peau.
S'il propose (10,0,0,0), il est mort, c'est clair.
S'il propose (9,0,0,1), 3 va voter non car il se dit que quitte à ne rien palper autant flinguer 1, et ensuite c'est 2 qui raflera le magot.
S'il propose (9,0,1,0), 3 va voter non pour la même raison.
S'il propose (8,0,1,1), 4 sait pertinemment que s'il vote non 2 va rafler la mise, donc il vote oui pour avoir quand même un lingot.
Et 3 se dit la même chose, donc il vote oui, et la répartition de 1 est acceptée.
Vous en pensez quoi ?

Mais démonte moi, c'est plus rapide, au lieu de danser seul.

L'énoncé du problème, demande le à @GBZM, lui il l'a mieux compris que toi je pense.

Au temps pour moi,
Pour le problème à 5 pirates, ma solution $(6,0,0,2,2)$ n'est pas optimale.
Il devient d'autant plus intéressant d'essayer de remonter la récurrence !
Amicalement. jacquot

Oui Martial,
C'est ça et je trouve que ça devient intéressant aux rangs suivants.
Amicalement. jacquot

@babsgueye : C'est vrai que j'ai modifié l'énoncé initial en le précisant un peu, d'une manière qui me paraît naturelle si on tient compte de la logique des pirates. En plus, l'énoncé initial disait que les pirates aiment bien se débarrasser de leurs vieux quand ils n'en ont plus besoin.
Donc j'en ai déduit par exemple que si un pirate sait que de toutes façons il va rester en vie et palper un lingot, s'il lui reste du choix il prend la solution où on flingue le max possible de ses aînés.

Je pense que cette précision est indispensable, car sinon comme on peut le voir ci-dessus il y a autant de solutions que d'interprétations possibles de l'énoncé.

Bon, ceci dit dans le cas de 5 pirates, perso je trouve 2 solutions (très proches l'une de l'autre, certes, mais 2 solutions quand même).

@jacquot : On est d'accord qu'avec 5 pirates A doit proposer (7,0,1,2,0) ou (7,0,1,0,2) ?
Passons au rang 6, c'est là que je suis emmerdé.
On connaît les 2 propositions possibles de B s'il a la main.
On sait aussi que B va voter systématiquement non à toutes les propositions de A, puisqu'il sait qu'il peut rafler 7 lingots (ou alors il faudrait lui en proposer 8, ça fait un peu cher).
Donc, A doit impérativement alpaguer au moins 3 pirates parmi C,D,E,F.
S'il est très prudent il va proposer (4,0,1,2,3,0) ou (4,0,1,2,0,3), et là il est sur d'avoir la vie sauve.
Mais s'il propose par exemple (6,0,1,2,1,0), peut-être que E va se dire : "De toutes façons B ne peut pas me saquer, donc s'il a la main il va proposer (7,0,1,0,2) rien que pour me faire ch..., donc autant que je vote oui j'aurai toujours un lingot".
Du coup la dimension humaine rentre en jeu.
Mais si on applique stricto sensu la règle selon laquelle la première priorité des pirates est de rester en vie il faut que A dise (4,0,1,2,3,0) ou (4,0,1,2,0,3) car il ne sait peut-être pas quelles sont les préférences de B ? (qui peut-être après tout s'en fout et va proposer l'une des solutions au pif pour pouvoir partir faire la teuf avec ses 7 lingots).
Que faut-il en penser ?

Tu veux dire que dans le premier cas, E se dit qu'en flinguant A il a une espérance de gain de 1 lingot (moyenne entre 2 et 0), alors qu'en votant pour il est sûr de prendre 2 lingots ?
Si c'est ça je suis OK pour continuer.
J'y ai pas encore réfléchi mais à mon avis dans le cas de 7 pirates ça va être plus cool pour le vieux, car il n'a que 3 "clients" à alpaguer sur 6.
Amitiés réciproques
Martial

Je viens de m'apercevoir de l'existence d'une troisième solution dans le cas $n=6$. Ceci risque d'avoir une incidence sur la suite.

Voici donc une récapitulation :
$n=2$ : Aucune proposition ne permet à l'aîné de sauver sa peau.
$n=3$ : $(10+0+0)$ le deuxième pirate accepte parce qu'il sauve sa peau.
$n=4$ : $(8+0+1+1)$
$n=5$: $(7+0+1+2+0)$ ou $(7+0+1+0+2)$ équiprobables.

$n=6$ : $(5+0+1+2+2+0)$ ou $(5+0+1+2+0+2)$ ou $(5+0+1+0+2+2)$ équiprobables.
@ suivre.

Bonjour GaBuZoMeu,
Ton point de vue est tout à fait défendable sur un plan strictement mathématique : tu ne t'embarrasses d'aucune considération qui n'ait pas été prévue par l'énoncé initial.

Martial et moi jouons à un autre jeu avec des règles un peu plus compliquées. Dans un cas comme dans l'autre, la récurrence s'arrêtera quand le plus âgé n'aura plus assez de lingots pour acheter la moitié des voix des autres.

Quoiqu'il en soit, il est difficile pour des braves citoyens comme nous de raisonner comme des pirates avides et intelligents ;-).
Amicalement. jacquot

Bonjour @babsgueye,
GBZM et Liberty appliquent strictement la règle du jeu telle qu'elle a été donnée dans le premier post.
Martial et moi jouons à un autre jeu où le pirate veut d'abord éviter de se faire sacrifier. Cette clause nous paraît naturelle, mais elle n'est pas formulée dans l'énoncé initial.

Amicalement. jacquot

Il faudrait déjà commencer par bien lire, babsgueye. La solution unique pour le cas $n=4$ en appliquant l'unique règle que chaque pirate cherche à optimiser ses gains de façon sûre est 7 0 2 1 et pas 7 0 1 2 comme tu l'écris.

Non ce n'est pas pareil. Tu manques de soin. Et tu n'as cité aucune raison convaincante.
Pourquoi deux lingots pour le troisième pirate ? Parce que s'il proposait un seul lingot (8 0 1 1), le premier pirate ne pourrait pas être sûr du vote du troisième pirate. En effet, le troisième pirate, s'il vote contre - ce qui entraînera l'éxécution du premier pirate - aura toujours un lingot proposé par le deuxième (9 1 0). Il n'a donc aucun avantage à voter pour.
Je rappelle la règle unique : optimiser ses gains de façon sûre.